四川省绵阳市南山中学实验学校2022-2023学年高一数学下学期2月月考试题（Word版附解析）

绵阳南山中学实验学校高2022级高一下期第2学月考试

数学试卷

注意事项：

1． 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．

2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3． 考试结束后，将答题卡交回．

一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据交集的定义直接求解即可.

【详解】因为，，

所以，

故选：A

2. 已知，若，则的最小值为（    ）

A. 10 B. 9 C. 8 D. 7

【答案】B

【解析】

【分析】利用基本不等式“1的代换”求解即可.

【详解】解：因为，，若，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

故选：B .

3. 已知的解集为，求的解集（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系求的关系，再根据一元二次不等式解法求解即可.

【详解】因为的解集为，

所以，且为方程的根，

所以，，

所以，，

所以不等式可化为，

所以，

所以的解集为，

故答案为：B

4. 我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的值的情况，即可判断答案.

【详解】由题意知函数的定义域为，

函数满足，函数为奇函数，图象关于原点对称，

当时，， ，则 ，图象在x轴上方，故A错误，

当 时， ，则，图象在x轴下方，故错误,

结合函数的奇偶性可知，当时，；当时，，

符合题意的图象只有C中图象，

故选：C．

5. 使，的否定为假命题的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意知命题的否定为假命题，则命题为真命题，求出真命题成立的情况下的取值范围，再由选项即可判断出充分不必要条件.

【详解】由题使，的否定为假命题，知，为真命题，又，当且仅当时等号成立.所以是为真命题的充要条件，是为真命题的既不充分也不必要条件，是为真命题的既不充分也不必要条件，是为真命题的充分不必要条件.

故选：D.

6. 在天文学中，常用星等，光照度等来描述天体的明暗程度.两颗星的星等与光照度满足星普森公式.已知大犬座天狼星的星等为，天狼星的光照度是织女星光照度的4倍，据此估计织女星的星等为（参考数据）（    ）

A. 2 B. 1.05 C. 0.05 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，代入数据计算即可得答案.

【详解】解：设天狼星星等为，光照度为，织女星的星等为，光照度为，

因为天狼星的光照度是织女星光照度的4倍，所以，

因为两颗星的星等与光照度满足星普森公式，

所以，解得.

所以，织女星的星等为

故选：C

7. 已知，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由于，然后利用诱导公式即可求解

【详解】因为，

所以．

故选：A

8. 设都是正数，且，则下列等式正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用指数式、对数式互化，再利用对数换底公式及对数运算求解作答.

【详解】因为都是正数，设，则，

即有，显然，

所以，即，A正确；

，B不正确；

，C不正确；

，D不正确.

故选：A

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 若的终边上的一点坐标为，则

B. 若是第一象限角，则是第一或第三象限角

C. 对，恒成立

D. 若，，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据任意角的三角函数可判断选项A；根据象限角的性质可判断选项B；根据同角三角函数的基本关系和任意角的三角函数可判断选项C；根据同角三角函数的基本关系可判断选项D.

【详解】对于A,因为角的终边上的一点坐标为，由任意角的三角函数可得：，故选项A正确；

对于B，因为是第一象限角，即，则，

当为奇数时，为第三象限角；当为偶数时，为第-象限角；所以是第一或第三象限角，故选项B正确；

对于C，因为，，所以，故选项C错误；

对于D，因为，则，所以，

又因为，所以为钝角，则，故选项D正确.

故选：ABD.

10. 若，且，在下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据已知条件，结合不等式性质，以及特殊值法，即可求解.

【详解】对于A，∵，，∴，故A正确，

对于B，，，∴，故B正确，

对于C，令，则，故C错误，

对于D，令，，满足，但，故D错误.

故选：AB.

11. 已知函数为奇函数，且在区间上是增函数，若，则满足的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】分析函数的单调性，可得出，然后分、解不等式，综合可得出原不等式的解集.

【详解】因为函数为奇函数，且在区间上是增函数，故函数在上也为增函数，

且，

由可知，当时，，可得；

当时， ，可得.

综上所述，不等式的解集为.

故选：BC.

12. 已知函数，以下说法正确的有（    ）

A. 若的定义域是，则

B. 若的定义域是，则

C 若恒成立，则

D. 若，则的值域不可能是

【答案】CD

【解析】

【分析】利用一元二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；分析可知对任意的，，列出关于的各种情况，可判断B选项；利用对数运算求出的值，可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，若函数的定义域为，

则关于的不等式的解集为，故，A错；

对于B选项，若函数的定义域为，则对任意的，，

所以，或，B错；

对于C选项，由可得，

即，所以，，C对；

对于D选项，当时，则函数的值域为，

若函数的值域为，则，显然是不可能的，D对

故选：CD

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13. 已知是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为__________

【答案】2

【解析】

【分析】解方程，再检验得解.

