四川省绵阳市南山中学实验学校2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

绵阳南山中学实验学校高2022级半期考试试题

数学

总分：150分    时间：120分钟

第I卷（选择题）

一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量数量积的坐标表示并结合三角函数的和差角公式即可求解.

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

2. 已知点，，向量，则向量（        ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，由求出，从而求出.

【详解】设，则，

故，解得，

所以，

又因为，所以.

故选：A

3. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（        ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出，再由正弦定理进行求解.

【详解】因为，所以，

由正弦定理得，即，

所以.

故选：B

4. 为了得到函数图象，只需要把函数图象（        ）

A. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位

B. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位

C. 先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）

D. 先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解.

【详解】解：先将函数图像横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到，

再向右平移个单位得到的图像；

或者将函数图像向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得到的图像.

故选：B

5. 在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象及其性质，即可得出，，进而根据，即可求出的值，即可得出答案.

【详解】

因为是的中点，所以，.

又因为是的中点，

所以，，

又，所以，，所以．

故选：A．

6. 已知的角的对边分别为，且满足，若，，则（        ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简求得，利用余弦定理可构造方程求得的值.

【详解】由正弦定理得：，

，又，，，

由余弦定理得：，解得：（舍）或.

故选：B.

7. 在平行四边形中，，，则（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量加减运算法则得到，，两式平方相加求出答案.

【详解】因为，，，，

所以，

又，

因为，，

两式相加得，.

故选：D

8. 如图是函数在一个周期内的图象，该函数图象分别与轴、轴相交于、B两点，与过点的直线相交于另外两点、，则（        ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求得两点的坐标，根据对称性求得，进而求得.

【详解】因函数，由，所以，

令，即，可得

即，当时，，所以，

因为函数关于点A对称，所以关于A的对称点为，即的中点为A，

所以

又因为，所以.

故选：D

二、多选题：本大题共4个小题，每个小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 关于非零向量，，下列命题中不正确的是（   ）

A. 若，则

B.

C. 若，，则

D. 向量在上的投影向量为

【答案】AB

【解析】

【分析】A选项，方向不一定相同；B选项，可举出反例；C选项，根据向量定义可得；D选项，根据投影向量定义和公式可得.

【详解】对于A，，但方向不定，不一定相等，A错误；

对于B，向量运算不满足结合律，可令，

则，，故，B错误；

对于C，向量相等可以传递，C正确；

对于D，，均为非零向量，在上的投影向量为，D正确.

故选：AB

10. 若函数，则下列结论正确的是（        ）

A. 函数的最小正周期为

B. 函数在区间上单调递增

C. 函数图象关于对称

D. 函数的图象关于点对称

【答案】BCD

【解析】

【分析】化简的解析式，然后根据三角函数的周期性、单调性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】

所以最小正周期为，A错误；

当，则，故在上递增，B正确；

由，故是的一条对称轴，C正确；

由，故是一个对称点，D正确.

故选：BCD

11. 在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（        ）

A. 若，则一定是钝角三角形

B. 若，则

C. 若，则为等腰三角形

D. 若为锐角三角形，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据余弦定理、正弦定理、诱导公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于A选项，因为，则，

故角为钝角，A选项正确；

对于B选项，因为，由正弦定理可得，所以，B选项正确；

对于C选项，因为，即，

整理可得，所以，或，

故为等腰三角形或直角三角形，C选项错误；

对于D选项，若为锐角三角形，所以，所以，

则，D选项正确.

故选：ABD

12. 已知函数，则（        ）

A. 函数关图象于轴对称

B. 函数的最小正周期为

C. 函数的值域为

D. 方程在上恰好个实数根，则

【答案】AC

【解析】

【分析】A选项，根据函数奇偶性定义得到函数为偶函数，故A正确；B选项，求出，B错误；C选项，画出时，函数的图象，数形结合得到函数最值和值域；D选项，数形结合得到函数有4个实数根时，的取值范围.

【详解】A选项，定义域为R，

因为，

所以函数为偶函数，故A正确；

B选项，若，则，而，此时，

故，

所以不是函数周期，故B错误；

C选项，对，当时，

，，

作出函数图象，

由图象知，最大值为2，当时，可取最小值，故函数值域为，故C正确；

D选项，由图象知，与在恰好有4个交点，则，D错误.

故选：AC

【点睛】方法点睛：

函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.

【答案】

【解析】

【分析】设，，根据求出，得到答案.

【详解】因为是与反向的单位向量，设，，

所以，所以，故.

故答案为：

14. __________.

【答案】

【解析】

【分析】根据正切和角公式得到，代入即可求解.

