2022-2023学年江西省南昌一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）-普通用卷

2022-2023学年江西省南昌一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）

1.  若是第二象限角，则一定是(    )

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

2.  某钟表里分针按正常方式走了小时分，则对应时针转过的弧度数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  集合中的角所表示的范围阴影部分是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知集合第一象限的角，锐角，小于的角，下列四个命题：；；；，其中正确命题的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知函数，且的图象过定点，为坐标原点，射线是角的终边，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数的部分图象如图所示．有下列四个结论：

；
在上单调递增；
的最小正周期；
的图象的一条对称轴为．
其中正确的结论有(    )

A.  B.  C.  D.

8.  互不相等的个正整数从小到大排序为，，，，，若它们的和为，且其分位数是分位数的倍，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数，以下判断正确的是(    )

A. 的最小正周期为 B. 的最小正周期为
C. 是图象的一个对称中心 D. 是图象的一个对称中心

10.  为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为，样本方差为，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图为一半径为的水轮，水轮圆心距水面，已知水轮每分钟转圈，水轮上的点到水面距离与时间满足关系式，则有(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知函数在区间上至少存在两个不同的，满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是(    )

A. 在区间上的单调性无法判断
B. 图象的一个对称中心为
C. 在区间上的最大值与最小值的和为
D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位得到的图象，则

13.  已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为______ ．

14.  函数的定义域是______ ．

15.  函数的部分图象如图所示若方程有实数解，则的取值范围为______ ．

16.  对于下列结论：
设为第二象限角，则，且；
函数是最小正周期为的周期函数；
函数图象向右平移个单位得到的图象；
函数的最小值为．
其中结论正确的序号有______．

17.  如图，圆的半径为，弦的长为．
求圆心角的大小；
求扇形的弧长及阴影部分的面积．

18.  已知，求值：
；
．

19.  已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式及对称中心坐标；
先将的图象的向上平移个单位，再保持横标不变、纵标缩短到原来的倍，最后向右平移个单位，得到的图象，求函数在上的单调增区间．

20.  设函数，将函数的图象向左平移单位长度后得到函数的图象，已知的最小正周期为，且为奇函数．
求的解析式；
令函数对任意实数，恒有，求实数的取值范围．

21.  已知函数．
对任意，存在实数、，使得，且，同时函数图象经过点，若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数图象，求函数的解析式；
在的基础上，设，则是否存在实数，满足对于任意，都存在，使得成立？

22.  已知函数，在时最大值为和最小值为设．
求实数，的值；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由与的终边关于轴对称，
可知若是第二象限角，则一定是第三象限角．
故选：．
根据与的终边关于轴对称即可求解．
本题主要考查象限角，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：利用任意角的概念可得，顺时针方向旋转角为负角，
一小时时针转过的角度为，小时  分相当于小时，
所以对应时针转过的弧度数．
故选：．
根据角的概念可知时针转过的角为负角，易知一小时时针转过的角度为，即可求得小时分时针转过的弧度数．
本题主要考查弧度制，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查象限角、轴线角的表示方法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想．
先看当取偶数时，角的终边所在的象限，再看当取奇数时，角的终边所在的象限，把二者的范围取并集．
【解答】
解：当取偶数时，比如时，，故角的终边在第一象限．
当取奇数时，比如时，，故角的终边在第三象限．
综上，角的终边在第一、或第三象限．
故选 C．  

4.【答案】 

【解析】解：由题意，得，
故选：．
利用三角函数诱导公式，即可求得答案．
本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为集合第一象限的角，锐角，小于的角，
则，，但、无包含关系，故均错．
故选：．
判断出集合、、的包含关系，可得出合适的选项．
本题主要考查任意角的概念，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，定点的坐标为，
利用任意角的三角函数的定义可得，
所以．
故选：．
利用指数函数的性质可求定点的坐标，利用任意角的三角函数的定义可得的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了指数函数的性质，任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题的真假的判断，由部分图象求三角函数解析式，函数的对称性，函数的周期等基本知识，属于中档题．
求出函数的解析式，然后判断函数的单调性，函数的周期，对称轴，以及初相，判断命题的真假即可．

【解答】

解：由题意可知：，；，，且在函数的递减区间内，
，，且，所以，所以不正确；
，可得，所以函数的周期为，所以正确；
函数的解析式为：，可得，解得是函数的单调增区间，所以正确．
时，，所以不是的对称轴，所以不正确；
故选A．

8.【答案】 

【解析】解：由它们的和为，得，
分位数为，
所以数据，，，，的分位数是第个数，为，
分位数为，
所以数据，，，，的分位数是第个数，为，
分位数是分位数的倍，即，
，
又，，，，是互不相等的个正整数，且，
故，，，．
故选：．
根据百分位数的定义可得出，从而得出，再根据及这个数为正整数可求出的值．
本题考查了百分位数的计算方法，考查了计算能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查命题的真假判断，涉及正切函数的图象和性质，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键，属于基础题．
根据正切函数的图象和性质分别进行判断即可．

