2023年河南省商丘市永城市中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省商丘市永城市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  自从学校开展“双减”工作，很大地减轻了学生的作业负担，同学们有了更多的时间进行课外活动，增强体质，将“落实双减政策”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的平面展开图如图所示，那么在这个正方体中，与“减”字所在面相对的面上的汉字是(    )

A. 落 B. 实 C. 政 D. 策

3.  根据的测试模型，网络理论下载速度为每秒左右，已知某个视频按网络理论下载速度需花费秒完成下载，则该视频的大小用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  一副直角三角板按如图所示的位置摆放角的顶点与角的顶点重合，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于的方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 无实数根

7.  某公司决定招聘一名职员，一位应聘者三项素质测试的成绩如下表：

这三项成绩按照如图所示的比例确定综合成绩，则这位应聘者最后的得分为(    )

A. 分
B. 分
C. 分
D. 分

8.  七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，李约瑟称它是“东方最古老的消遣品之一”，图是边长为的大正方形，图是王林同学将其分割制作的七巧板摆拼而成的“奔跑者”图，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  某教材阅读与思考中的部分内容如下：

某数学社团通过查阅资料，了解到放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此种放射性物质的半衰期结合镭的放射规律的函数图象，下列说法正确的是(    )

A. 该函数图象为反比例函数图象
B. 镭的半衰期是年
C. 镭的质量由缩减到需年
D. 镭缩减至所用的时间大约是年

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  已知是的一次函数，且函数图象过，请写出一个符合条件的函数解析式______ ．

12.  关于的不等式组的解集为______ ．

13.  水浒传是中学生必读名著之一，王林将水浒人物宋江和李造的画像及其绰号制成张无差别卡片除图案和文字不同外，其他完全相同，将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的概率是______ ．

 

14.  如图，扇形中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，若，则阴影部分的周长为______ ．

15.  如图，等边三角形的边长为，点为边上不与端点重合的一动点，连接，是的中点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接当为直角三角形时，线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．
化简：．

17.  本小题分
盛夏来临，防溺水任务成为重中之重，某中学为了解学生对防溺水知识的掌握情况，举办了以“珍爱生命，预防溺水”为主题的知识竞赛，从全校名学生中随机抽取了部分学生进行测试，并将测试结果整理如下：

其中，成绩在这一组的是单位：分：
，，，，，，，，．
请根据以上信息完成下列问题：
表中的 ______ ，这个样本数据的中位数是______ 分
这次测试成绩的平均分是分，甲的成绩是分，乙说：“甲的成绩低于平均分，所以甲的成绩低于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗？请说明理由；
请根据以上信息，估计全校学生测试成绩不合格的人数，并提出一条合理化的建议．

18.  本小题分
鹤壁市玄天洞石塔，原名玲珑塔，始建于元朝，重建于明代，是河南省现存最大的一座楼阁式石塔，也是中原地区保存最完整的大型青石塔此塔坐东朝西，为九级重檐平面四角楼阁式建筑，塔身自下而上逐层收敛某数学社团打算运用“解直角三角形”的知识来计算玲珑塔的高度，如图，先将无人机竖直上升至高的点处，在点处测得玲珑塔顶端的俯角为，将无人机沿水平方向继续飞行到达点，在点处测得塔底端的俯角为，求玲珑塔的高度结果保留一位小数，参考数据：，，，

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点．
求反比例函数的表达式．
当时，对于的每一个值，函数的值均大于反比例函数的值，求的取值范围．

20.  本小题分
某开发商对即将交付的楼盘进行绿化，拟从花木基地购进甲、乙两种景观树，经询问，若购买甲种景观树棵、乙种景观树棵，需花费元；若购买甲种景观树棵、乙种景观树棵，需花费元．
求这两种景观树每棵的售价各是多少元．
若开发商需购进这批景观树共棵，且要求甲种景观树的数量不超过乙种景观树数量的倍，请你设计出一种花费最低的购买方案，并求出最低费用．

