2023年吉林省松原市前郭县城镇三校中考数学四模试卷（含解析）

2023年吉林省松原市前郭县城镇三校中考数学四模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日下午，“天宫课堂“第二课在中国空间站开讲，由神舟十三号乘组三位航天员翟志刚、王亚平，叶光富进行授课央视新闻抖音号进行全程直播，某一时刻观看人数达到数字用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  将一副三角板按如图所示放置，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，与相切于点，与相交于点，若，，则的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是          ．

8.  已知，，则值为______．

9.  标价为元的商品，若打折出售，则售价为______ 元用含有的代数式表示

10.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______．

11.  如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学道理是______ ．

12.  如图，将一张矩形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为如图，把矩形纸片展平后，沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，则的度数是______
 

13.  如图，在中，，，分别以点，为圆心大于长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再以点为圆心，长度为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为______ ．

14.  如图是由边长为的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点点、、、均在格点上，在网格中将点按下列步骤移动：
第一步：点绕点顺时针旋转得到点；
第一步：点绕点顺时针旋转得到点；
第三步：点绕点逆时针旋转回到点．
则点经过的路径长为______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

16.  本小题分
如图，点，，，在一条直线上，，，求证：≌．

17.  本小题分
为了增强学生体质，九年一班决定购进两种体育器材：跳绳和毽子，如果购进根跳绳和个毽子共需元，购进根跳绳和个毽子共需元，求一根跳绳和一个毽子的售价分别是多少元．

18.  本小题分
从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌而数字分别为，，，将这四张扑克牌背朝上，洗匀从中随机抽取一张不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字和为奇数的概率．

 

19.  本小题分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为点、都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上．
在图中以线段为边两一个等腰角形；
在图中以线段为边两一个轴对称的四边形；
在图中以线段为边画一个中心对称的四边形，使其面积为．

 

20.  本小题分
为提高学生识骗、防骗能力，谨防上当受骗，学校随机抽查了部分学生进行防诈骗安全知识测试将测试结果分为优，良，及格，不及格四类，并绘制成如图不完整的统计图表．

请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
上表中的 ______ ， ______ ， ______ ；
本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图；
如果测试结果为不及格的同学应加强防诈骗安全学习，根据调查结果估计该校学生中应加强防诈骗安全学习的学生人数．

21.  本小题分
某人乘车从地去地如图所示，地在地的正北方向，且距离地，但，两地之间道路维修无法通过按导航指示，车辆沿正西方向行驶至地，再沿北偏东方向行驶到达地，求车辆绕行之后比沿段多行驶多少千米结果精确到参考数据，，

22.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于和两点，与轴交于点．
求反比例函数和一次函数的解析式；
连接，，求的面积．

23.  本小题分
为支援甲地抗击新冠疫情，乙地先后向甲地捐赠两批物资甲、乙两地之间有一条长为的公路从乙地匀速开往甲地，车出发两小时后，车从乙地匀速开往甲地两车同时到达甲地，车行驶路程与车行驶路程的差单位：与车行驶时间单位：之间的函数关系如图所示．
车的速度为______ ，车的速度为______ ， ______ ；
求车行驶过程中关于的函数解析式，并写出的取值范围；
当、两车之间的距离为时，直接写出的值．

24.  本小题分
已知正方形边长为，对角线，相交于点，过点作射线，，分别交，于点，，且．
如图，当时，求证：四边形是正方形；
如图，将射线，绕着点进行旋转．
在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明；
四边形的面积为______ ；
如图，在四边形中，，，连接若，请直接写出四边形的面积．

 

25.  本小题分
如图，在矩形中，，连接，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，以，为邻边作平行四边形设运动时间为秒，平行四边形和矩形重叠部分的图形面积为．
当点在上时， ______ ；
求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
连接，直接写出当时的值．

 

