2022-2023学年山西省吕梁市交口县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省吕梁市交口县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  点在函数的图象上，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某专卖店专营某品牌女鞋，店主对上一周中不同尺码的鞋子销售情况统计如表：

该店主决定本周进货时，增加一些码的女鞋，影响该店主决策的统计量是(    )

A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数

4.  如图，在等边中，、分别是边、的中点，，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”它被记载于下列哪部著名数学著作中(    )

A. 周髀算经
B. 九章算术
C. 海岛算经
D. 几何原本

7.  一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C. 随的增大而减小
D. 直线与两坐标轴围成的图形面积为
 

8.  小明调查了班里名同学本学期购买课外书的本数，并将结果绘制成了如图所示的扇形统计图则下列说法正确的是(    )

A. 的值为
B. 众数为
C. 平均数为
D. 中位数为

9.  如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则直线的解析式为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线的交点，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若一个长方形的长为，宽为，则它的面积为______ ．

12.  命题“菱形的四条边都相等”的逆命题是______．

13.  年”世界杯”的成功举办，引起学生对足球的极大兴趣某校开展了足球知识比赛，经过几轮筛选，八年级班甲、乙、丙、丁四名同学的平均成绩单位：分及方差如下表：

如果要选出一名成绩较好且发挥稳定的同学代表班级参加比赛，那么应选择______ 同学．

14.  如图，已知函数和的图象相交于点，则不等式的解集是______ ．

15.  如图，一张直角三角形纸片，两直角边，，将沿直线折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
端午节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：若超市购进这两种水果共千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

18.  本小题分
现如今，环保这一理念越来越融入到我们的生活中为了加强学生的环保意识，某中学举办我是环保小达人的演讲比赛，比赛分为入围赛和决赛两个赛段全校学生积极响应，全部报名参加入围赛，随机抽取了若干名学生，调查他们每天课后练习演讲的时间，现将调查结果绘制成如下尚不完整的统计图表请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
将下面的统计表和条形统计图补充完整；

若该校学生有人，请你估计每天课后练习时间超过分钟的学生有多少人？
演讲决赛时，总成绩由内容、表达、风度、印象四部分组成，并按：：：计算进入冠亚军争夺的张明和赵亮的各项得分如下表：

总成绩高的人为冠军，请你通过计算判断他俩谁获得冠军？

19.  本小题分
如图，中，，过点作的平行线，与的平分线交于点，点是上一点，于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．

 

20.  本小题分
为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价折出售；
乙：一次购买商品总额不超过元的按原价付费，超过元的部分打折．
设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示．

分别求，关于的函数关系式；
两图象交于点，求点坐标；
请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

21.  本小题分
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
勾股定理的证明
多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要，还因为这个定理贴近人们的生活实际，以致于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统，都愿意探讨研究它的证明，新的证法不断出现其中，美国第任总统詹姆斯加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话，他将两个完全相同的直角三角形拼成一个梯形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程：
如图：

利用整体法，梯形的面积为；
利用分割法，梯形的面积为；

按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分．
如图，在中，，，，，求的长．

 

22.  本小题分
综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师引导学生用一块等腰直角三角板和一个正方形展开探究活动．将正方形的一个顶点与等腰直角三角板的斜边的中点重合，摆放的位置不同一些线段就会出现一定的数量关系．
知识初探：
将等腰直角三角板与正方形如图摆放，使正方形的顶点与等腰直角三角板斜边的中点重合，且边经过点，请你写出与的数量关系和位置关系：______．
类比再探：
如图，正方形的顶点与等腰直角三角板斜边的中点重合，边不经过点，连接，，此时与的又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
拓展延伸：
如图，正方形的顶点与等腰直角三角板斜边的中点重合，正方形的对角线交于点，连接，，取的中点，连接，请你直接写出与之间的数量关系与位置关系．
 

23.  本小题分
综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，，直线：与轴，轴分别交于点，，两条直线交于点，且点的横坐标为；连接．
求直线的函数解析式；
求的面积；
若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得：．
故选：．
根据二次根式有意义的条件，即可求解．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：把点代入函数，
得，
解得：．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征．把点代入函数解析式中求即可．
本题考查一次函数图象上点与函数解析式的关系，知识点是：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．
 

3.【答案】 

【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：．
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
 

4.【答案】 

【解析】解：、分别是边、的中点，，
是的中位线，
，，
是等边三角形，
的周长，
故选：．
根据等边三角形的性质和三角形中位线定理解答即可．
此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理得出的长解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
；
故选：．
根据矩形的性质，证出，得出，再由三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；证出是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”它被记载于我国古代著名数学著作周髀算经中．
故选：．
加强教材的阅读，熟记相关知识的来源与出处．
本题考查了勾股定理的历史渊源，仔细阅读教材，熟记知识是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示：、图象经过第一、三、四象限，则，故此选项不符合题意；
B、图象与轴交于点，故，故此选项符合题意；
C、，随的增大而增大，故此选项不符合题意；
D、直线与两坐标轴围成的图形面积为，故此选项不符合题意；
故选：．
直接利用一次函数的性质结合函数图象上点的坐标特点得出答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、的值为，故不符合题意；
B、这名同学购买课外书的众数为，故不符合题意；
C、购买课外书本有人，
购买课外书本有人，
购买课外书本有人，
购买课外书本有人，
这名同学购买课外书的平均数为，故不符合题意；
D、这名同学购买课外书的中位数为，故符合题意．
故选：．
根据扇形图中的数据逐项判断即可．
本题主要考查扇形统计图，从扇形统计图中得出解题所需数据及众数、中位数、平均数的定义是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在直线中，令，求得；令，求得，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，
，
则点的坐标为：，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为．
故选：．
先求得、的坐标，然后利用勾股定理得出的长，再利用圆的性质得出的长，即可得出的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的应用等，求得的坐标是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，延长交格点于，连接，