21.  本小题分
已知二次函数的图象经过点和．
求二次函数的表达式和顶点坐标．
当时，有最小值，求的值．

22.  本小题分
机动车轮降温淋水独立自动控制装置，由储水箱、导水管、淋水喷头、可变流量电磁水闸、车载电源等组成在车辆上使用该装置，可对各个车轮的给水温度、时间及水量大小进行独立自动控制，同时具有高温报警、一定范围内整车制动力不平衡报警功能，给行车带来方便、安全可靠如图，是淋水器安装模型，已知是车轮的直径，是上一点，安装设计要求喷水线与车轮上的点相切喷水嘴安装在车体上．
尺规作图：在上找一点，使得直线与相切保留作图痕迹，不写作法．
在的条件下，设射线与直线交于点，若，，求机动车轮胎直径的长结果保留根号

23.  本小题分
综合与实践
【问题发现】
在学习了“特殊的四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：
如图，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．
通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想：
猜想：；
猜想：；
猜想：点在上运动的过程中，四边形的面积不变．
根据上述猜想，兴趣小组的同学进行了证明，过程如下：
四边形是正方形，
，，．

，即．
．
，
．
又，
，
≌依据：______

上述证明过程中的依据是______ ，上述猜想中正确的有______ 填序号．
【类比探究】
兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．
如图，已知矩形，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．
请判断线段与的数量关系，并说明理由．
点在上运动时，四边形的面积是否改变？______ 填“不变”或“改变”
【拓展应用】
在的条件下，若，点在上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可得出答案．
本题考查相反数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：在这个正方体中，与“减”字所在面相对的面上的汉字是落，
故选：．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，幂的乘方的法则，完全平方公式对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，幂的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角性质可得的度数．
本题考查平行线的性质和三角形的外角性质，解题关键是结合图形合理利用平行线的性质和三角形的外角性质进行角的转化和计算．
 

6.【答案】 

【解析】解：原方程化为，
，，，
，
则方程有两个相等的实数根．
故选：．
根据方程根的判别式即可判断．
此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：

分．
故这位应聘者最后的得分为分．
故选：．
根据加权平均数公式进行计算即可．
本题考查的是加权平均数的求法，在计算过程中要弄清楚各数据的权．
 

8.【答案】 

【解析】解：将图都分割成最小的三角形，发现一共可以分成个．
又图中的阴影部分可以分割成个这样的小三角形，
所以阴影部分的面积占正方形面积的．
又正方形的边长为，则面积为．
所以阴影部分的面积为：．
故选：．
可将图中的其余图形都分成图中的最小三角形，发现一共有个，再求出图中阴影部分所占比例即可解题．
本题考查了阴影部分的面积计算，求出阴影部分占总面积的比例是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，，
设，，
在中，
，
，
解得，
点的坐标为，
故选：．
由折叠可知，，，，，，设，，由勾股定理列出方程，解得，即可得出点的坐标为
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象知，图象过点，该图象不是反比例函数图象，故A说法错误，不符合题意；
每过年镭的质量减少一半，所以镭的半衰期是年，故B说法正确，符合题意；
镭的质量由缩减到需要两次衰变，所用的时间大约是年，故C说法错误，不符合题意；
的镭经过次衰变质量为，所用的时间大约是年，故D说法错误，不符合题意．
故选：．
根据函数的图象过点，于是得到该图象不是反比例函数图象，即可判断；根据每过年镭的质量减少一半，即可判断；由于质量由缩减到需要两次衰变，即可判断；的镭经过次衰变质量为，即可判断．
本题考查了反比例函数的应用，正确地识别图象是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设该一次函数的解析式为，
图象经过点，
，
，
．
故答案为：答案不唯一．
设根据一次函数的图象经过点，求得的值即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：把张卡片从左向右分别记为、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的结果有种，即、、、，
抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得到：，
，
是等边三角形，
，，
，
，
的长，的长，
阴影的周长的长的长．
故答案为：．
由题意得到是等边三角形，因此，，由，得到，由弧长公式求出的长，的长，即可求出阴影的周长．
本题考查弧长的计算，等边三角形的判定和性质，关键是由题意得到是等边三角形；掌握弧长公式．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当时，如图：

