重庆市长寿中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

重庆市长寿中学校2024届高二下·半期考试

数学试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设数列的前项和，则的值为（    ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

【答案】D

【解析】

【分析】利用求解即可.

【详解】，，

故.

故选：D

2. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ）

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

【答案】A

【解析】

【分析】观察函数在内的图象与轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解.

【详解】解：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，

在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.

故选：A.

3. 若函数在处的导数为2，则（    ）

A. 2 B. 1 C.  D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由导数的定义，代入计算，即可得到结果.

【详解】根据导数的定义可得，函数在处的导数为2，

则.

故选：B

4. 函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案.

【详解】由图知：，即.

故选：A

5. 1至10中的质数能够组成的所有没有重复数字的整数的个数为（    ）

A. 4 B. 12 C. 24 D. 64

【答案】D

【解析】

【分析】先找出1至10中的所有质数，然后将这些质数可以组成的整数分类，最后利用分类加法计数原理即可得解．

【详解】1至10中质数有2，3，5，7，

由2，3，5，7组成的没有重复数字的整数可以为一位数、两位数、三位数、四位数，

这4个数字可组成的一位数有（个），

可组成的没有重复数字的两位数有（个），

可组成的没有重复数字的三位数有（个），

可组成的没有重复数字的四位数有（个），

则1至10中的质数能够组成的所有没有重复数字的整数的个数为．

故选：D．

6. 四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（    ）

A. 36种 B. 72种 C. 48种 D. 24种

【答案】B

【解析】

【分析】利用分步乘法原理和分类加法原理分析求解

【详解】依次涂色，底面ABCD的涂色有4种选择，侧面PAB的涂色有3种选择，侧面PBC的涂色有2种选择．

①若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色相同，则侧面PAD的涂色有2种选择；

②若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色不同，则侧面PCD的涂色有1种选择，侧面PAD的涂色有1种选择．

综上，不同的涂法种数为．

故选：B．

7. 已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】函数在上单调递减，即在上恒成立，构造函数，利用导数判断单调性，即可得实数的取值范围，再结合充分不必要条件的定义，判断即可．

【详解】函数在上单调递减，则在上恒成立，

所以在上恒成立，

设函数，则，

令，解得或（舍去），

所以在上恒成立，所以在上单调递增，

所以，所以．

所以“”是“”的充分不必要条件，

即”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件．

故选：A．

8. 已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则关于不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】构造新函数，利用已知不等式可得的单调性，从而可解不等式．

【详解】涉及函数定义域为，

设，则，

∵，∴，∴在上单调递增，

不等式可化为，即，所以，，又，得，

∴原不等式的解为．

故选：A．

【点睛】本题考查用导数解不等式，解题关键是构造新函数，利用新函数的单调性解不等式，新函数需根据已知条件和需要解的不等式确定，简单的有，，，，等等，复杂点的如，或，象本题难度更大．注意平时的积累．

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9. 下列各式的运算结果中，等于的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】应用排列数公式将各选项展开化简，即可判断是否等于.

【详解】A，，故正确；

B，，故错误；

C，，故正确；

D，，故错误．

故选：AC．

10. 对于定义在上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（    ）

A. 使的x一定是函数的极值点

B. 在上单调递增是在上恒成立的充要条件

C. 函数的切线与函数可以有两个公共点

D. 若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大

【答案】ABD

【解析】

【分析】通过反例可判断ABD，C可以通过函数，,，进行判断．

【详解】对于A，的不一定是函数的极值点，

比如在处导函数的值为0，但不是的极值点，故A错误；

在上单调递增，可能会在某点导函数等于0，

比如为上的单调递增函数， 在处的导函数值为0，

故在上单调递增不是在上恒成立的充要条件，故B错误；

对于C，，,，在点,处的切线与函数有两个公共点，故C正确；

对于D，若函数既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，

比如，在处取得极大值，在处取得极小值2，极小值大于极大值，故D错误；

故选：ABD．

11. 已知函数，则（    ）

A. 当时，函数的极大值为 B. 若函数在上单调递增，则或

C. 函数必有两个极值点 D. 函数必有三个零点

【答案】ACD

【解析】

【分析】求导即可判断A，将问题转化为恒成立即可判断BC，根据零点的定义即可判断D.

