2022-2023学年河北省保定市爱和城教育集团八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省保定市爱和城教育集团八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列分解因式正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  下列命题中，是真命题的是(    )

A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

3.  不论取何值，下列代数式的值不可能为的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  正多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，下列式子一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列分式中，最简分式是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若顺次连接四边形各边的中点所得四边形是菱形，则四边形一定是(    )

A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形 D. 对角线相等的四边形

9.  不等式组的解集表示在数轴上正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，，，点，，分别是，，的中点，连接、，则四边形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

13.  如图，将一个边长为的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图所示，则新矩形的周长可表示为(    )

 

A.  B.  C.  D.

14.  某服装加工厂计划加工套运动服，在加工完套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了，结果共用了天完成全部任务．设原计划每天加工套运动服，根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

15.  如图，在平面直角坐标系中，▱的顶点在轴上，，且以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以点、点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，过点作射线，交于点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

16.  如图，四边形中，，，，是上一点，且，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）

17.  分解因式： ______ ．

18.  若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是______ ．

19.  一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在轴上，顶点，，，，，，在轴上，已知正方形的边长为，，，则正方形的边长是______ ，则正方形的边长是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

20.  如图，是的角平分线，过点分别作、的平行线，交于点，交于点．
求证：四边形是菱形．
若，求四边形的面积．

四、解答题（本大题共6小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取；
解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

 

22.  本小题分
已知：如图所示，平行四边形的对角线，相交于点，经过点并且分别和，相交于点，，点，分别为，的中点．求证：四边形是平行四边形．

23.  本小题分
如图，等腰中，，，点在上，将绕点沿顺时针方向旋转后，得到，连接．
求的度数；
若，，求的长．

24.  本小题分
阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程将“”看成一个整体，令，则原式再将“”还原即可．
解：设．
原式第一步
第二步
第三步
第四步．
问题：该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果______ ；
根据材料，请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
根据材料，请你模仿以上方法尝试计算：
．

25.  本小题分
“七一”建党节前夕，某校决定购买，两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多元，预算资金为元，其中元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的倍．
求，奖品的单价；
购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于元，，两种奖品共件，求购买，两种奖品的数量，有哪几种方案？

26.  本小题分
探究与应用
【操作发现】如图，为等边三角形，点为边上的一点，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，请直接写出下列结果：

的度数为______ ；
与之间的数量关系为______ ；
【类比探究】如图，为等腰直角三角形，，点为边上的一点，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、．
则线段，，之间有什么数量关系？请说明理由；
【拓展应用】如图，是一个三角形的余料，小张同学量得，，他在边上取了、两点，并量得、，这样、将分成三个小三角形，则：： ______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、公因式是，应为，错误；
B、符号错误，应为，错误；
C、提公因式法，正确；
D、右边不是积的形式，错误；
故选：．
根据提公因式法和公式法进行判断求解．
本题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了真命题的概念以及平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理，熟记这些判定定理才能正确的判断正误．
真命题就是判断事情正确的语句．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两条对角线相等且平分的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．
【解答】
解：、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确．
B、两条对角线相等且平分的四边形是矩形；故本选项错误．
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故本选项错误．
D、两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．故本选项错误．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、当时，，故不合题意；
B、当时，，故不合题意；
C、当时，，故不合题意；
D、分子是，而，则，故符合题意；
故选：．
分别找到各式为时的值，即可判断．
本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 

4.【答案】 

【解析】解：依题意，得
多边形的边数，
故选：．
正多边形的每一个外角都等于，而多边形的外角和为，则：多边形边数多边形外角和一个外角度数．
本题考查了多边形内角与外角．关键是明确多边形的外角和为定值，即，而当多边形每一个外角相等时，可作除法求边数．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，，故该选项不正确，不符合题意；
B、，，故该选项正确，符合题意；
C、，，故该选项不正确，不符合题意；
D、，当时，，故该选项不正确，不符合题意．
故选：．
根据不等式的基本性质即可进行解答．
本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．不等式性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式性质：不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质：不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

6.【答案】 

【解析】解：．中，分子和分母有公因数，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B.中，分子和分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C.中，分子和分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D.中，分子和分母没有公因式，是最简分式，故本选项符合题意．
故选：．
根据最简分式的定义：在化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式，逐一判断即可．
此题考查的是最简分式的判断，掌握最简分式的定义是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
把因式分解后，利用整体代入即可求得答案．
此题考查了用平方差公式因式分解以及代数式求值，熟练掌握是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，分别是边，，，的中点，
，，，，，，，，
，，
四边形是平行四边形，
假设，
，，
则，
平行四边形是菱形，
即只有具备即可推出四边形是菱形，
故选：．
根据三角形的中位线定理得到，，，，要使四边形为菱形，得出，即可得到答案．
本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
在数轴上表示为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点，，分别是，，的中点，
，，、是的中位线，
，，
四边形的周长，
故选：．
根据线段中点的概念分别求出、，根据三角形中位线定理分别求出、，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
此时，，
，
的最小值为，
故选：．
由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，一次函数的图象经过，，
，
，
不等式可化为：，
解得，
故选：．
根据一次函数图象上点的坐标特征得到，，解不等式得到答案．
本题考查的是一次函数与不等式，掌握一次函数图象上点的坐标特征、一元一次不等式的解法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得新矩形的周长为：．
故选：．
根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化．根据采用新技术前用的时间采用新技术后所用的时间列出方程即可．
【解答】
解：采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．
方程可表示为：．
故选B．  