【解答】

解：函数的最小正周期，故A正确，B错误；
由，，得，，
当时，，即点是函数的图象的一个对称中心，故D正确，C错误．
故选AD．

10.【答案】 

【解析】解：设样本数据为：，，，，，
平均数；
方差．
从而有，

若样本数据中的最大值为，不妨设，则式变为：
，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；
若样本数据为，，，，，代入验证知式均成立，此时样本数据中的最大值为．
故选：．
运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题
本题考查的是平均数和方差的求法，记住公式是关键，同时也考查了分析问题的能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知，可得，故C正确；
该函数的周期为，故D正确；
所以，故A错误，B正确．
故选：．
由题意可知，可求，即可判断；可求函数的周期为，即可判断；利用周期公式可求，即可判断．
本题考查了由的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，，即．
又在区间上至少存在两个最大值或最小值，
且在区间上具有单调性，则，此时，即，
因为，所以，
所以在区间上单调递减，故A错误；
由，所以为图象的一个对称中心，故B正确；
因为，所以，
，，
所以最大值与最小值之和为，故C正确；
将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，
得到的图象，再向左平移个单位，
得到的图象，
即，故D错误．
综上，，C正确．
故选：．
利用已知条件推出在区间上单调递减，判断；推出图象的对称中心，判断；求解函数的最值判断；利用三角函数的图象变换，求解函数的解析式判断即可．
本题考查命题的真假的判断，函数的解析式的求法，三角函数的图象变换，函数的单调性以及函数的对称性的判断，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设扇形的半径为，
由题意得，即，
所以扇形的面积．
故答案为：．
由已知结合扇形的弧长公式先求出半径，然后结合扇形的面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：要使原函数有意义，需，
解得：，
即．
故答案为：．
根据偶次开方的被开方数为非负且对数函数的真数大于可以得到不等式组求解即可．
本题考查函数的定义域及其求法，考查三角不等式的解法，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图可知，
所以，即，
当时，，可得，
即，因为，所以，
所以函数的解析式为，
设，
则，
令，
记，
因为，所以，
即，故，
故的取值范围为．
故答案为：．
根据“五点法”求出函数解析式，换元后利用二次函数求出值域，即可得解．
本题主要考查三角函数的图像和性质，根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的有界性进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，若为第二象限角，则，得，，
则为第一或第三象限角，不一定成立，故错误；
 ，函数，不是周期函数，故错误；
 ，函数图象向右平移个单位，得到的图象，故错误；
 ，函数，当时取最小值为，故正确．
其中结论正确的序号有．
故答案为：．
利用三角函数的图象与性质逐一核对四个命题得答案．
本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象与性质，是中档题．
 

17.【答案】解：由于圆的半径为，弦的长为，
所以为等边三角形，
所以．
因为，
所以，，
又，
所以阴影部分的面积． 

【解析】由等边三角形即可求解角．
利用弧长公式以及扇形的面积公式即可求解．
本题主要考查了弧长公式及扇形的面积公式的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：由于，利用诱导公式化简得，
所以．
所以，
即．
由同角三角函数之间的基本关系可得． 

【解析】利用诱导公式即可得，再由同角三角函数之间的基本关系可得的值．
利用同角三角函数之间的基本关系，结合，可得的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
 

19.【答案】解：根据图象及可知，解得，，
且，可得，所以，
把点代入得，
即，又因为，所以，
即的解析式为；
令，即，解得
故所求对称中心坐标为．
将的图象的向上平移个单位可得，
再保持横标不变、纵标缩短到原来的倍可得，
再向右平移个单位可得
即可得到
由，
解得，
因为，所以时，可得的增区间为． 

【解析】根据部分图象可得，，再由周期性可得，代入可得，即可求得的解析式为，根据对称中心公式可得其对称中心坐标为；
根据图象平移变换可得，利用整体代换法可知，在上为单调递增，再结合即可得其增区间．
本题考查三角函数的图象和性质，平移变换和伸缩变换，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题可知，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
由的最小正周期为，得
由为奇函数可得，即，
因为，
所以，
所以．
由得，
所以，
根据恒成立，可得对任意实数恒成立；
令，
因为，所以，根据正弦函数单调性可得，
即，
再根据二次函数单调性可得，
因此，
即实数的取值范围为． 

【解析】根据函数图象平移变换以及最小正周期为，可得，利用平移后的函数为奇函数，即可求解．
将代入化简可得，再利用换元法根据由二次函数单调性即可求得实数的取值范围．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题，对任意，存在实数、，使得，且，
所以函数的半个周期为，最小正周期为，所以，
又函数图象经过，则，即，
又，可得，故，
将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，则，
再向左平移个单位长度，得到函数图象，则有．
由，则，故，即．
由，则，故，又，
所以，即，
假设存在实数，满足对任意，都存在，使得成立，
则的值域是值域的子集，即，则，
此方程组无解，故满足题意得实数不存在． 

【解析】根据题设函数性质求得、，写出解析式，再由图象平移写出解析式；
由及题设求出、在上的值域，根据已知确定值域间的包含关系，即可判断参数的存在性．
本题考查三角函数的图象和性质，考查值域问题，属于中档题．
 

22.【答案】解：函数，在时最大值为和最小值为．
当时，不符合题意；
当时，由题意得对称轴为，在单调增，
，
；
(ⅲ)当时，由题意得对称轴为，在单调减，
，，，不符合题意，
综上：；
当，令，
在上恒成立，
在上恒成立，
即在上恒成立，
又当时，最小值为，
；
令，
当时，方程有两个根；当时，方程没有根．
关于的方程有四个不同的实数解，
关于的方程在有两个不同的实数解，
在有两个不同的实数解，
，
．
综上：关于的方程有有四个不同的实数解时，． 

【解析】分、、分类讨论后可求，的值．
令，则原不等式等价于在上恒成立，参变分离后可求的取值范围．
令，则原方程等价于在有两个不同的实数解，利用根分布可求的取值范围．
本题考查了函数的零点、恒成立问题、二次函数根的分布情况，也考查了转化思想、分类讨论思想，属于中档题．