【详解】对于A，当时，，则，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，则函数的极大值为，

故A正确；

对于B，函数在上单调递增，则恒成立，由，可得必有两根，且，则在单调递减，故B错误；

对于C，由B选项可知，在单调递减，在上单调递增，故函数必有两个极值点，故C正确；

对于D，，而，其中，则必有两相异实根，且不为0，故必有3个零点，故D正确；

故选：ACD

12. 设函数（），则（    ）

A. 当时，存在唯一极值点

B. 当时，

C. 当时，在上单调递增

D. 当时，存在唯一实数使得函数恰有两个零点

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用导数求出的单调性，确定最值以及极值点判断AB；由导数判断C；由函数的单调性确定恰有两个解，再构造函数，得出其单调性，进而证明的唯一性.

【详解】

当时，在上单调递减，在上单调递增，故A，B正确；

当时，在上单调递减，C错误；

当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

，，所以恰有两个解，即，令，则，，单调递减，由且知，存在使得在上单调递增，在上单调递减，由且知，存在唯一的使得，故D正确.

故选：ABD

【点睛】证明函数的单调性可以采用求导的方式，在证明函数只有一个零点时，先由导数得出其单调性结合零点存在性定理得出只有一个零点.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 数列中，若，且，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用等差数列通项公式可直接求得结果.

【详解】由，知：数列是以为首项，为公差的等差数列，

.
故答案为：.

14. 的值为________．

【答案】696

【解析】

【分析】根据排列数的性质可求得，即可计算.

【详解】由已知可得，解得，

所以.

故答案为：696.

15. 曲线在处切线的倾斜角是______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据题意，求导得，再由导数的几何意义，即可得到结果.

【详解】设切线的倾斜角为，

因为，则，

且，则，

所以曲线在处切线的倾斜角是.

故答案为：

16. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______.

【答案】4

【解析】

【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算可得，然后结合基本不等式即可得到结果.

【详解】因为，则，令，可得，然后将代入，可得，即，所以

，当且仅当时，取等号.

所以的最小值是.

故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 从0-9这10个数字取出3个数字，试问：

（1）有多少个没有重复数字的排列方法？

（2）能组成多少个没有重复数字的三位数？

（3）能组成多少个没有重复数字的三位数奇数？

（注：要有适当的文字说明，最终结果用数字表示）

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据题意，结合排列数公式，即可求解；

（2）根据题意，分别求得每一位数字都不是0的三位数、个位数字是0的三位数和十位数字是0的三位数，结合分类计数原理，即可求解；

（3）可分为五类：当个位数字是1时，且百位不能为0、个位数字是3时，且百位不能为0、个位数字是5时，且百位不能为0、个位数字是7时，且百位不能为0、个位数字是9时，且百位不能为0的三位数，结合分类计数原理，即可求解．

【小问1详解】

解：从这10个数字取出3个数字排成一列有种．

【小问2详解】

解：由题意，第一类：每一位数字都不是0的三位数有个；

第二类：个位数字是0的三位数有个；

第三类：十位数字是0的三位数有个

根据分类计数原理，能组成个没有重复数字的三位数．

【小问3详解】

解：由题意，第一类：当个位数字是1时，且百位不能为0的三位数有个；

第二类：当个位数字是3时，且百位不能为0的三位数有个；

第三类：当个位数字是5时，且百位不能为0的三位数有个；

第四类：当个位数字是7时，且百位不能为0的三位数有个；

第五类：当个位数字是9时，且百位不能为0的三位数有个；

根据分类计数原理，能组成个没有重复数字的三位数奇数．

18. 已知函数.

（1）设为偶函数，当时，，求曲线在点处的切线方程；

（2）设，求函数的极值.

【答案】（1）   

（2）的最大值是；无极小值

【解析】

【分析】（1）根据题意，由函数的奇偶性可得，然后求导，由导数的几何意义，即可得到结果.

（2）根据题意，求导得，然后分与谈论，即可得到结果.

