2024届高考数学一轮总复习第六章立体几何第七讲立体几何中的向量方法课件

这是一份2024届高考数学一轮总复习第六章立体几何第七讲立体几何中的向量方法课件，共60页。PPT课件主要包含了图6-7-5，答案C，图6-7-6，图6-7-8，与线面角的关系，图6-7-10，图6-7-11，图D42，图D43，CD中点等内容，欢迎下载使用。

2.直线与平面所成的角如图 6-7-1，直线 AB 与平面α相交于点 B，设直线 AB 与平面α所成的角为θ，直线 AB 的方向向量为 u，平面α的法向量为 n，
如图 6-7-2，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
【常用结论】(1)线面角θ的正弦值等于直线的方向向量 a 与平面的法向量 n所成角的余弦值的绝对值，即 sin θ＝|cs〈a，n〉|，不要误记为cs θ＝|cs〈a，n〉|.
(2)二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是
4.利用空间向量求距离(1)点到直线的距离
(3)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.注意体积法在
求点到平面距离时的应用.
(3)若二面角 A-BC-D 的大小为α，平面 ABC 内的直线 l 与平面BCD 所成角为β，则α≥β，当 l⊥BC 时，取等号.
考点一 利用向量求空间的角考向1 向量法求异面直线所成的角
(2)有公共边的等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，则异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为________.解析：设等边三角形的边长为 2.取 BC 的中点 O，连接 OA，OD.因为等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，所以 OA，OC，OD 两两垂直，以点 O 为坐标原点，OD，OC，OA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、
z 轴建立如图 6-7-6 所示的空间直角坐标系.
【题后反思】(1)求异面直线所成角的思路：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量 v1，v2；
(2)两异面直线所成角的关注点：
两异面直线所成角的范围θ∈
，两向量的夹角的范围是
[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.
考向 2 向量法求线面角[例 2](2022 年浙江)如图 6-7-7，已知 ABCD 和 CDEF 都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F­DC­B的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC 的中点.(1)证明：FN⊥AD；(2)求直线 BM 与平面 ADE 所成角的
(1)证明：由于 CD⊥CB，CD⊥CF，平面 ABCD∩平面 CDEF＝CD，CF⊂平面 CDEF，CB⊂平面ABCD，所以∠FCB 为二面角 F-DC-B 的平面角，则∠FCB＝60°，CD⊥平面 CBF，因为 FN⊂平面 FCB，所以 CD⊥FN.
则△BCF 是等边三角形，则 CB⊥FN，因为 DC⊥FC，DC⊥BC，FC∩BC＝C，FC⊂平面 FCB，BC⊂平面 FCB，所以 DC⊥平面 FCB.因为 FN⊂平面 FCB，所以 DC⊥FN.又因为 DC∩CB＝C，DC⊂平面 ABCD，CB⊂平面 ABCD，所以 FN⊥平面 ABCD，因为 AD⊂平面 ABCD，故 FN⊥AD.
(2)解：由于 FN⊥平面 ABCD，如图 6-7-8 建立空间直角坐标
【题后反思】线面角涉及斜线的射影，故找出平面的垂线是解题的基本思路，而这往往正是解题难点所在，故常用向量法求解斜线与平面所成角的问题.解题的关键是确定斜线的一个方向向量 a 和平面的一个法向量 b，再通过计算线面角的向量公式 sin θ＝|cs〈a，b〉|
|a·b||a|·|b|
(θ是斜线与平面所成的角)求解，要特别注意 a 和 b 的夹角
考向 3 向量法求二面角[例 3](2022 年全国Ⅱ)如图 6-7-9，PO 是三棱锥 P-ABC 的高，PA ＝PB，AB⊥AC，E 为 PB 的中点.(1)证明：OE∥平面 PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，
PA ＝5，求二面角 C-AE-B 的正弦值.
(1)证明：如图6­7­10，连接OA，OB，依题意，OP⊥平面ABC，
又∵OA⊂平面 ABC，OB⊂平面 ABC，则 OP⊥OA，OP⊥OB，
∴∠POA＝∠POB＝90°，
又∵PA＝PB，OP＝OP，则△POA≌△POB，∴OA＝OB.
延长BO交AC于点F，又AB⊥AC，则在Rt△ABF中，O为
BF 中点，连接 PF，
在△PBF 中，O，E 分别为 BF，BP 的中点，则 OE∥PF.∵OE 平面 PAC，PF⊂平面 PAC，∴OE∥平面 PAC.
(2)解：过点 A 作 AM∥OP，以 AB，AC，AM 分别为 x 轴、y轴、z 轴建立如图 6-7-10 所示的空间直角坐标系，由于 PO＝3，PA ＝5，由(1)知 OA＝OB＝4，
又∵AC＝AB tan 60°＝12，即 C(0，12，0)，设平面 AEB 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
【题后反思】利用向量法确定二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
(3)将二面角转化为线面角求解.如图6-7-11所示，要求二面角P­AB­C，可作PH⊥AB，则二面角P­AB­C的大小即为PH与平面ABC所成角θ的大小，PH易求，可用体积法求P到平面ABC的距
1.(考向 1)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为 A1B1，BC 的中点，则异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值为________.