【详解】解：依题意，，得或，

当时，，幂函数在上不是减函数，所以舍去.

当时，，幂函数在上是减函数．所以.
故答案为：

14. ，则__________.

【答案】1

【解析】

【分析】根据齐次式，利用弦切互化即可求解.

【详解】，

故答案为：1

15. 已知函数，则关于的不等式的解集为______．

【答案】

【解析】

【分析】分析函数的奇偶性与单调性，得出关于的不等式，求解即可得出不等式的解集．

【详解】函数的定义域为

则，故函数为偶函数.

任取，且

则

因为，所以

所以，即

故函数在区间为增函数

因为函数为偶函数，则在区间为减函数．

又由函数为偶函数，得

则由，得，即

所以，即，整理得，解得

故不等式的解集为．

故答案为：．

16. 符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，在下列命题正确的是________．

①；

②当时，；

③函数的定义域为，值域为；

④函数是增函数，奇函数．

【答案】①②③

【解析】

【分析】由题意可得表示数的小数部分，可得，当时，，即可判断正确结论．

【详解】表示数的小数部分，则①正确，

当时，，②正确，

函数的定义域为，值域为，③正确，

当时，；当时，，

当时，；当时，，

则，即有不为增函数，

由，，可得，即有不为奇函数，④错误．

故答案为：①②③

【点睛】本题考查函数新定义的理解和运用，考查函数的单调性和奇偶性的判断，以及函数值的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

四、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算下面两式的结果

（1）若，求的值．

（2）化简求值：．

【答案】（1）；   

（2） ．

【解析】

【分析】（1）根据指数幂的运算公式，两次平方，即可求解；

（2）根据对数运算法则，化简求值.

【小问1详解】

，则

所以，

【小问2详解】

原式

.

18. 如图，在平面直角坐标系中，第二象限角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为

（1）求的值；

（2）先化简再求值：

【答案】（1），，   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据任意角的定义可得：，然后利用同角三角函数的关系可得，进而求解；

(2)利用诱导公式将式子化简为，结合（1）的结论，代入计算即可.

【小问1详解】

由题知： .

因为，所以

又因为为第二象限角，所以.

则.

【小问2详解】

原式＝=

   .

19. 已知．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）解关于的不等式．

【答案】（1）或   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）直接将代入，根据一元二次不等式即可得解集，

（2）将与1比较，分类讨论即可求解．

【小问1详解】

当时，，，或，

不等式解集为：或；

【小问2详解】

不等式可化为．

①当时，原不等式即为，解得；

②当时，原不等式化为，解得；

③当时，原不等式化为，解得．

综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

20. 世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.

（1）求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；

（2）2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】（1）;   

（2）100（百辆），2300万元.

【解析】

【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；

（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.

【小问1详解】

由题意知利润收入-总成本，

所以利润

  ,

故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .

【小问2详解】

当时，，

故当时，；

当时，,

当且仅当， 即时取得等号；

综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．

21. 已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求、的值；

（2）证明在上为减函数；

（3）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）由奇函数的性质可得，可求得的值，再利用奇函数的定义可求得的值；

（2）根据函数单调性的定义即可证明结论成立；

（3）利用函数的奇偶性和单调性将恒成立，转化为对任意的都成立，结合可求得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：因为函数在上为奇函数，则，解得，

由奇函数定义可得，

所以，，即，则，可得.

【小问2详解】

证明：由（1）得 ，

任取、，且，则，

则，

，即，所以函数在上为减函数.

【小问3详解】

解：根据 （1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数.

不等式恒成立，

即恒成立，

也就是对任意的都成立，

即对任意的都成立，则，解得，

即的范围是.

22. 若函数在区间上有最大值4和最小值1，设．

（1）求a、b的值；

（2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围；

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由二次函数在上的单调性最大值和最小值，从而求得；

（2）用分离参数法化简不等式为，然后令换元，转化为求二次函数的最值，从而得参数范围．

【小问1详解】

，对称轴，

在上单调递增，

所以，解得；

【小问2详解】

由（1）知化为，

即，

令，则，因为，所以，

问题化为，

记，对称轴是，因为，所以，