【小问1详解】

时，，是偶函数，

故，

，故，

故切线方程是：，

即；

【小问2详解】

，

，

时，，在递增，函数无极值，

时，令，解得：，令，解得：，

故在递增，在递减，

故的最大值是；无极小值；

19. 已知函数在处有极值10.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求在上的最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）10.

【解析】

【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出的值，验证需满足在两侧的单调性相反，即导数异号才为极值点，即可确定的值；

（Ⅱ）对函数进行求导，利用导数研究出函数在上的单调区间，求出端点值以及极值，比较大小即可确定函数在上的最小值．

【详解】（Ⅰ）若函数在处有极值为10，

则或 ，

当 时， ， ，所以函数有极值点；

当时， ，所以函数无极值点；所以

（Ⅱ），

由得

所以令，得或；    令得

所以在上单调递增，上单调递减．

，  ， 所以最小值为10.

【点睛】本题考查函数在某点取极值的条件以及利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，考查学生基本的计算能力，属于基础题．

20. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.

（1）求函数的解析式；

（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.

【答案】（1）；（2）当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.

【解析】

【详解】分析：（1）根据题意已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，然后根据利润计算式得出具体表达式，然后根据导数求最值思维求解即可.

详解：

（1）有题意可知，当时，，即，

解得，

所以.

（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则

，

，

令，得或（舍去），

所以当时，为增函数；

当时，为减函数，

故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，

即时函数取得最大值.

所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.

点睛：考查函数的表示，导函数最值的应用，正确理解题意，写出具体表达式，然后借助导数分析思维求解是解题关键，做此类题要有耐心，认真审题，读懂题意，属于中档题.

21. 已知函数，，其中常数.

（1）当时，试判断的单调性；

（2）若在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；

（3）设函数，当时，若存在，对任意的，总有成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）在上单调递增函数；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）把代入，求出导数并判断导数正负作答.

（2）求出函数的导数，利用给定的单调性建立恒成立的不等式，再求解作答.

（3）把问题转化为函数在上的最大值不小于函数在上的最大值求解作答.

【小问1详解】

当时，，定义域为，因为在定义域上恒成立，

所以在上是单调递增函数.

【小问2详解】

函数的定义域为，由于在上为增函数，

则有对恒成立，

即对恒成立，因当且仅当时，取得最小值2，即取得最大值，

所以，即实数a的取值范围.

【小问3详解】

依题意，存在，对任意的，总有成立，

等价于函数在上的最大值不小于函数在上的最大值，

当时，，求导得，

当时，，函数递增，当时，，函数递减，

因此，，

由二次函数的图象开口向上知，函数在上的最大值，

于是，，，则，

所以实数m的取值范围为 .

22. 已知函数,其中．

（1）当时,求曲线在点处切线方程;

（2）当时,判断的零点个数,并加以证明;

（3）当时,证明:存在实数m,使恒成立．

【答案】（1）   

（2）1个    （3）证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据代入解析式,求出,根据点斜式写出切线方程即可;

(2)对函数求导求单调性,观察到,根据单调性分析零点个数即可;

(3)先对函数求导,再通分,令再对新函数求导判断单调性即值域情况,分析的正负,即的正负,进而求出的单调性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在实数m,使恒成立.

【小问1详解】

解:由题知,

,

,

,

故在点处的切线方程为,

即;

【小问2详解】

由题,,

,

,

,

故在上单调递增,

,

故有1个零点;

【小问3详解】

由题,,

,

令

,

,

即在上单调递增,

,

且

,

故,使得,

即

在上单调递增,

即,单调递减,

即,单调递增,

故,

若恒成立,

只需,

即即可,

故存在实数m,使恒成立.

【点睛】方法点睛:此题考查导数的综合应用,属于难题,应用了隐零点,关于隐零点的方法有:

(1)对函数进行求导后,进行因式分解,写成几个因式的乘积;

(2)然后将容易判断正负的先进行判断,不好判断的令为一个新的函数;

(3)对新的函数进行求导求单调性;

(4)取区间内的点代入新函数中判断函数值正负,直到函数值相互异号为止;

(5)根新函数的单调性即可判断在区间内有零点,设为,判断左右两侧的新函数的函数值正负,即可判断原函数的单调性求出最值.