【中职专用】高中数学 人教版2021·基础模块上册 4.1.1实数指数（教案）

4.1.1  实数指数

课  型

新授课

课  时

1

授课班级

授课时间

授课教师

教材分析

教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块上册第四章；

教材内容：包括指数与指数函数、对数与对数函数、指数函数与对数函数的应用；

地位与作用：本章内容为高中一年级基础模块上册第四章，系学生高中数学的重点内容，高考中的必然考查部分，难度适中，主要学习幂值与幂指数变化规律、指数与对数的互逆运算、指数函数与对数函数的定义、图像和性质、指数函数与对数函数在工程、生物、社会科学中的应用.通过本章内容学习，学生应初步掌握从实际情境中抽象出指数函数、对数函数模型来解简单实际问题的方法.

学情分析

1. 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；
2. 通过实数指数学习，掌握整数指数幂及分数指数幂运算规则，提高实数指数幂的计算能力；
3. 职教高考学生在初中学业水平偏弱，因此在本节课教学中需通过复习初中所学整数指数的运算方法来渗透幂的指数并由浅及深推广到正整数指数幂--整数指数幂--分数指数幂--有理数指数幂--实数指数幂，掌握有特殊到一般的归纳推导方法.

学习目标

1. 理解幂函数的相关概念、实数指数的分类，提高实数指数幂的计算能力；
2. 学生运用分组探讨、合作学习，掌握实数指数的运算法则，学会利用计算器求实数指数幂的值，提高学生的数学运算能力；
3. 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质。

学习重难点

1. 理解幂函数的相关概念、实数指数的分类
2. 掌握实数指数的运算法则
3. 掌握利用计算器求实数指数幂的值

教学方法

讲授法、谈话法、谈论法

课前准备

教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；

学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；

教学媒体

教学课件PPT、多媒体展板

教学过程

第一课时

教学环节

教师活动设计

学生活动设计

设计意图

活动一：

创设情境

生成问题

1. 整数指数

问题导入：相传，在某个王国里有一位聪明的大臣，他
发明了国际象棋，献给了国王，作为奖励，国王答应满足这个大臣的一个愿望。大臣说：“就在棋盘上（如图4-1所示）放上一些麦粒吧！”放麦粒时第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒…一直到第64格（后面一格的麦粒数是前面一格的两倍），那么第64格应放多少粒？

根据问题思考，

并尝试利用初中所学知识解答。

通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容。

活动二：

调动思维

探究新知

事实上，第1格放的麦粒数是1；
第2格放的麦粒数是2；

第3格放的麦粒数是
            第4格放的麦粒数是

        第5格放的麦粒数是

……
第64格放的麦粒数是.

在初中我们学习了整数指数，并且知道：
           a2=a×a,

       a3=a×a×a,
……

an=a×a×…×a(n个a连乘）,
也就是说，an是n个相同因子a的连乘积的缩写，所以第64格应放的麦粒数可以记作263.
    一般地，an(n∈N+）称为a的n次幂，a称为幂的底数，n称为幂的指数.并且规定

a1=a.

在上述定义中，n必须是正整数，所以这样的幂称为正整数指数幂.容易验证，正整数指数幂的运算满足如下法则：

（1）aman=am+n；

（2）(am)n=amn；

（3）

（4）(ab)m=ambm.

探索研究
在法则（3）中，我们作了m＞n的限制，如果取消

这种限制，法则(3）是否仍成立？
我们考虑将正整数指数幂推广到整数指数幂．例如，

当a≠0时，
        
        
这些结果不能用正整数指数幂的定义来解释，但我

们知道，
       

这就启示我们，如果规定

则上述运算就合理了．于是我们规定：
           a0=1(a≠0)；

由上面规定的零指数幂和负整数指数幂的意义，我们就把正整数指数幂推广到整数指数幂，并且正整数指数幂的运算法则，对整数指数幂运算仍然成立，例如：

80=1，（-0.8）0=1，（a-b）0=1（a≠b）；

0.0001=10-4；

注：对于零指数和负整数指数，底数不能为0.

2. 分数指数

在初中我们还学习了方根的概念．如果
            xn=a(n＞l,n∈N),
则x称为a的n次方根．在实数范围内，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，分别表示为(n为偶数）；负数的偶次方根没有意义，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为(n为奇数）.0的任何次方根都是0，记作.
    正数a的正n次方根称为a的n次算术根．
    当有意义的时候，称为根式，n称为根指数．根据n次方根的定义，根式具有性质：

（1）；

（2） 当n为奇数时，；

当n为奇数时，

例如：

探索研究
在法则（2）中，若幂指数取正分数，法則（2）是

否仍成立？我们考虑将整数指数幂推广到正分数指数

幂．例如：
①②

①②式的运算虽然无法用整数指数幂的定义来解释，但

是，①式含义是连乘3次得到a，所以，可以看作

a的3次方根；②式含义是连乘3次得到a2，所以，

可以看作a2的3次方根．所以，规定
 

是合理的．这样，正分数指数幂运算就能像整数指数幂

那样运算了.

我们约定底数a＞0．于是，当a＞0时，定义：

以上我们将整数指数幂推广到了正分数指数幂，而负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，即a＞0时，定义：

注：为希腊字母，分别读作“alpha”,“beta”.

至此，我们把整数指数幂推广到有理数指数幂，有理数指数幂还可推广到实数指幂．在(a＞0)中，a可以为任意实数.实数指数幂有如下三条运算法则：

其中a＞0，b＞0，为任意实数.             

分组讨论，尝试概括问题情境中问题，理解幂指数的相关概念，验证正整数指数幂的运算法则

认真习读并理解教材右侧方框“注”中的内容

认真识读教材右侧方框“注”中的内容

通过分组讨论方法，解答问题情境问题，理解幂指数的相关概念，自主验证正整数指数幂的运算法则，有利于提高学生动手动脑能力，使学习效率更高效

活动三：

巩固练习

素质提升

例 1.计算

解 

例 2.利用函数型计算器计算（精确到0.01）：

（1）0.21.52；（2）3.14-2；（3）

解 按键【SHIFT】【菜单】【3】【1】【2】（设定计算器显示的精度为0.01）.

（1）   

所以0.21.52≈0.09.

（2）   

所以3.14-2≈0.10.

（3）

所以

例 3.利用函数型计算器计算函数值.已知f（x）=2.71x,求f（-3），f（-2），f（-1），f（2），f（3）（精确到0.001）.

解 按键【SHIFT】【菜单】【3】【1】【2】（设定计算器显示的精度为0.01）.

所以f（-3）≈0.050.

在输入行保持2.71不变，依次把-3换为-2（按等号键【=】），-1（按等号键【=】），2（按等号键【=】），3（按等号键【=】），就可得到0.136,0.369,7.344,19.903.

    所以f（-2）≈0.136，f（-1）≈0.369，f（2）≈7.344，f（3）≈19.903.

分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解

鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差

活动四：

课堂小结作业布置

（一）课堂小结

（二）作业布置

完成课本中P115  ——   A组1. /2./3.

B组2./3.

活动五：

板书设计

4.1.1 实数指数

一、整数指数概念                                   例题                 小结  

二、分数指数概念                                   练习                 作业

三、实数指数运算法则

活动六：

教学反思

（留白）

教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。