初中北师大版4 用因式分解法求解一元二次方程教案设计

教学目标

1.掌握用因式分解法解一元二次方程.

2.通过复习用配方法、公式法解方程寻求更简单的解一元二次方程的方法，并应用因式分解法解决一些具体问题.

3.通过学习因式分解法解方程，培养学生分析问题、解决问题的能力，并通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程，让学生体会转化的思想.

教学重难点

重点：用运用因式分解法解一元二次方程.

难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.

教学过程

导入新课

1.(1)什么是因式分解？

把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.

(2)因式分解有哪些方法？

提公因式法、公式法、十字相乘法.

将下列各式分解因式：

（1）5x；（2）－4 x＋4；（3）4x（x－1）－2＋2x；

（4）－4；（5）（2x－1）²－.

设计意图：通过复习相关知识，有利于学生熟练且正确地将多项式因式分解，从而有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习做好铺垫.

探究新知

一、预习新知

让学生自主预习课本46~47页，然后提出问题：

一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？

教师展示小颖、小明和小亮的三种解法：

小颖的解法：                      小明的解法：

由方程3x，得                  由方程3x两边

3x0.                        同时约去x，得

因此，                     3.

0，3.　                   所以这个数是3.

所以这个数是0或3.               

小亮的解法：

由方程3x，得

3x0.

即x（x－3）0，

于是x或x－3.

因此，3.

所以这个数是0或3.

然后教师引导学生讨论看哪种方法对，且更简便.

二、合作探究

提出问题：学生探讨哪种方法对，哪种方法错，错的原因在哪里，哪种方法更简便？

小颖用的什么方法？

公式法.

小明的解法对吗？为什么？

不对，违背了等式的基本性质，x可能为零.

小亮的解法对吗?其依据是什么？

对.依据是两个数相乘，如果积等于零，那么这两个数中至少有一个为零.

教师引导学生得出结论：

如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.

如果两个因式的积为零，那么至少有一个因式为零，反之，如果两个因式有一个等于零，那么它们的积也就等于零.

“或”有下列三层含义：

①a＝0，b0；②a0，b＝0；③a＝0，b＝0.

问题：

什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解？

    教师引导，学生总结得到因式分解法的定义.

因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.

因式分解法的步骤：

1.移项：将方程的右边化为0;

2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次因式的乘积;

3.转化：方程转化为两个一元一次方程;

4.求解：解两个一元一次方程，写出方程的解.

巩固练习

用因式分解法解下列方程：

(1)3x2－6x＝－3；　　(2)3(x-2)－(x-2)2.

解：（1）化为一般式为x2－2x＋1＝0，

因式分解，得（x－1）（x－1）＝0，

从而x－1＝0，

所以

（2）把方程左边因式分解，得

（x－2）（5－x）＝0，

从而（x－2）＝0或（5－x）＝0，

所以2，5.

典型例题

【例1】我们知道x2－(a＋b)x＋ab＝(x－a)(x－b)，那么x2－(a＋b)x＋ab＝0就可转化为(x－a)(x－b)＝0，请你用上面的方法解下列方程.

(1)x2－3x－4＝0；　　(2)x2－7x＋6＝0；    (3)x2＋4x－5＝0.

【问题探索】上面因式分解的特点是什么？一次项系数与常数项有什么关系？

【解】二次三项式x2－(a＋b)x＋ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由(－a)·(－b)而成的，而一次项是由－a，－b分别与x交叉相乘而成的，根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式.

(1)因式分解，得(x＋1)(x－4)＝0.

于是，得x＋1＝0或x－4＝0，

故x1＝－1，x2＝4.

(2)因式分解，得(x－1)(x－6)＝0.

于是，得x－1＝0或x－6＝0，

故x1＝1，x2＝6.

(3)因式分解，得(x＋5)(x－1)＝0.

于是，得x＋5＝0或x－1＝0，

故x1＝－5，x2＝1.

【总结】上面这种因式分解的方法叫做十字相乘法，在解一元二次方程中经常用到这种方法.

【例2】已知9a2－4b2＝0，求代数式－－的值.

【问题探索】a，b的值能直接求出来吗？a，b之间有怎样的关系？怎样将a，b的关系代入代数式中求值.

【解】原式＝＝－.

∵ 9a2－4b2＝0，

∴ (3a＋2b)(3a－2b)＝0，

即3a＋2b＝0或3a－2b＝0，

∴ a＝－b或a＝b.

当a＝－b时，原式＝－＝3；

当a＝b时，原式＝－3.

【总结】要求－－的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误，本题注意不要漏解.

课堂练习

1.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是(    )

A.(x－2)( x＋5)＝2                B. x2＋x－6＝0

C.x2＋5x－2＝0                    D.12(2－x)2＝3

2.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个根，则该三角形的周长可以是(     )

A.5                              B.7             

C.5或7                          D.10

3.小华在解一元二次方程x2－8x＝0时，只得出一个根是x＝8，则被她漏掉的一个根是x＝______.

4. 用因式分解法解下列方程：

(1)x(x－2)＋x－2＝0；

 (2)3x(2x＋1)＝4x＋2.

参考答案

1.B　

2.B

3.0

4.解：(1)因式分解，得(x＋1)(x－2)＝0.

于是，得x＋1＝0或x－2＝0，

故x1＝－1，x2＝2.

 (2)原方程可变形为3x(2x＋1)－2(2x＋1)＝0.

因式分解，得(2x＋1)(3x－2)＝0.

于是，得2x＋1＝0或3x－2＝0，

故x1＝－，x2＝.

课堂小结

(学生总结，老师点评)

1.因式分解的方法有：

ma+mb+mc＝m(a+b+c);

a2 ±2ab+b2＝(a ±b)2；

a2 -b2＝(a +b)(a-b) .

2.因式分解法的原理：如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.

3.因式分解法的步骤：

简记口诀：右化零，左分解，两因式，各求解.

布置作业

习题2.7　知识技能　1，2

板书设计

4　用因式分解法求解一元二次方程

因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.

因式分解法的步骤：

1.移项：将方程的右边化为0;

2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次因式的乘积;

3.转化：方程转化为两个一元一次方程;

4.求解：解两个一元一次方程，写出方程的解.

教学反思

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