此时点在上，
是等边三角形且边长为，
，，
，
线段绕点顺时针旋转得线段，
，
，，
，
；
当时，如图，延长至点，使得，过点作，连接，

线段绕点顺时针旋转得线段，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，，
，
，，
，
是的中点，
点是的中点，
，，
点是的中点，
设，则，
，
解得，
．
，，
，
，
综上，的值为或．
故答案为：或．
分三种情况进行讨论，，，，然后数形结合，利用直角三角形的性质求解即可．
本题考查等边三角形的性质和判断，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题关键．
 

16.【答案】解：

；



． 

【解析】先化简，再算加减法即可；
先算括号内的式子，再算括号外的除法．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：，
这次测试成绩的中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据的平均数为分，
所以这组数据的中位数是分，
故答案为：，；
不正确，理由：
因为甲的成绩分高于中位数分，
所以甲的成绩不可能低于一半学生的成绩；
根据表中信息有的测试成绩不合格，所以学校应该加大宣传力度，让学生们都能掌握“珍爱生命，预防溺水”的相关知识．
根据中位数的定义求解即可；
用不低于分的人数除以被测试人数即可；
根据表格中的数据，写出一条合理化建议即可，本题答案不唯一．
本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：延长交于点，

由题意得：，，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
玲珑塔的高度约为． 

【解析】延长交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意，反比例函数的图象经过点，
．
所求反比例函数为．
由题意，把代入为，
．
把点代入，
．
如图，当时，对于的每一个值，函数的值均大于反比例函数的值，

． 

【解析】依据题意，将代入反比例函数解析式，即可得解；
把，代入从而得，再把点代入求得的值，利用图象即可求得的取值范围．
本题考查了一次函数图象与反比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
 

20.【答案】解：甲、乙两种景观树每棵的售价分别是元、元，
由题意得，

解得，．
答：甲、乙两种景观树每棵的售价分别是元，元．

设购进甲种景观树棵，则购进乙种景观树棵，
由题意得，，解得．
设购买景观树的总花费为元，
则，，
，
随的增大而减小，当取最大值时，最小，
时，最小，最小值为：元．
此时，棵，
答：购进甲种景观树棵，乙种景观树棵时，花费最低，最低花费为元． 

【解析】根据题中等量关系列二元一次方程组求解即可．
设购进甲种景观树棵，则购进乙种景观树棵，根据题中不等关系，可列关于的不等式，解得，再列出总花费与甲的棵数的函数关系式，根据一次函数的增减性，判断出当时，最小，即可得到花费最低的购买方案及最低费用．
本题考查二元一次方程组、不等式、一次函数的综合应用，根据题中信息列出方程组、不等式和函数关系式是解题的关键．
 

21.【答案】解：根据题意得，，
解得，
二次函数的解析式为，
，
其顶点坐标是；
由知抛物线的对称轴是直线，开口向上，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当，即时，
当时有最小值，
，
解得或舍去；
当时，当时有最小值，
，
解得或舍去；
当且，即时有最小值，不合题意，舍去；
综上，的值为或． 

【解析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后求出其顶点坐标即可；
先根据抛物线的对称轴确定其增减性，然后分情况讨论：当，，时分别判断即可得出的值．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数图象的性质，熟练掌握待定系数法，分类讨论思想是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图：点即为所求；
是圆的切线，
，
，
是直径，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，，
为等边三角形，
，
． 

【解析】根据“经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线”进行作图；
根据三角形全等的性质及三角函数求解．
本题考查了复杂作图，掌握切线的判定定理及三角函数的意义是解题的关键．
 

23.【答案】      改变 

【解析】解：；
≌，
，，
猜想、猜想正确．
≌，
，
，
点在上运动的过程中，四边形的面积不变．
猜想正确．
故答案为：；；
．
理由如下：
四边形是矩形，
．
，
，．
，
，
即，
．
，
．
又，
．
∽．
．
．
改变．
由可知∽，且相似比为，
：：．
，
点在上运动时，四边形的面积改变．
故答案为：改变；
分两种情况讨论．
当四边形关于所在直线对称时，如图所示，此时．

．
，
．
．
当四边形为矩形时，如图所示，

此时，
综上所述，线段的长为或．
由全等三角形的判定与性质可得出结论；
证明∽由相似三角形的性质得出；
由相似三角形的性质得出结论；
分两种情况，由轴对称的性质及直角三角形的性质可求出的长．
本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识；解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．