2023年江苏省盐城市康居路教育集团中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省盐城市康居路教育集团中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  若一正方形的面积为，边长为，则的值介于下两个整数之间(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为．(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  已知有理数，满足方程组，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知≌，其中，，，、分别为、的中点，将两个三角形按图方式摆放，点从点开始沿方向平移至点与点重合结束如图，在整个平移过程中，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  我国北斗卫星导航系统部署已完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是米，将用科学记数法表示为          ．

10.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为______．

11.  分解因式：______．

12.  如图所示，在中，直径，弦于点，连接若，则的长为______ ．

13.  一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是______．

14.  如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索粗细不计与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______ ．

15.  用破损量角器按如图方式测量的度数，让的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的、两点若点、对应的刻度分别为，，则的度数为______ ．

16.  我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表图，即杨辉三角现在将所有的奇数记“”，所有的偶数记为“”，则前行如图，前行如图，求前行“”的个数为______ ．

 

三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

20.  本小题分
如图，在矩形中，点、分别在、上，直线分别交、的延长线于点、，．
求证：四边形是平行四边形；
若四边形是菱形，，，求的长．

21.  本小题分
某小组去年月至月对当地西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息．
西红柿与黄瓜市场价格的折线图：

西红柿与黄瓜价格的平均数和中位数：

根据以上信息，回答下列问题：
______ ， ______ ；
在西红柿与黄瓜中，______ 的价格相对更稳定填西红柿或黄瓜；
如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测今年这两种蔬菜在______ 月的产量相对更高．

22.  本小题分
把算珠放在计数器的根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数．
若将一颗算珠任意摆放在这根插棒上，则构成的数是三位数的概率是______ ；
现将两颗算珠任意摆放在这根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数的概率．

23.  本小题分
如图，在中，，，轴，垂足为，边与轴交于点，反比例函数，的图象经过点．
若，求直线和反比例函数的表达式；
若，将边沿边所在直线翻折，交反比例函数的图象于点，交轴于点，求点的坐标．

24.  本小题分
如图，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成如图是该款设备放置在水平桌面上的示意图已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．
问悬臂端点到桌面的距离约为多少？
已知摄像头点到桌面的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？参考数据：，，

 

25.  本小题分
感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮
如图，已知在中，，，，若在的其中两个顶点、处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点，交于点，请求出在该三角形内能使感应灯亮的区域面积；
如图，在中，，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯亮的区域面积；
如图，在平面内五个散点、、、、处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯上亮的区域图形．

 

26.  本小题分
定义：在平面内，将点关于过点的任意一条直线对称后得到点，称点为点关于点的线对称点．
理解：在直角坐标系中，已知点．
点关于直线对称的点的坐标为______ ；
若点、关于直线对称，则与的数量关系为______ ；
下列为点关于原点的线对称点是______ ．

运用：
已知直线经过点，当满足什么条件时，该直线上始终存在点关于原点的线对称点；
已知抛物线，问：该抛物线上是否存在点关于的线对称点，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由．

 

27.  本小题分
已知是等腰直角三角形，，．
当时，
将一个直角的顶点放至的中点处如图，两条直角边分别交、于点、，请说明为等腰直角三角形；
将直角顶点放至边的某处如图，与另两边的交点分别为点、，若为等腰直角三角形，且面积为，求的长．
若等腰三个顶点分别在等腰的三边上，等腰的直角边长为时，求等腰的直角边长的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，故A错误；
原式，故B错误；
原式，故D错误；
故选：．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据几何体的展开图可知：
这个几何体是：．
故选：．
根据几何体的表面展开图可以判断这个几何体是三棱柱．
本题考查了几何体的展开图，多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了无理数大小的估计，注意利用数的平方大小比较是解此题的方法．
由题意可求得，即可求得答案．
【解答】
解：正方形的面积为，边长为，
，
，
，
的值介于和之间，
故选C．  

6.【答案】 

【解析】解：如图所示，过顶点作直线支撑平台，直线将分成两个角和，

工作篮底部与支撑平台平行、直线支撑平台，
直线支撑平台工作篮底部，
、，
，
，
，
故选：．
过顶点作直线支撑平台，直线将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
化简得：，
故选：．
根据题意直接将两个方程相加即可求解．
本题主要考查了二元一次方程组，理解题意应用整体思想是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，此时最大，

，，，

≌，
，，，
，
，
，
，
、分别为、的中点，
；
如图，当时，最小，

延长交于点，根据中位线的性质可得，
，
，
综上所述，的取值范围是．
故选：．
先根据题意确定取得最大值和最小值时的位置，再综合应用中位线的性质即可解答．
本题考查中位线的性质，平移的性质和全等三角形的性质，熟悉性质是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
【解答】
解：．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，解得．
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于是关键．
 

11.【答案】 

【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
解：原式
．
故答案为：．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
．
故答案为：．
根据勾股定理求出，根据垂径定理即可得到答案．
本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由图可知：黑色方砖在整个地板中所占的比值，
小球最终停留在黑色区域的概率，
故答案为：．
求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
此题考查了几何概率问题，其中概率相应的面积与总面积之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：重物上升的高度为：，
故答案为：．
利用弧长公式计算即可．
本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接、、、，设的直径为，如图：

由题意可知，，，
，
，
，
，
故答案为：．
先图形抽象出来，然后应用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可解答．
本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，根据题意抽象出图形是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：观察图和图可知，前行中包含个前行的图形，中间三角形中的数字均为，
前行中““的个数是前行中““的个数的倍，即前行中““的个数为个，
同理可知前行中““的个数是前行中““的个数的倍，即前行中““的个数为个，
前行中““的个数是前行中““的个数的倍，即前行中““的个数为个，
故答案为：．
观察图和图的关系，类比可得答案．
本题考查数字变化类规律问题，解题的关键是观察图形，找到图和图的关系．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
本题考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
把，代入得：
原式． 

