人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置教案及反思

第二章 直线和圆的方程

2.5.1 直线与圆的位置关系

教学设计

教学目标

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.

3.逐步理解用代数方法处理几何问题的基本思想和方法.

教学重难点

教学重点：直线与圆的位置关系及其应用.

教学难点：直线与圆的方程的应用.

教学过程

新知积累

1.直线与圆的位置关系

（1）直线与圆相交，有两个公共点；

（2）直线与圆相切，只有一个公共点；

（3）直线与圆相离，没有公共点.

例题巩固

例1 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.

解法1：联立直线l与圆C的方程，得，

消去y，得，解得.

所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.

把分别代入方程①，得.

所以，直线l与圆C的两个交点是.

因此.

解法2：圆C的方程可化为，因此圆心C的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离.

所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.

如图，由垂径定理，得.

2.判断直线与圆的位置关系

在平面直角坐标系中，要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系.若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.

例题巩固

例2 过点作圆的切线l，求切线l的方程.

解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为，即.

由圆心到切线l的距离等于圆的半径1，得，

解得或.

因此，所求切线l的方程为，或.

解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为.

因为直线l与圆相切，所以方程组只有一组解.

消元，得.①

因为方程①只有一个解，所以，解得或.

所以，所求切线l的方程为，或.

例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到0.01m）.

解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上.

由题意，点P，B的坐标分别为，.

设圆心坐标是，圆的半径是r，那么圆的方程是
因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标，都满足方程.

于是得到方程组，

解得，.

所以圆的方程是.

把点的横坐标代入圆的方程，得，

即（的纵坐标，平方根取正值）.

所以，

故支柱的高度约为3.86m.

例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处. 如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？

解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系. 取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为.

受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为.

轮船航线所在直线l的方程为，即.

联立直线l与圆O的方程，得.

消去y，得.

由，可知方程组无解.

所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.

用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.

课堂练习

1.对任意的实数k，直线与圆的位置关系一定是(   )

A.相离  B.相切
C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心

答案：C

解析：直线恒过定点，由定点在圆内，知直线与圆一定相交.又直线不过圆心，所以位置关系是相交但直线不过圆心，故选C.

2.若直线与圆没有公共点，则实数m的取值范围是(   )

A.  B.或

C.或  D.

答案：B

解析：圆的圆心为，半径为2，由题意得，圆心到直线的距离，或.故选B.

3.过点且与圆相切的直线的方程为__________________.

答案：或

解析：易知点在圆外，当切线的斜率存在时，设国的切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径，得，所以切线方程为.当切线的斜率不存在时，切线方程为.
综上，所求直线的方程为或.

小结作业

小结：本节课学习了直线与圆的位置关系.

作业：完成本节课课后习题.

板书设计

2.5.1 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系

（1）直线与圆相交，有两个公共点；

（2）直线与圆相切，只有一个公共点；

（3）直线与圆相离，没有公共点.