【详解】因为，

所以

所以

故答案为：

15. 萧县的萧窑､淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.2015年，安徽省启动对萧县欧盘村窑址的考古发掘，大量瓷器的出土和窑炉遗迹的揭露，将萧窑的历史提溯至隋代.为进一步摸清萧窑窑址的分布状况､时空框架以及文化内涵等，经国家文物局批准，2021年3月，正式对萧县白土寨窑址进行主动性考古发掘.如图，为该地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为_______cm.（参考数据：取）

【答案】14

【解析】

【分析】作出辅助线，由正弦定理得到，求出，在中，利用余弦定理求出，得到答案.

【详解】如图，延长交于点，因为，所以，

故，

由题意得，

故，

故两点之间的距离为.

故答案为：14

16. 已知函数满足，若函数在区间上单调，且，当取得最大值时，则__________.

【答案】##

【解析】

【分析】利用辅助角公式得到，，由得到方程，求出，，从而得到，结合题目条件得到的最大值为半个周期，故，，代入求出答案.

【详解】因为，其中，

又因为，所以，

所以，即，

所以，解得，

所以，

又因为在区间上单调，且，

所以点关于对称中心对称，且的最大值为半个周期，

易知的对称中心为，所以，，

所以.

故答案为：

四、解答题:本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.

17. 已知两个非零向量与不共线.

（1）若与平行，求实数的值；

（2）若，，且，求.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】根据向量平行设出，从而得到方程组，求出；

（2）表达出，根据模长得到方程，求出的值.

【小问1详解】

因为与平行，且与不共线

所以

所以，解得

【小问2详解】

因为

所以，解得或.

经检验，均满足与不共线，故或

18. 在中，角的对边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）若，，求面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简已知条件，由此求得.

（2）利用余弦定理求得，根据三角形的面积公式求得三角形的面积.

【小问1详解】

依题意，，

由正弦定理得，

，

由于，所以，

则为锐角，所以.

【小问2详解】

由余弦定理得，

即，解得.

所以.

19. 已知，，.

（1）若，求实数的值；

（2）若，且，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据向量平行列方程，根据同角三角函数的基本关系式求得的值.

（2）化简的解析式，根据诱导公式、二倍角公式求得.

【小问1详解】

因为，所以，

因为，所以.

【小问2详解】

因为，

所以，

所以

.

20. 如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面，它的右侧有一点且距离地面.风车翼片的一个端点从开始计时，按逆时针方向旋转.

（1）试写出点距离地面的高度关于时刻（min）的函数关系式；

（2）在点旋转一周的时间内，有多长时间点距离地面不超过？

【答案】（1）   

（2）分钟.

【解析】

【分析】（1）以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，先求出为终边的角为，接着利用三角函数的定义求出点纵坐标，即可求解；

（2）解法一：用三角函数的性质求解，可得到距离地面超过持续时间，即可求解；解法二：用三角函数的性质求解，即可得到距离地面不超过持续时间.

【小问1详解】

以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为轴，过圆心且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系.

以轴非负半轴为始边，设为终边的角为，则，故；

点时刻所转过的圆心角为：，

若时刻时蚂蚁爬到圆环点处，那么以轴非负半轴为始边，

为终边的角为，则点纵坐标为，

所以

【小问2详解】

解法1：令，即

所以，解得，

所以在一周时间范围内，距离地面超过持续时间为：分钟，

所以不超过8m的时间是分钟..

解法二：即

所以，解得

在一周内，距离地面不超过持续时间为：分钟，

所以不超过8m时间分钟.

21. 记的内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求；

（2）若，求周长的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）已知等式结合倍角公式和余弦定理，化简得，可求；

（2）结合正弦定理表示出a和c，进而将周长表示为关于角A的正弦函数，利用正弦函数性质以及A的范围即可求得答案．

【小问1详解】

，由倍角公式得，

由余弦定理，，化简得，

则，由，得.

【小问2详解】

由正弦定理得︰ ，

∴ ， ，，

 ，

 由， ，∴， 即（当且仅当时，等号成立），

从而周长的取值范围是

22. 如图，点，点A是单位圆与轴的正半轴的交点.

（1）若，求；

（2）设点为单位圆上的动点，点满足，，，求的取值范围；

（3）在(2)的条件下，当时，求四边形的面积.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用三角函数定义并结合二倍角的正弦公式即可求解；

（2）先根据三角函数的定义和平面向量的坐标表示求出，然后结合的范围即可求出的取值范围；

（3）先根据求出，然后利用面积公式可求得结果.

【小问1详解】

由三角函数定义，可知，，

所以.

【小问2详解】

由三角函数定义，知，

所以，

所以，

因为，所以，即，

于是，所以的取值范围是.

【小问3详解】

当时，，即，

因为，所以解得或（此时不能构成四边形，舍去），

易知四边形为菱形，此时菱形的面积为.