2022-2023学年山东省威海市经开区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省威海市经开区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程组中，是二元一次方程组的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  将只有颜色不同的个白球、个黑球放在一个不透明的布袋中下列四个选项，不正确的是(    )

A. 从布袋中任意摸出个球，摸出的球是黑球，该事件是一个随机事件
B. 从布袋中任意摸出个球，摸出的球是红球，该事件是一个确定事件
C. 从布袋中任意摸出个球，摸出的球是黑球或白球，该事件是一个确定事件
D. 从布袋中任意摸出个球，其中有一个球是白球，该事件是一个随机事件

3.  下列说法不一定成立的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

4.  下列命题中，是假命题的是(    )

A. 平面内点与点关于轴对称
B. 如果两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等
C. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

5.  质检人员从编号为，，，，的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于的概率为(    )

A. ． B.  C.  D.

6.  如图，已知，直线与直线，分别交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交直线于点，连接，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  我国古代数学名著算法统宗中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？设绫布每尺文，罗布每尺文，那么可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若不等式组有解，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动。点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是(    )


 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，按下列步骤作图：在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点，连接；以点为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点；连接、，作射线根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是(    )

A.  B. 垂直平分
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若是关于，的方程的解，则的值是______．

12.  一个小球在如图所示的地板上自由滚动，最终停在阴影区域的概率为______．

13.  如图，将沿着平行于的直线折叠，点落在点，若，，则的度数为______ ．

14.  如图，在中，，的平分线交于点，恰好是的垂直平分线，垂足为若，则的长为______ ．

15.  定义一种法则“”如下：，如：，若，则的取值范围是______ ．

16.  如图，在直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，线段的两个端点的坐标分别为，若网格中有一点，且以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
解方程组：；
解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．

18.  本小题分
从背面相同的同一副扑克牌中取出张红桃，张黑桃，张方块．
将取出的这些牌洗匀背面朝上放在桌面上，求从中随机抽出一张是红桃的概率；
若先从取出的这些牌中抽掉张红桃和张黑桃后，将剩下的牌洗匀背面朝上放在桌面上，再从桌面上随机抽出一张牌．
当为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件？
当为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个事件的概率的最小值．

19.  本小题分
如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点，使保留作图痕迹，不写作法

20.  本小题分
如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．

21.  本小题分
某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲商品件和乙商品件，共需要资金元；若购进甲商品件和乙商品件，共需要资金元．
求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？
该超市计划购进这两种商品共件，而可用于购买这两种商品的资金不超过元根据市场行情，甲商品的售价为元，乙商品的售价为元该超市希望销售完这两种商品所获利润不少于元则该超市有几种进货方案？

22.  本小题分
如图，在矩形中，点在边上，沿折叠得到，且点，，三点共线，若，，求的长．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，并分别与轴相交于点与点．
求的面积；
在直线的图象中，把满足的部分描黑加粗，并直接写出满足条件的自变量的取值范围．

24.  本小题分
新概念：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

概念理解：如图，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图，在四边形中，与相交于点，若，则请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．
问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、若，，则：
求证：≌；
______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B.含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C.是二元一次方程组，故本选项符合题意；
D.第二个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：．
根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且有两个方程组成的方程组，即可作答．
本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、从布袋中任意摸出个球，摸出的球是黑球，该事件是一个随机事件，故A不符合题意；
B、从布袋中任意摸出个球，摸出的球是红球，该事件是不可能事件，是一个确定事件，故B不符合题意；
C、从布袋中任意摸出个球，摸出的球是黑球或白球，该事件是必然事件，是一个确定事件，故C不符合题意；
D、从布袋中任意摸出个球，其中有一个球是白球，该事件是一个必然事件，故D符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
选项A不符合题意；

，
，
，
选项B不符合题意；

，
，
选项C符合题意；

，
，
，
选项D不符合题意．
故选：．
根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：、平面内点与点关于轴对称，故原命题错误，是假命题，符合题意；
B、如果两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，不符合题意．
故选：．
利用对称点的坐标特点、平行线的性质及判定方法、垂直的定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
 

5.【答案】 

【解析】解：抽取的产品数为种，编号不小于的情况有种，
所抽到的产品编号不小于的概率为．
故选：．
直接利用概率公式可得答案．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

6.【答案】 

【解析】解：分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交直线于点，连接，
直线垂直平分线段，
，
，，
，
，
．
故选：．
根据题意可得直线是线段的垂直平分线，进而可得，利用平行线的性质及等腰三角形中等边对等角，可得，所以可求得的度数．
此题主要考查了线段垂直平分线的作法及性质、平行线的性质等，根据题意得出直线垂直平分线段是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：一匹尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，
；
每尺罗布比绫布便宜文，
．
根据题意可列出方程组．
故选：．
根据“一匹尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，且每尺罗布比绫布便宜文”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
由不等式组有解，得到，
解得：．
故选：．
不等式组整理后，利用有解的条件确定出的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，，根据三角形的外角性质即可求出的度数，进而求出的度数．
解：，
，，
，
，
．
，
．
故选：．
 

10.【答案】 

【解析】解：由作法得，，
则垂直平分，所以选项的结论正确；
点与点关于对称，
，
，所以选项的结论正确；
为等边三角形，
，所以选项的结论正确；
在中，，
，
，，
，所以选项的结论错误．
故选：．
由作法得，，根据线段垂直平分线的判定方法可判断垂直平分，则可对选项进行判断；利用点与点关于对称得到，则可对选项进行判断；通过判断为等边三角形可对选项进行判断；利用含度的直角三角形三边的关系得到，加上，，则可对选项进行判断．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
 

