贵州省贵阳市清镇市2022-2023学年高二数学下学期期末考试试题（Word版附解析）

高二年级  数学

学校：    姓名：    座位号：

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由交集的运算求解即可.

【详解】

故选：B

2. 若复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】求得，进而可得结果.

【详解】因为，所以其在复平面内对应的点在第一象限.

故选：A.

3. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式求得，进而结合角的范围，利用平方关系求得，然后利用商数关系求得.

【详解】，

又∵，

∴,

∴，

故选：B.

4. 已知命题：，，则命题的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，判断即可.

【详解】解：命题：，为存在量词命题，

其否定为，；

故选：D

5. ，两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若去甲城市的概率为，去甲城市的概率为，则，不去同一城市上大学的概率为（    ）

A. 0.3 B. 0.56 C. 0.54 D. 0.7

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件得到，分别去乙城市的概率，从而求得，去同一城市上大学的概率，即可得到，不去同一城市上大学的概率.

【详解】由题意知：去甲城市的概率为，去甲城市的概率为，

即去乙城市的概率为0.4，去乙城市的概率为0.8，

所以，去同一城市上大学的概率，

所以则，不去同一城市上大学的概率，

故选：B.

6. 已知函数在处有极值，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】函数在处有极值，则导函数在处的函数值等于0.

【详解】,因为函数在处有极值,所以,解得.代入检验满足题意，

故选：A

7. 抛物线的焦点到准线的距离为（    ）

A. 4 B. 2 C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为，从而得到结果.

【详解】抛物线的焦点到准线的距离为， 由抛物线标准方程可得，

故选：C.

8 已知数列中，前项和满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】在中，令可解得结果.

【详解】因为，

令得，解得；

令得，解得；

令得，解得.

故选：C.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分）

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】AD

【解析】

【分析】举反例排除BC，利用不等式的性质判断AD，从而得解.

【详解】对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确；

对于B选项，例如：，，但是，所以B错误；

对于C选项，当时，，所以C错误；

对于D选项，因为，所以，又，所以，所以D正确.

故选：AD．

10. 为了得到函数的图像，只需将图像上的所有点（    ）

A. 先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍

B. 先向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的

C. 先将横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度

D. 先将横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度

【答案】BD

【解析】

【分析】首先将化成，然后利用先平移后伸缩与先伸缩后平移两种方法得到答案.

【详解】，

把的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，

再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像；

或者把的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像，

再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，

故选：BD．

11. 如图，用正方体ABCD一A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是（    ）

A. MN与CC1垂直

B. MN与AC垂直

C. MN与BD平行

D. MN与A1B1平行

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据线线垂直、线线平行等知识确定正确答案.

【详解】由于是的中点，所以三点共线，则是的中点，

由于是的中点，所以，C选项正确.

根据正方体的性质可知平面，

由于平面，所以，所以，A选项正确.

由于，所以，B选项正确.

由于，与相交，所以与不平行，D选项错误.

故选：ABC

12. 已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法正确是（    ）

A. 圆M的圆心为，半径为1

B. 直线的方程为

C. 线段的长为

D. 取圆M上的点，则的最大值为36

【答案】BD

【解析】

【分析】A选项，将圆的一般式化为标准式，得到圆心和半径，A正确；B选项，两圆相减得到直线的方程；C选项，由垂径定理得到线段的长；D选项，设，利用三角恒等变换得到最值.

【详解】A选项，变形，

圆心为，半径为1，A错误；

B选项，圆和圆相减得，

故直线的方程为，B正确；

C选项，由B可知，直线的方程为，

圆心到的距离为，

故线段的长为，C错误；

D选项，由题意得，设，

则

，其中，

故当时，取得最大值，最大值为，D正确.

故选：BD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）

13. 已知平面向量，，若，则________．

【答案】

【解析】

【分析】根据求出的值，再根据模长的坐标公式求解即可.

【详解】因为，所以.

所以，所以.

故答案为：

14. 2019年中共中央、国务院印发了《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，《意见》提出坚持“五育并举”，全面发展素质教育．为了落实相关精神，某校举办了科技、艺术、劳动、美食文化周活动，在本次活动中小明准备从水火箭、机甲大师、绘画展、茶叶采摘、茶叶杀青、自助烧烤个项目中随机选择个项目参加，那么小明的选择中没有“茶叶采摘”这一项目的概率是______．

【答案】

【解析】

【分析】用符号表示各个项目，利用列举计数得到从6个项目中任选2各项目的所有结果种数，并计算其中满足条件的选法种数，根据古典概型的计算公式计算.

