初中数学北师大版七年级上册2.9 有理数的乘方课时训练

2.9有理数的乘方

瞄准目标，牢记要点

夯实双基，稳中求进

有理数乘方的概念

题型一：有理数乘方的概念

【例题1】（2021·河北唐山市·九年级二模）对于叙述正确的是（）

A．个相加 B．16个相加

C．个16相乘 D．个16相加

【答案】A

【分析】结合有理数的乘方把每一个选项都用含n的代数式表示出来，即可选择．

【详解】选项A可表示为；

选项B可表示为；

选项C可表示为；

选项D可表示为；

故选A．

【点睛】本题考查有理数的乘方，理解有理数幂的概念是解答本题的关键．

变式训练

【变式1-1】（2019·安徽七年级月考）(－)×(－)×(－)可表示为（）

A．－ B．3×(－) C．(－)3 D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据有理数乘方的概念计算即可

【详解】

(－)×(－)×(－)可表示为三个(－)相乘，即(－)3，故选C

【点睛】

主要是考查有理数的乘方概念，比较简单

【变式1-2】（2019·安徽七年级月考）的意义是(    )

A．3个相乘 B．3个相加

C．乘以3 D．的相反数

【答案】D

【分析】

根据乘方的意义判断即可．

【详解】

－23的意义是：的相反数.

故选：D.

【点睛】

考查了乘方的意义，解题关键是抓住了（-3）3和-33的区别，其中-33表示33的相反数，（-3）3表示3个-3相乘．

【变式1-3】（2020·清远市清新区凤霞中学七年级期中）在﹣34中底数是_____，指数是_____．

【答案】3    4   

【分析】

根据乘方的定义即可求解．

【详解】

﹣34中底数是3，指数是4

故答案为：3；4．

【点睛】

此题主要考查乘方的定义，解题的关键是熟知乘方的性质．

有理数乘方的符合问题

题型二：有理数乘方的符合问题

【例题2】（2021·陕西西安市·高新一中九年级其他模拟）（）

A．-1 B．1 C．-2021 D．2021

【答案】A

【分析】由负数的奇次方是负数即可得出结果．

【详解】解：，

故选A．

【点睛】本题主要考查了有理数的乘方．确定乘方结果的符号是解题的关键．

变式训练

【变式2-1】（2020·合肥市第四十五中学）下列各组数中，数值相等的一组是（）

A．和 B．和 C．和 D．和

【答案】B

【分析】

利用乘方的运算法则与乘法运算法则一一计算即可选出正确答案．

【详解】

A. =9和=8，则不选A，

B. =-8和=-8，则选B，

C. =-9和==9，则不选C，

D. =-36和=-18，则不选D．

故选：B．

【点睛】

本题考查乘法法则的运用，关键掌握乘方的运算法则，特别注意负号与指数，负数的奇次幂是负数，偶次幂为正数，没有关系时更要注意，为此确定好底数的符号是关键．

【变式2-2】=（－3）＝__________，（）＝_______，－34＝____________，－（－3）4＝__________．

【答案】81；；    -81；    -81．

【分析】根据有理数的乘方意义和计算法则计算．

【详解】解：∵

∴；

又，

故答案为：81；；-81；-81．

【点睛】本题考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数乘方的意义和运算法则是解题关键．

【变式2-3】（2021·山东潍坊市·七年级期末）若，则___________．

【答案】

【分析】根据绝对值和平方式的非负性求出x和y的值，再根据有理数的乘方运算得出结果．

【详解】解：∵，，且，

∴，，即，，

∴．

故答案是：．

【点睛】本题考查绝对值和平方式的非负性，以及有理数的乘方运算，解题的关键是掌握这些知识点进行求解．

有理数乘方的计算

题型三：有理数乘方的计算

【例题3】（2020·安徽亳州市·雪枫中学七年级期中）的值为（）

A． B．6 C． D．9

【答案】C

【分析】

是32的相反数，故先算再乘以-1即可．

【详解】

根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解．．

故选：C．

【点睛】

此题考查乘方的意义，注意此题中的底数为3，而不是-3．

变式训练

【变式3-1】（2019·邵阳市第十一中学）下列等式正确是（）

A．（－2）＝－2 B．2＝2×3 C．（－2）＝－2 D．（－1）＝-1

【答案】A

【分析】

根据有理数的乘方定义和法则逐项判断即可.

【详解】

A、根据负数的奇数次幂是负数，，正确

B、，错误

C、根据负数的偶数次幂是正数，，错误

D、根据负数的偶数次幂是正数，，错误

故答案为：A.

【点睛】

本题考查了有理数的乘方定义和法则，理解定义并熟记运算法则是解题关键.