11.【答案】 

【解析】解：将代入方程，得：，
解得：，
故答案为：．
根据二元一次方程解的定义，直接把代入方程，得到，进一步求得值．
本题主要考查二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数为未知数的方程．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图可知，黑色方砖块，共有块方砖，
黑色方砖在整个地板中所占的比值，
它停在黑色区域的概率是．
故答案为：．
先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
沿着平行于的直线折叠，点落到点，
，
，
．
故答案为：．
根据三角形的内角和等于求出，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据翻折变换的性质可得，然后根据平角等于列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
平分，，，
，
故答案为：．
由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得，由此即可解决问题．
本题主要考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含度角的直角三角形，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，若，
，
解得．
故的取值范围是．
故答案为：．
先根据题中所给的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，新定义，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：设点的坐标为．
，，，
，，．
，，
，
，
若网格中有一点，且以，，为顶点的三角形与全等，则分两种情况：
如果≌，那么，，
所以，解得，不合题意舍去，
所以点的坐标为；
如果≌，那么，，
所以，解得，不合题意舍去；
所以点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
设点的坐标为由，可知以，，为顶点的三角形与全等时，分两种情况进行讨论：≌，根据，列出方程组，≌，根据，列出方程组，求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，两点间的距离公式，进行分类讨论是解题的关键．
 

17.【答案】解：方程组整理得，
得：，
解得：；
把代入得：，
解得：，
故方程组的解为：；

，
由不等式得：；
由不等式得：；
故不等式组的解集为：，
将解集在数轴上表示：． 

【解析】直接利用加减消元法解方程组得出答案；
分别解不等式，进而得出不等式组的解集，并在数轴上表示即可．
此题主要考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的解法，正确解不等式是解题关键．
 

18.【答案】解：从中随机抽出一张是红桃的概率是；
事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，则剩下的牌只有方块，
当为时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，
事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，
剩下的牌有黑桃和方块，
，
当为、、时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件事件，
这个事件的概率的最小值为：． 

【解析】由概率公式计算即可；
事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，则剩下的牌只有方块，即可得出答案；
事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，则剩下的牌有黑桃和方块，再由和概率公式即可得出答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．同时考查了必然事件、不可能事件与随机事件的定义．
 

19.【答案】解：，，
，
即点在线段的垂直平分线上．
如图，点即为所求． 

【解析】根据题意，作线段的垂直平分线，交于点，连接即可．
本题考查作图复杂作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．
 

20.【答案】证明：如图，连接，，

的平分线与的垂直平分线相交于点，，，
，，，
在和，
，
≌，
；
解：在和中，
，
≌，
，
，
，，
，
． 

【解析】先根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质得到，，再利用定理证明≌，利用全等三角形的性质可得结论；
证明≌得到，进而可求解．
本题考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，利用全等三角形的性质证明边相等是解答的关键．
 

21.【答案】解：设甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元，根据题意得，
，
解得：，
答：甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元；
设购进甲商品件，则购进乙商品件，根据题意得，
，
解得：，
为正整数，故，，，
有三种进货方案，
方案一：购进甲商品件，乙商品件；
方案二：购进甲商品件，乙商品件；
方案三：购进甲商品件，乙商品件． 

【解析】设甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元，根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可求解；
设购进甲商品件，则购进乙商品件，根据题意，建立一元一次不等式组，解不等式组，求得整数解即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组或不等式组是解题的关键．
 

22.【答案】解：四边形是矩形，
，，，
，
沿折叠得到，且点，，三点共线，
，，
，
，
，
，
，
，且，，
，
解得，
的长是． 

【解析】由矩形的性质得，，，则，由折叠得，，则，所以，则，可推导出，由勾股定理得，求得．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
 

23.【答案】解：当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
解得：，
，，，
的面积为：；
如图示：
由图象得：的解集为：． 

【解析】先求出、、的坐标，再求面积；
根据函数和不等式的关系求解．
本题考查了函数与不等式的关系，掌握三角形的面积公式及数形结合思想是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】概念理解：
解：四边形是垂美四边形．
理由如下：
如图，连接、，

，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
，
四边形是垂美四边形；
性质探究：解：小美同学的猜想正确．
理由如下：
，
，
，，，，
，，
，
即垂美四边形两组对边的平方和相等，
小美同学的猜想正确；
问题解决：证明：四边形，四边形都是正方形，
，，，
，
≌；
解：如图，设、相交于点，、相交于点，连接、，

≌，
，
，
，
又，，
，
，
即，
四边形是垂美四边形，
，
，，
，，
又，
，，
，，，
，
，
，
，
．
概念理解：连接、，根据到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上判定是的垂直平分线即可证明四边形是垂美四边形；
性质探究：根据勾股定理在四个直角三角形中得到边的相等关系，然后推出对边的平方和相等即可知道小美同学的猜想是否正确；
问题解决：根据正方形的性质得到，，，再根据等式性质即可推出，用即可判定≌；
设、相交于点，、相交于点，连接、，根据全等三角形的性质，从而得到四边形是垂美四边形，然后根据“垂美四边形两组对边的平方和相等”，求出，、三条边的平方即可求出的长．
本题是四边形综合题，主要考查新定义问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点，深入理解题意，掌握新定义的意义是解决问题的关键．