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴相交于点．
点的坐标为______ ，点的坐标为______ 用含的式子表示；
设抛物线的函数图象最高点的纵坐标为：
当时， ______ ；当时， ______ ；
写出关于的函数解析式及自变量的取值范围；
将抛物线的函数图象记为图象，将抛物线的函数图象记为图象，图象和图象组合成的图象记为图象，点在轴上且纵坐标为，过点作直线轴于点请直接写出直线与图象有三个交点时的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故最小的数是．
故选：．
根据正数大于，大于负数，两个负数其绝对值大的反而小，可得答案．
本题考查了实数比较大小，正数大于，大于负数，两个负数其绝对值大的反而小，负数都小于是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
将解集表示在数轴上如下：

故选：．
依次移项、合并同类项即可得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：由三角形外角性质，可得：，
故选：．
根据等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质解答即可．
此题考查三角形外角性质，关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：切于，
，
，
设的半径长为，
由勾股定理得：
，
解得
故选：．
连接，根据切线的性质求出，在中，由勾股定理即可求出的半径长．
本题考查了切线的性质和勾股定理的应用，关键是得出直角三角形，主要培养了学生运用性质进行推理的能力．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
根据单价总价数量，结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【解答】
解：依题意，得：．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
【解答】
解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．  

8.【答案】 

【解析】解：，，
，


，
故答案为：．
根据平方差公式展开，代入求出即可．
本题考查了平方差公式的应用，注意：，．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，得售价元．
故答案为：．
根据标价折扣售价列出代数式．
本题考查了列代数式，关键是根据等量关系标价折扣售价列出代数式．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
根据判别式的意义得到，然后解一元一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

11.【答案】三角形具有稳定性 

【解析】解：利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
利用三角形的稳定性直接回答即可．
本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是从图形中抽象出三角形模型，难度不大．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，
由题意知垂直平分，
，
由折叠的性质得到，
，
是等边三角形，
．
故答案为：．
连接，由线段垂直平分线的性质得到，由折叠的性质得到，因此是等边三角形，得到．
本题考查折叠的性质，关键是由折叠的性质推出是等边三角形．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知：是的平分线，，
，
，
，
平分，
，，
，
阴影部分的面积的面积扇形的面积．
故答案为：．
由题意可知是的平分线，根据角平分线的定义可知，根据等腰三角形的三线合一的性质得：，，再由直角三角形斜边中线的性质得，最后由面积差可得结论．
本题考查的是作图基本作图，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，熟知角平分线的作法和扇形的面积公式是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：点经过的路径长为：．
故答案为：．
利用弧长公式计算即可．
本题考查作图旋转变换，弧长公式、轴对称图形等知识，解题的关键是理解题意，正确画出图形，属于中考常考题型．
 

15.【答案】解：原式

，
当，时，原式． 

【解析】首先利用完全平方公式以及平方差公式计算，然后去括号、合并同类项即可化简，然后代入数值计算．
本题考查了整式的混合运算化简求值，先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
 

16.【答案】证明：，
，
，
，，
，，
在与中，
，
≌． 

【解析】根据证明两三角形全等即可．
本题考查全等三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：设一根跳绳售价为元，一个毽子售价为元．
根据题意得：，
解得，
答：一根跳绳售价为元，一个毽子售价为元． 

【解析】设一根跳绳售价为元，一个毽子售价为元．根据购进根跳绳和个毽子共需元，购进根跳绳和个毽子共需元得：，即可解得答案．
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组．
 

18.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的情况，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的结果有种，
抽取的这两张牌的牌面数字和为奇数的概率为， 

【解析】画树状图，共有种等可能的情况，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和是奇数的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：如图所示，即为所求；
如图所示，四边形即为所求；
如图所示，四边形即为所求． 

【解析】以为边，作一个底为、高为的三角形即可；
根据轴对称图形的概念，结合网格特点作一个对角线长为、的轴对称图形即可；
可在的基础上，将平移至使点与点重合位置，据此求解即可．
本题主要考查作图旋转变换和轴对称变换，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义与性质．
 

