高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆教学设计

第三章 圆锥曲线的方程

3.1.1 椭圆及其标准方程

教学设计

教学目标

1.掌握椭圆的定义、标准方程.

2.通过对标准方程的推导，进一步体会数形结合的思想.

教学重难点

教学重点：椭圆的标准方程，坐标法的基本思想.

教学难点：椭圆标准方程的推导与化简.

教学过程

新知积累

1.椭圆的定义

平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.

2.椭圆的标准方程

①焦点在x轴上的椭圆的标准方程

椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以以经过椭圆两焦点，的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.

设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点，的坐标分别为，，根据椭圆的定义，设点M与焦点，的距离的和等于2a.

由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集.

因为，，

所以.①

化简得.②

对方程②两边平方得.

整理得.③

对方程③两边平方得.

整理得.④

将方程④两边同除以，得.⑤

由椭圆的定义可知，，即，所以.

由图可知，，，.

令，那么方程⑤就是.⑥

由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形. 这样，椭圆上任意一点的坐标都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点与椭圆的两个焦点，的距离之和为2a，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程. 它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是，的椭圆，这里.

②焦点在y轴上的椭圆的标准方程

如图，如果焦点，在y轴上，且，的坐标分别为，，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是，此时焦点在y轴上.

例题巩固

例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程.

解：由于椭圆的焦点在x轴上，

所以设它的标准方程为.

由椭圆的定义知，

，

所以，所以.

所以所求椭圆的标准方程为.

例2 如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？

解：设点M的坐标为，点P的坐标为，

则点D的坐标为.

由点M是线段PD的中点，得，.

因为点在圆上，所以.①

把，代入方程①，得，即.

所以点M的轨迹是椭圆.

3.解析几何中求点的轨迹方程常用的方法

寻求点M的坐标中x，y与，之间的关系，然后消去，，得到点M的轨迹方程.

例3 如图，设A，B两点的坐标分别为，. 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.

解：设点M的坐标为，因为点A的坐标是，

所以直线AM的斜率.

同理，直线BM的斜率.

由已知有，

化简得点M的轨迹方程为.

点M的轨迹是除去，两点的椭圆.

课堂练习

1.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为(   )

A. B. C. D.

答案：A

解析：设所求椭圆方程为，则，且，解得，，故所求椭圆方程为.故选A.

2.（多选）已知，为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是(   )

A.的最大值大于3

B.的最大值为4

C.的最大值为60°

D.若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A、B两点，P为l上满足的点，则点P的轨迹方程为或

答案：BCD

解析：由椭圆方程得，，，因此，，对于A，，故A错误；对于B，，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，当点M为短轴的端点时，取得最大值，取，则，，的最大值为60°，故C正确；对于D，设，，，，，，即或，又由题意知，或，化简得或，故D正确.故选BCD.

小结作业

小结：本节课学习了椭圆的定义及其标准方程.

作业：完成本节课课后习题.

板书设计

3.1.1 椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义

2.椭圆的标准方程