则，，
，
，则为等腰直角三角形，
，
，
故选：．
延长交格点于，连接，根据勾股定理得，，求得，于是得到，根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：


故答案为：．
根据长方形的面积计算方法列式计算即可．
本题考查了二次根式的应用，解题的关键是列式后正确的进行二次根式的运算．
 

12.【答案】四条边都相等的四边形是菱形 

【解析】解：命题“菱形的四条边都相等”的逆命题是四条边都相等的四边形是菱形，
故答案为：四条边都相等的四边形是菱形．
根据互逆命题的概念解答．
本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

13.【答案】乙 

【解析】解：乙和丙同学的平均数比甲、丁同学的平均数大，
应从乙和丙同学中选，
乙同学的方差比丙同学的小，
乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学．
故答案为：乙．
先比较平均数得到同学乙和丙同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学去参赛．
本题考查了方差，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差，反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图象知：不等式的解集是，
故答案为：．
函数和的图象相交于点，结合图象即可得出答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解决本题的关键是掌握一次函数与一元一次不等式的关系．
 

15.【答案】 

【解析】解：的两直角边，，
，
，
由折叠得，，，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
由，，，根据勾股定理得，由折叠得，，，所以，由，得，求得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查勾股定理、轴对称的性质等知识，根据勾股定理正确地列出所需要的方程是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先进行二次根式的乘法运算，然后把化为最简二次根式后合并即可；
先根据完全平方公式计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：设超市购进甲种水果千克，总利润为元．
根据题意，得：，解得：，
根据题意，得：，
，
随着的增大而减小，
当时，取得最大利润，最大利润为元．
千克，
当超市购进甲种水果千克，乙种水果千克时，总利润最大，最大利润为元． 

【解析】设超市购进甲种水果千克，总利润为元．根据题意求得的范围，，根据一次函数的性质即可求解．
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
 

18.【答案】       

【解析】解：总人数为：，则的百分比为：；
组的频数为；
组的频数为，百分比为，
补全统计图与统计表如下：

故答案为：，，，；
人，
答：估计每天课后练习时间超过分钟的学生有人．
张明的总成绩为：分，
赵亮的总成绩为：分，
，
张明同学获得冠军．
根据组频数与百分比求得总人数，进而补全统计图与统计表；
根据样本估计总体，用乘以，组的占比即可求解；
分别计算两人成绩的加权平均数，比较大小即可求解．
本题考查了频数分布表与频数分布直方图，样本估计总体，求加权平均数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

19.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

四边形是平行四边形，
，
▱是菱形；
解：四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】先证，再证四边形是平行四边形，然后由，即可得出结论；
由菱形的性质得，再证，则，得，然后由勾股定理求出的长即可．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意可得，
，
当时，，
当时，，
则；
令，
解得，
将代入得，，
即点的坐标为；
由图象可得，
当时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当时，两家体育专卖店购买体育用品一样合算；当时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算． 

【解析】根据题意和题目中的数据，可以分别写出，关于的函数关系式；
根据中的结果和题意，令，求出的值，再求出相应的的值，即可得到点的坐标．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：利用整体法，梯形的面积为，
利用分割法，梯形的面积为．
将两式联立得，．
即，
．
解：，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
在中，
． 

【解析】利用整体法和分割法求梯形面积，两式联立．解答即可；
解直角三角形即可得到结论．
本题考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．
 

22.【答案】， 

【解析】解：知识初探：连接，

四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，为的中点，
，，，
，
，
，
，，
故答案为：，；
类比再探：，，理由如下：

连接，
点是等腰直角斜边的中点，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
≌，
，，
，
；
拓展延伸：，，理由如下：
连接，

由类比探究同理可得，，，
为的中点，为的中点，
为的中位线，
，，
，．
知识初探：连接，利用平行线分线段成比例定理可得答案；
类比再探：连接，利用证明≌，得，，则，进而解决问题；
拓展延伸：连接，由类比探究同理可得，，，再证明为的中位线，得，，从而得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，证明≌是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：点在：上，点的横坐标为，
当时，，
，
，
将点和代入中，
得：，
解得．
直线的函数解析式为：；
直线：与轴，轴分别交于点，，
当时，；当时，，
点，，
，
．
，
，
；
当时，轴，则的纵坐标为，
将代入：，解得：，即，
，，，
，
，
，，，
，，，
，即，
则，
当时，，则点与点重合，
到可以看作向左平移个单位，向上平移个单位，
则点可以看作点向左平移个单位，向上平移个单位，得到，

满足条件的点的坐标为，． 

【解析】根据题意得出，进而求得的解析式；
由：，当时，；当时，，可得点，，进而得出，根据三角形的面积公式即可求解．
当时，可得，根据，，，即可求解，勾股定理的逆定理可得，进而可得，当时，，则点与点重合，根据矩形的性质以及平移的性质即可求解．
本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．