初中数学北师大版九年级上册2 用配方法求解一元二次方程第2课时教案设计

教学目标

1.通过学习用配方法解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能；

2.通过学习用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；

3.能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.

教学重难点

重点：会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.

难点：能在灵活运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程中，体会其中的化归思想.

教学过程

导入新课

1．      1.试一试: 把下列各式配成完全平方式：

（1）x2-x+     ＝(x-     )2 ；（2）x2+3x+     ＝(x+     )2；

（3）x2-x+     ＝(x-     )2 ；（4）x2-     x+25＝(x-     )2.

答案：(1）；（2） ，；（3）,；(4)10,5

2.用配方法解方程:

(1)x2-2x＝8;              (2)x2+6x+8＝0.

答案：(1) x1＝4，x2＝－2;(2) x1＝-2，x2＝－4.

探究新知

议一议：请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别？

①x2＋6x＋8＝0；        ②3x2＋18x＋24＝0.

探讨方程②应如何去解呢？

两个方程之间的区别是方程②的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形

式，联系是当方程②两边同时除以3以后就得到方程①，这两个方程是同解方程.学生们作了方程的变形以后，对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路.

例1　解方程3x2＋8x－3＝0.

解：方程两边都除以3，得x2＋x－1＝0，移项，得x2＋x＝1，配方，得x2＋x＋＝1＋，即＝，所以x＋＝±，解得x1＝，x2＝－3.

在使用配方法的过程中，若二次项的系数不为1时，首先需要将二次项系数化为1（即方程两边同除以a）,再根据配方法的步骤进行求解,让学生充分掌握用配方法解一元二次方程的基本思路.

问题解决：

幼儿园某矩形教室内铺地毯问题：幼儿园活动教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？

解:设四周未铺地毯的条形区域的宽度都为x m,整理得方程4x2 -26x+22 ＝0 .方程两边都除以4，得x2-+＝0，移项，得x2- ＝-，配方，得x2-+＝-,即＝ ,所以＝±，x1＝（大于5舍去），x2＝1.

注意：在实际问题中，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性.

配方法的应用：

例2.通过对实数的学习,我们知道x2≥0,根据完全平方公式: (a±b)2＝ a2± 2ab+b2,可知完全平方式的值为非负数,这一性质在数学中有着广泛的应用,比如探求多项式2x2+8x-3的最小值时,我们可以这样处理:

解:原式＝2(x2+4x)-3 ＝2(x2+2x·2+22-22)-3 ＝2(x+2)2-11.

∵ 2(x+2)2≥0, ∴ 2(x+2)2-11≥-11,

故当x＝-2时,2x2+8x-3的值最小,为-11.

请根据上面的解题思路,解答下列问题:

(1)求多项式3x2-6x+2的最小值是多少,并写出对应的x的值;

(2)求多项式x2+2x+y2-4y+9的最小值.

解：(1)3x2-6x+2＝3(x2-2x)+2＝3(x2-2x+1-1)+2＝3(x-1)2-1,

∵ 无论x取什么数,(x-1)2≥0，∴ (x-1)2的最小值为0,此时x＝1,

∴ 3(x-1)2-1的最小值为-1,则当x＝1时,原多项式的最小值是-1.

(2)x2+2x+y2-4y+9＝x2+2x+1+y2-4y +4+4＝(x+1)2+(y-2)2+4,

∵ (x+1)2≥0，(y-2)2≥0,

∴ 当(x+1)2＝0,(y-2)2＝0时,多项式x2+2x+y2-4y+9的最小值为4.

课堂练习

1.若方程4x2-(m-2)x+1＝0的左边可以写成一个完全平方式,则m的值为(　　)

A.-2　　      B.-2或6         C.-2或-6　     　D.2或-6

2.用配方法解方程3x2-6x+1＝0,则方程可变形为（     ）

  A.(x-3)2＝13    B.3(x-1)2＝13     C.(3x-1)2＝1       D.(x-1)2＝

3.下列配方法有错误的是（     ）

A.x2-4x-1＝0化为(x-2)2＝5        B.x2+6x+8＝0化为(x+3)2＝1

C.2x2-7x-6＝0化为＝     D.3x2-4x+2＝0化为(3x+2)2＝2

4.若一元二次方程配方后为，则b,k的值分别是（    ）

A.6，4         B.6，5          C.-6,5           D.-6,4

5.用配方法解下列方程:

（1)3x2-6x+2＝0；          (2)-x2+4x+12＝0.

参考答案　

1.B 2.D 3.D 4.A

5.解：（1)3x2-6x+2＝0, 两边同除以3,得x2-2x+＝0,移项,得x2-2x＝- ,配方,得x2-2x+12＝-+12,即(x-1)2＝，开平方,得x-1＝±.即＝1+, x2＝1-.

 (2)-x2+4x+12＝0两边同除以-1,得x2-4x-12＝0，移项,得x2-4x＝12，配方,得x2-4x+＝12+，即＝16，开平方,得x-2＝±4，即 x1＝6,x2＝-2.

课堂小结

 1.配方法解一元二次方程：

 2.用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：

系数化为1→移项→配方→开方→解

布置作业

课本习题2.4   知识技能　1    问题解决  2，3

板书设计

2　用配方法求解一元二次方程

第2课时　用配方法求解复杂的一元二次方程

1.配方法解一元二次方程：

2.用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：

系数化为1→移项→配方→开方→解.

教学反思

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