解析：如图 D42，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，
2.(考向2，3)(2022年天津)如图6­7­12，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1 ＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D 为 A1B1 中点，E为 AA1 中点，F 为 CD 中点.(1)求证：EF∥平面 ABC；
(2)求直线 BE 与平面 CC1D 的正弦值；
(3)求平面 A1CD 与平面 CC1D 夹角的余弦值.
解：(1)证明：如图 D43，取 BB1 的中点 G，连接 FG，EG，
∵D 为 A1B1 中点，E 为 AA1 中点，F 为 CD 中点.∴FG∥BC，EG∥AB.
又∵FG 平面 ABC，CB⊂平面 ABC，∴FG∥平面 ABC.
同理可得，EG∥平面 ABC，又∵FG∩EG＝G，
∴平面 EFG∥平面 ABC，∴EF∥平面 ABC.
(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC⊥AB，则可建立如图 D43
所示的空间直角坐标系，
又∵AA1＝AB＝AC＝2，D 为 A1B1 中点，E 为 AA1 中点，F 为
故 B(2，2，0)，E(1，0，0)，C(2，0，2)，C1(0，0，2)，
3.(考向 3)如图 6-7-13 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为矩形，平面 PAD ⊥平面 ABCD.(1)求证：AB⊥PD；(2)若∠BPC＝90°，PB＝ ，PC＝2，问 AB为何值时，四棱锥 P-ABCD 的体积最大？并求此时
平面 BPC 与平面 DPC 的夹角的余弦值.
(1)证明：因为四边形 ABCD 为矩形，所以 AB⊥AD.又因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，所以 AB⊥平面 PAD ，故 AB⊥PD.
(2)解：如图 D44，过点 P 作 AD 的垂线，垂足为点 O，过点
O 作 BC 的垂线，垂足为点 G，连接 PG，
则 PO⊥平面 ABCD，BC⊥平面 POG，BC⊥PG.
[例4]如图 6-7-14，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长均为4，
N 是 CC1 的中点.
(1)求点 N 到直线 AB 的距离；(2)求点 C1 到平面 ABN 的距离.
解：建立如图 6-7-15 所示的空间直角坐标系，图 6-7-15
则 A(0，0，0)，B(2
，2，0)，C(0，4，0)，C1(0，4，4)，
∵N 是 CC1 的中点，∴N(0，4，2).
【题后反思】求点面距的一般方法
(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)等体积法.(3)向量法.
其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.
1.如图 6-7-16，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD.若已知 AB＝3，AD＝4，PA ＝1，则点 P 到直线 BD 的距离为________.
解析：如图 D45，分别以 AB，AD，AP 所在直线为 x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，
2.(2022 年全国Ⅰ)如图6­7­17，直三棱柱ABC­A1B1C1的体积
(1)求 A 到平面 A1BC 的距离；
(2)设 D 为 A1C 的中点，AA1＝AB，平面 A1BC⊥平面 ABB1A1，
求二面角 A-BD-C 的正弦值.
(2)如图D46，连接AB1，交A1B于点E，
∵AA1＝AB，∴四边形为正方形，∴AB1⊥A1B.
又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC.由直三棱柱ABC­A1B1C1知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又∵AB1∩BB1＝B1，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB.以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图D46所示的空间直角坐标系，
⊙立体几何中的动态问题
A.圆的一部分C.抛物线的一部分
B.椭圆的一部分D.双曲线的一部分
(1)直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.(2)立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，
求轨迹的长度及动角的范围等.
(3)一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程).
【高分训练】1.如图 6-7-20 所示，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点(不与P，B 重合)，过点 M 作平面α∥平面 PAD ，截棱锥所得图形的面积为y，若平面α与平面 PAD 之间的距离为 x，则函数 y＝f(x)的图象是
解析：过点M作MN⊥AB，交AB于点N，则MN⊥平面ABCD，过点 N 作 NQ∥AD，交 CD 于点 Q，过点 Q 作 QH∥PD，交 PC于点 H，连接 MH，则平面 MNQH 是所作的平面α，如图 D47，
∴函数 y＝f(x)的图象如图 D48 所示.故选 C.图 D48
2. 已知平面 ABCD⊥平面 ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且 AB＝1，AD＝CD＝2，ADEF 是正方形，在正方形 ADEF 内部有一点M，满足 MB，MC 与平面 ADEF 所成的角相等，则点 M 的轨迹长
解析：根据题意，以 D 为原点，分别以 DA，DC，DE所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz，如图 D49(1)所示，则 B(2，1，0)，C(0，2，0).设 M(x，0，z)，易知直线 MB，MC 与平面 ADEF 所成的角分别为∠AMB，∠DMC，均为锐角，