20.【答案】     

【解析】解：样本容量为：名，
，，．
故答案为：，，；
由可得本次调查共抽取了名学生，
补全条形图如下：

人，
答：该校应加强防诈骗安全学习的学生人数大约是人．
由及格的人数除以占的百分比得到调查的总人数，进而求出、、的值；
由可得样本容量，结合的值即可补全条形图；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查条形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：根据题意，得，，
在中，，
，
，
千米，
答：车辆绕行之后比沿段多行驶千米． 

【解析】根据题意得到，，，根据三角函数的定义即可得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解是解此题的关键．
 

22.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
又在反比例函数的图象上，
，
点，
由于直线过点，，
，
解得，
一次函数的解析式为，
答：反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
如图，分别过点、分别作轴垂线，垂足分别为，，
直线与轴的交点，
即，


． 

【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入可求出反比例函数的关系式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可；
求出直线，即直线与轴的交点的坐标，再根据三角形面积之间的和差关系进行计算即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，掌握反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提，将点的坐标代入相应的关系式是解决问题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：由图可知，车的速度为，
，
车的速度为，
故答案为：，，；
设关于的函数关系式为，
将和代入．得，
解得，
关于的函数关系式为；
当甲车未出发有：，
当甲车出发后有：，
解得：，
的值为或．
根据图象计算即可；
设关于的函数关系式为将和代入即可；
分甲车未出发和甲车出发后两种情况求解即可．
本题主要考查了待定系数法求一次函数表达式及一次函数的应用，熟练掌握一次函数的相关知识是解决本题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是正方形；
解：，
证明：四边形是正方形，
，
，
，
≌，
；
四边形是正方形，
，，，，
，，
，，
，
，
，
，
≌，
的面积的面积，
四边形的面积的面积正方形的面积，
故答案为：；
如图，延长至点，使，连接，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
四边形的面积等腰直角三角形的面积．
根据正方形的性质证明四边形是矩形，再得，即可解决问题；
证明≌，可得即可；
先根据正方形的性质得，，则，，所以，由得，则，即可证明≌，于是得，根据四边形的面积的面积正方形的面积，即可解决问题；
延长至点，使，连接，证明≌，可得，，所以为等腰直角三角形，所以四边形的面积等腰直角三角形的面积，进而可以解决问题．
此题是四边形的综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，根据正方形性质求出三角形全等的条件是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：如图，当点在上时，

在中，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
解得．
故答案为：．
如图，

点在线段运动时间为，
当时，
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
，，
，
与的函数关系式为，
当时，延长与交于点，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
与的函数关系式为，
点在上的运动时间是，点从点到再到点运动时间为，
当时，设与交于点，与交于点，

，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，，
．
与的函数关系式为，
综上所述，．
情况一，如图，设直线与交于点，与交于点，

由知，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
；
 情况二，如图，

，
，
在中，，，，
，
，
解得．
综上所述，的值为或．
利用直角三角形的性质求出，利用矩形的性质及平行线的性质证明∽，即可求解．
根据的取值范围，利用矩形和平行四边形的性质与判定，求解分段函数解析式即可．
分两种情况进行讨论：情况一，如图，设直线与交于点，与交于点，情况二，如图，利用三角函数和勾股定理求解即可．
本题考查了四边形的综合应用，解题的关键是掌握矩形的性质，二次函数的应用．
 

26.【答案】       

【解析】解：，
，
令，则，
．
故答案为：，．
，
当时，则函数的最高点为，当时，则函数的最高点为，
当时，；当时，．
故答案为：，；
当时，；当时，；
当时，如图，

当时，解得；
当时，解得或舍去；
当时，直线与图象有三个交点时的取值范围是；
当时，如图，

由，
抛物线的最低点为，
当时，解得或舍去；
当时，解得或舍去；
当时，直线与图象有三个交点时的取值范围是；
综上，直线与图象有三个交点时的取值范围是或．
把解析式化成顶点是即可求得点的坐标，令，求得的值，即可求得点的坐标；
当时，则函数的最高点为，当时，则函数的最高点为，即可求得的值；
当时，；当时，；
分，两种情况讨论，化成函数的图象，根据图象求得满足题意的的取值即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，数形结合、分类讨论思想的运用是解题的关键，