2024届高考数学一轮总复习第七章平面解析几何第七讲抛物线课件

这是一份2024届高考数学一轮总复习第七章平面解析几何第七讲抛物线课件，共45页。PPT课件主要包含了抛物线的定义，名师点睛，图7-7-1，图7-7-2，答案4，14C5，答案A，互转化，D10，图D59答案C等内容，欢迎下载使用。

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 为抛物线的焦点，直线 l 为抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程和几何性质
如图7­7­1，设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切.(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于 2p，通径是过焦点最短的弦.
考点一 抛物线的定义及应用
[例 1](1)设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线y2＝4x 的焦点，若 B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.
解析：如图 7-7-2，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为 4.
(2)若抛物线 y2＝4x 的准线为 l，P 是抛物线上任意一点，则 P到准线 l 的距离与 P 到直线 3x＋4y＋7＝0 的距离之和的最小值是
解析：由抛物线定义可知点 P 到准线 l 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离，由抛物线 y2＝4x 及直线方程3x＋4y＋7＝0 可得直线与抛物线相离，∴点 P 到准线 l 的距离与点 P 到直线 3x＋4y＋7＝0 的距离之和的最小值为点 F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0 的距离，
【题后反思】应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|
【变式训练】1.(2023 年沭阳县期中)若抛物线 y2＝16x 上的点 M 到焦点的距
离为 8，则点 M 到 y 轴的距离是(
解析：因为抛物线的方程为 y2＝16x，所以 2p＝16，解得 p＝
所以点 M 到准线的距离为 8，设点 M 到 y 轴的距离为 m，则有m＋4＝8，所以 m＝4.故选 A.
由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，所以△MAF 是边长为 4 的等边三角形.
考点二 求抛物线的标准方程1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线 3x－4y－12＝0
与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为(
A.x2＝－12y或y2＝16xB.x2＝12y或y2＝－16xC.x2＝9y或y2＝12xD.x2＝－9y或y2＝－12x
解析：对于直线方程 3x－4y－12＝0，令 x＝0，得 y＝－3；
令 y＝0，得 x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0).
当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，
此时抛物线的标准方程为 x2＝－12y；
此时抛物线的标准方程为 y2＝16x.故所求抛物线的标准方程
为 x2＝－12y 或 y2＝16x.
2.(2022 年全国乙卷文科)设 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，点
A 在 C 上，点 B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(
【题后反思】抛物线标准方程的求法
(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而求出抛
(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数 p 的值，这里要注意抛物线的标准方程有四种形式.若焦点在 x 轴上，设为y2＝2px(p≠0)；若焦点在y轴上，设为x2＝2py(p≠0).
考点三 抛物线的几何性质
(2)(多选题)(2022 年全国Ⅱ)已知 O 为坐标原点，过抛物线 C：y2＝2px(p＞0)焦点 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，其中 A 在第一
象限，点 M(p，0).若|AF|＝|AM|，则(
A.直线 AB 的斜率为 2
B.|OB|＝|OF|C.|AB|＞4|OF|D.∠OAM＋∠OBM＜180°
∵|OA|2＋|AM|2＞|OM|2，|OB|2＋|BM|2＞|OM|2，∴∠OAM，∠OBM 均为锐角，可得∠OAM＋∠OBM＜180°，故 D 正确.故选 ACD.
在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【变式训练】1.(2021 年焦作市期中)以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线Ω与正方形 ABCD 有公共点，其中 A(2，2)，B(4，2)，C(4，4)，
则抛物线Ω的焦点 F 到准线 l 的最大距离为(
解析：由题意可得 D(2，4)，设抛物线Ω：x2＝2py，p>0，要使得抛物线Ω与正方形 ABCD 有公共点，其临界状态应该是过 B或过 D，把 B，D 的坐标分别代入抛物线方程，得 42＝2p×2，或
2.如图 7-7-4 所示，过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则
A.y2＝8x 　B.y2＝4x C.y2＝2x 　　D.y2＝x
解析：如图 D60，分别过点 A，B 作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与 x 轴交于点 G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30° ，
⊙活用抛物线焦点弦的四个结论
1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.
[例 3]过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B
两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(
【高分训练】1. 设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的
直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为(
2.已知点 M(－1，1)和抛物线 C：y2＝4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点.若∠AMB＝90°，则 k＝______.