【详解】设六个项目依次用符号a,b,c,d,e,f表示，其中d是“茶叶采摘”.

从中最忌选择两个项目参加，有ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15中不同的结果，每一种结果都是等可能的，包含d的有ad ,bd,cd,de,df共5种，不包含d的有10种，

所以所求概率为,

故答案为：.

15. 二项展开式中项的系数是______．

【答案】

【解析】

【分析】由二项式定理可得二项展开式通项公式，令即可求得结果.

【详解】展开式的通项公式为：，

当时，的系数为.

故答案为：.

16. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的面积为______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据正弦定理边角化可得,由余弦定理可得值，进而由面积公式即可求解.

【详解】由正弦定理可得,

由，进而，

故，，

所以的面积为,

故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）正弦定理得，可得，从而可求；

（2）由三角表面积公式可得，结合余弦定理可得的值．

【小问1详解】

由正弦定理得，，

在中，，

所以，即，

由于，所以；

【小问2详解】

由的面积为，得，解得，

由余弦定理得：，

即，，解得．

所以的周长为．

18. 2022年2月4日—2月20日北京冬奥会如期举行，各国媒体争相报道运动会盛况，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看冬奥新闻.某机构将每天关注冬奥时间在1小时以上的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，通过调查并从参与调查的人群中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：

（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年龄有关？

（2）现从抽取的50岁及以下的人中，按“非冬奥迷”与“冬奥迷”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后，将从这5人中随机选出2人，其中“冬奥迷”的人数为，求的分布列及数学期望.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】（1）能    （2）分布列见解析；

【解析】

【分析】（1）由列联表计算可得，由此可得结论；

（2）根据分层抽样原则可确定“非冬奥迷”与“冬奥迷”应抽取的人数，由此可确定所有可能的取值，利用超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得的分布列；根据数学期望公式计算可得期望.

【小问1详解】

由列联表可得：，

能在犯错误的概率不超过的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年龄有关.

【小问2详解】

由题意知：“非冬奥迷”应抽取人；“冬奥迷”应抽取人；

则所有可能取值为，

；；；

的分布列为：

则数学期望.

19. 已知等差数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案；

（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解．

【小问1详解】

解：设等差数列公差为d，首项为a1，

由题意，有，解得，

所以；

【小问2详解】

解：，所以．

20. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，．

（1）证明：．

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明;(2)建系,利用空间向量的坐标运算可求解.

【小问1详解】

在直三棱柱中，平面,平面,

所以 ，

又由题可知，，

,平面

且,

所以平面,

又因为平面,所以.

【小问2详解】

以为坐标原点，分别为轴建系如图，

由，，可得，

则有

设平面的一个方向量为 ,

所以 即 令则，

所以

因为平面,所以为平面的一个法向量，

所以,,

即二面角的余弦值等于.

21. 已知函数．

（1）求函数的单调区间．

（2）若对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）单调增区间 单调减区间 （2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）对函数求导，令，解不等式，即得到递增区间，令，解不等式，即得递减区间；（2）若对恒成立，即对恒成立，所以问题转化为求成立即可，即求函数在区间上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在上的最小值，于是可以求出的取值范围．

试题解析：（1）令，解得或，

令，解得：.    

故函数的单调增区间为，单调减区间为. 

（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

∴，                          

∵对恒成立，

∴，即，∴

22. 已知椭圆的离心率为为的右焦点，过点作与轴不重合的直线，交于两点，当与轴平行时，.

（1）求的方程；

（2）为的左顶点，直线分别交直线于两点，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用椭圆的右焦点结合，转化求解，得到椭圆方程.

（2）当直线斜率不存在时，求出相关点的坐标，验证；当直线斜率存在时，设直线，，由消去，利用韦达定理，表示出，即可求得结果.

【小问1详解】

设，

当与轴平行时，直线的方程为，则在椭圆上，

代入椭圆方程得，

又因为离心率，解得.

所以的方程为.

【小问2详解】

设，由椭圆的方程得，

当直线斜率不存在时，，

直线的方程为，

令得，同理.

若直线斜率存在时，设直线，

联立得，

即，

，

直线的方程为，

令得，

同理，

则