【变式3-2】（2020·浙江七年级期末）下列数或式：，在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数是（）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】在原点右边的数即正数，所以先根据有理数乘方的定义化简各数，继而可得答案．

【详解】

解：（-2）3=-8＜0，＞0，-52=-25＜0，0，m2+1≥1＞0，

∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数为2，

故选：C．

【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正确理解题意，依据数轴上原点右边的数表示正数，左边的数表示负数及有理数的乘方运算法则即可解决．

【变式3-3】（2020·浙江杭州市·七年级期末）下列运算中错误的是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用乘方的意义对各选项进行判断．

【详解】解：A、（-2）4=16，正确，故选项不符合；

B、=，错误，故选项符合；

C、（-3）3=-27，正确，故选项不符合；

D、（-1）104=1，正确，故选项不符合；

故选：B．

【点睛】本题考查了有理数的乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．

题型四：有理数乘方的逆运算

【例题4】（2020·浙江杭州市·七年级期末）若，且，则的值为（）

A． B． C．5 D．

【答案】B

【分析】利用有理数乘方的逆运算得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a-b的值．

【详解】解：∵a2=4，b2=9，

∴a=±2，b=±3，

∵ab＜0，

∴a=2，则b=-3，

a=-2，则b=3，

则a-b的值为：2-（-3）=5或-2-3=-5．

故选：B．

【点睛】此题主要考查了有理数乘方的逆运算以及有理数的乘法等知识，得出a，b的值是解题关键．

变式训练

【变式4-1】所得的结果是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据有理数乘方的逆运算将原式化为，进一步即可求出答案．

【详解】

=

=

=，

故选：A．

【点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键．

【变式4-2】（2021·山东省章丘市白云湖中学七年级期中）平方为16的数是________，立方得-8的数是________．

【答案】±4    -2   

【分析】利用平方及立方的定义即可得到结果．

【详解】解：平方得16的数是±4，

立方得-8的数是-2，

故答案为：±4，-2．

【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握平方及立方的定义是解本题的关键．

【变式4-3】（2020·广西七年级期中）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：，如果正整数最少经过6步运算可得到1，则的值为（）

A．10 B．32 C．64 D．10或64

【答案】D

【分析】利用第六步为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出m的所有可能的取值．

【详解】如果正整数m按照上述规则施行变换后的第六步为1，

则变换中的第五步一定是2，

变换中的第四步一定是4；

变换中的第三步一定是8；

变换中的第二步一定是16，

变换中的第一步可能是5或32

则的值为10或64，

故选择：D．

【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键，考查学生的推理能力．

题型五：有理数乘方的应用

【例题5】（2021·浙江温州市·九年级二模）镭是一种放射性物质，它的质量缩减为原来一半所用的时间是一个不变的量——1620年，镭的质量由变为，它所需要的时间是（）

A．3240年 B．4860年 C．6480年 D．12960年

【答案】B

【分析】先判断镭的质量变化特点，即缩减了3次，故用3乘以1620年即可求解．

【详解】∵÷=23，质量缩减为原来一半所用的时间是一个不变的量——1620年

∴它所需要的时间是3×1620=4860年

故选B．

【点睛】此题主要考查整式的除法应用，解题的关键是熟知其运算法则．

变式训练

【变式5-1】（2020·浙江七年级单元测试）把一张厚度为的纸连续对折8次后，其厚度接近于（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据有理数的乘方的定义，对折8次为28，然后列出代数式，即可得出答案．

【详解】解：对折8次后的厚度为0.1×28=25.6mm=2.56cm．

接近于2.5cm，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了有理数的乘方的定义，是基础题，理解乘方的定义是解题的关键．

【变式5-2】（2020·浙江七年级期中）接近于（）

A．珠穆朗玛峰的高度 B．三层楼的高度 C．你的身高 D．一张纸的厚度

【答案】B

【分析】根据有理数的乘方运算法则，计算出结果，然后根据生活实际来确定答案．

【详解】解：，相当于三层楼的高度，

故选：B．

【点睛】本题考查有理数的乘方．能利用乘方的定义正确计算是解题关键．

【变式5-3】（2019·浙江）某种细菌每30秒由1个分裂成2个，经过3分，1个细菌分裂成________个．

【答案】64

【分析】把3分转化为含30秒的次数，根据乘方的意义得结论．

【详解】解：因为3分=6个30秒，

所以1个细菌经过3分钟分裂成26个，即64个．

故答案为：64．

【点睛】本题考查了幂的乘方．掌握乘方的意义是解决本题的关键．

含乘方的有理数混合运算

题型六：含乘方的有理数混合运算

【例题6】（2021·怀宁县教育教学研究室七年级期末）计算：．

【答案】29

【分析】

根据含乘方的有理数混合运算性质分析，即可得到答案．

【详解】

．

【点睛】

本题考查了含乘方的有理数混合运算的知识；解题的关键是熟练掌握含乘方的有理数混合运算的性质，从而完成求解．

变式训练

【变式6-1】（2019·广东七年级期中）计算的结果是（　　）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据有理数的乘方运算、乘方运算的逆用即可得．

【详解】

原式，

，

，

，

，

故选：D．

【点睛】

本题考查了有理数的乘方运算、乘方运算的逆用，熟记各运算法则是解题关键．

【变式6-2】（2021·安徽阜阳市·七年级期中）老师在黑板上出了一道有理数的混合运算题

下面是小丽的解答过程：

（1）小丽的解答过程共存在处错误，分别是．

（2）请你写出正确的解答过程：

【答案】（1）2；第一步和第四步（2）

【分析】（1）观察可知共有2处出错，第一步在计算-32时出错，第四步运算顺序出错；

（2）先计算乘方、括号里的，然后进行乘除法运算即可得.

【详解】（1）观察解题过程发现有2处出现错误，第一步在计算-32时负号没了，第四步应该先计算除法，

故答案为2；第一步和第四步；

（2）

=

=

=

=

=.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.

【变式6-3】（2021·安徽七年级期末）计算：．

【答案】1

【分析】

先算乘方，再算乘除，最后算加法；

【详解】

解：原式．

【点睛】

考查了有理数混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．