15.【答案】 

【解析】解：延长交轴于，

由题意得：平分，
，
，
，
，
，
▱的顶点在轴上，，，
轴，，
，
，，
点点坐标为，
故选：．
由作法得平分，结合平行线的性质证明得到，延长交轴于，可得轴，，进而可求得，，由此即可得到答案．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了平行四边形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
故选：．
分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
 

17.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：，
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

18.【答案】且 

【解析】解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
为非负数，
，解得，
，
，即，
的取值范围是且，
故答案为：且．
先解分式方程，利用表示出的值，再由为非负数求出的取值范围即可．
本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用表示出的值是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
正方形的边长为，
同理可求正方形的边长为，
正方形的边长为，
正方形的边长为，
故答案为：；．
利用正方形的性质，结合含度的直角三角形的性质以及勾股定理得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含度的直角三角形的性质，得出正方形的边长变化规律是解题关键．
 

20.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
是的角平分线，
．
又，
．
．
．
四边形是菱形．
解：连接交于点．

四边形是菱形，
．
．
．
在中，由勾股定理得．
．
四边形的面积． 

【解析】先证明四边形是平行四边形．再证明可得则结论得证；
连接交于点求出，则四边形的面积可求出．
本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：



，
解不等式组，
解得：，
，，在分母上，
，，
当时，原式；
，
移项得，，
合并同类项得，，
解得：，
在数轴上表示如图所示，
 

【解析】直接将括号里面通分化简，进而利用分式混合运算法则计算，进而解不等式组，得出符合题意的的值，进而得出答案；
根据移项，合并同类项，化系数为的步骤解一元一次不等式，再将解集表示在数轴上即可求解．
本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握分式的运算法则以及解不等式组是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图所示，
点为平行四边形对角线，的交点，
，．
，分别为，的中点，
，，
．
又，
．
在和中，

≌，
．
四边形为平行四边形． 

【解析】要证四边形是平行四边形，需证，，可分别由四边形是平行四边形和≌得出．
此题主要考查平行四边形的判定与性质，对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题关键．
 

23.【答案】解：等腰中，，，
，
将绕点沿顺时针方向旋转后，得到，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
，，
，，
≌，
，
在中：． 

【解析】根据题意证明≌，根据全等三角形的性质可得结论；
根据题意求出，的长度，然后根据中全等三角形的性质得出，根据勾股定理求解即可．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意证明≌，根据全等三角形的性质求解是解本题的关键．
 

24.【答案】；
设，
原式



；
设，
原式





． 

【解析】最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
根据材料，用换元法进行分解因式；
设，则原式，再将代入即可求解．
本题考查了因式分解换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
 

25.【答案】解：设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：奖品的单价为元，则奖品的单价为元；
设购买种奖品的数量为件，则购买种奖品的数量为件，
由题意得：
解得：，
为正整数，
的值为，，，
有三种方案：
购买种奖品件，种奖品件；
购买种奖品件，种奖品件；
购买种奖品件，种奖品件． 

【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；找出不等关系，列出一元一次不等式组．
设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，由题意：预算资金为元，其中元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的倍．列出分式方程，解方程即可；
设购买种奖品的数量为件，则购买种奖品的数量为件，由题意：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可．
 

26.【答案】    ：： 

【解析】解：的度数为，理由如下：
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，，
，即．
在与中，
，
≌，
．
为等边三角形，
，
．
故答案为：；

结论：，理由如下：
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
．
在与中，
，
≌，
．
故答案为：；

结论：，理由如下：
是等腰直角三角形，，
，，
由旋转知，，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
；
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
又，
；

如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，

是等腰三角形，，
，，
由旋转知，，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
；
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
≌，
．
，，
，
．
≌，
，，
，
，
，，
，
在中，．
≌，≌，
，，
，
：：：：，
：：：：．
故答案为：：：
根据旋转及等边三角形的性质，证明≌，再求得的度数为；根据旋转及等边三角形的性质，证明≌，再求得；
根据旋转及等腰直角三角形的性质，证明≌，≌，再运用全等三角形的性质及勾股定理，证得；
将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，根据旋转及等腰三角形的性质，证明≌，≌，由全等三角形的性质推导出，，则，即得：：：：．
本题考查了图形旋转的性质，三角形全等的证明及性质应用，以及等边三角形、等腰三角形等特殊三角形的性质，综合运用以上知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．