【解析】把分式的除法转化为乘法，然后约分即可化简题目中的式子，再将、的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

20.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形；
解：，
四边形是菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为． 

【解析】由推导出，结合即可解决问题；
由菱形的性质得，再由勾股定理得，即，求解即可．
本题考查了矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】    西红柿   

【解析】解：把西红柿的价格从小到大排列，排在中间的两个数分别是和，故中位数；
；
故答案为：；；
由折线统计图可知，西红柿的价格在元千克至元千克徘徊，黄瓜的价格在元千克至元千克徘徊，所以在西红柿与黄瓜中，西红柿的价格相对更稳定．
故答案为：西红柿；
由统计图可知，月份两种蔬菜的价格最低，所以如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在月的产量相对更高．
故答案为：．
分别根据平均数和众数的定义可得、的值；
根据方差的意义解答即可；
根据统计图解答即可．
本题考查了折线统计图、中位数、众数和方差，掌握相关统计量的意义是解决问题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：若将一颗算珠任意摆放在这根插棒上，则构成的数是三位数的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有个等可能的结果，构成的数是三位数的结果有个，
构成的数是三位数的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有个等可能的结果，构成的数是三位数的结果有个，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

23.【答案】解：在中，，，轴，垂足为，
，
，
，
，
，
，，
设直线为，
，
解得，
直线为，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
作轴于，
由题意可知，，
设，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
设点的坐标为，
，

，
，
即，
解得，，
点的坐标为． 

【解析】根据题意求得，，然后利用待定系数法即可求得线和反比例函数的表达式；
作轴于，由题意可知，进而求出，，设点的坐标为，利用平行线分线段成比例定理得求出即可．
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，求得交点坐标是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，设与交于点，

则，，，，，，
，
，
在中，，
，
，
悬臂端点到桌面的距离约为．
过点作，垂足为，设与交于点，
则，，，，，，
摄像头点到桌面的距离为，
，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
． 

【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，设与交于点，根据题意可得，，，，，，从而求出，进而求出，然后先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，进行计算即可解答．
过点作，垂足为，设与交于点，则，，，，，，求得，再算出，，得出．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，，
，
垂直平分，
，，
，即：，解得：，
的面积为：，
该三角形内能使感应灯亮的区域面积为；
如图，在中，，，为边上的高，
，，即垂直平分，
上任意一点到点与点的距离都相等，
在中，由勾股定理，得，
，
，
，
作的垂直平分线，交于点，如图：

则上任一点到点与点的距离都相等，，
由题意可知：在该三角形内能使感应灯亮的区域是四边形，
在中，，
，
，
在该三角形内能使感应灯亮的区域面积为．
如图：所画区域实线区域内即为所求．
 

【解析】先求出、的值，即可求出三角形的面积；
先找出感应灯亮的区域，然后求出面积；
分别以、、、为直径画圆，围成区域即为所求．
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．
 

26.【答案】     

【解析】解：如图，，关于直线对称，

，
在轴上，，
；
如图，

点、关于直线对称，
直线是线段的垂直平分线，
；
如图，描点，

，，取的中点，连接，
，
，
，，
≌，
，
直线是线段的垂直平分线；
故符合题意；
同理可得：符合题意，
不符合题意；
而显然符合题意；
故符合题意；
运用：如图，设为点关于原点的线对称点，
则，
在以为圆心，半径为的圆上，

当为的切线时，切点为，与轴的交点为，
则，，，
∽，
，
即，
可得；
，
直线为，
，
解得：，
，
如图，记，若该抛物线上存在点关于的线对称点，
，

设，
，
整理得：，
解得：，
此时，
线对称点的坐标为：或．
理解：画出图形，判断对称点的位置，再利用垂直平分线的性质可得答案；
画出图形，利用线段的垂直平分线的性质可得答案；
如图，由，，取的中点，连接，可得，可得≌，证明，可得直线是线段的垂直平分线；故符合题意；符合题意，不符合题意；而显然符合题意；从而可得答案；
运用：
如图，设为点关于原点的线对称点，则，在以为圆心，半径为的圆上，当为的切线时，切点为，与轴的交点为，则，，，证明∽，求解；再求解一次函数的解析式即可得到答案；
如图，记，若该抛物线上存在点关于的线对称点，则，设，可得，再解方程即可．
本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，二次函数的性质，圆的性质，切线的性质，勾股定理的应用，新定义的含义，理解新定义再确定合适的方法解题是关键．
 

27.【答案】证明：过点作于，于，连接，

是等腰直角三角形，，点是的中点，
，，，
，，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，
是等腰直角三角形；
如图，过点作于，

为等腰直角三角形，
，，
，
，
又，
≌，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
为等腰直角三角形的面积为，
，
，
，
，
或，
或；
解：设等腰的直角顶点为，
若在上，如图，

取的中点，连接，，
则，，
是直角边长为的等腰直角三角形，
，
，
，
当、、共线是最长，则，
在等腰中，当时，的长最大，最大为：
若在直角边上，如图，过点分别作于点，于，
设，，，
则，
，
，
，
解得，
当取最大值时，，，
的最大值为，
综上，的最大值为． 

【解析】由“”可证≌，可得，即可求解；
由“”可证≌，可得，由勾股定理可求解；
分点在上和点在或的上，由直角三角形的性质和勾股定理可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．