2022-2023学年湖北省黄冈市红安一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省黄冈市红安一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省黄冈市红安一中高二（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  设函数，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知，若方程有个实数根，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积单位：关于时间单位：的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知数列满足：则的前项的和为(    )A.  B.  C.  D. 5.  如果自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过，我们就把自然数叫做“集中数”那么，“集中数”一共有个．(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知，，，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  设有三个不同的零点，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知是离最近的整数，则数列的前项和是(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于，的一个动点下列结论中，正确的有(    )A. 椭圆的长轴长为
B. 满足的面积为的点恰有个
C. 的最大值为
D. 直线与直线斜率乘积为定值10.  已知数列的前项和为，且，，，则(    )A.  B. 数列为等差数列
C. 数列为等差数列 D. 为奇数时，11.  已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则(    )A. 当时，
B. ，都有
C. 的解集为，
D. 的单调递增区间是，12.  已知函数，下列结论中正确的是(    )A. 是的极小值点
B. 有三个零点
C. 曲线与直线只有一个公共点
D. 函数为奇函数三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知集合，集合，则以集合为定义域，集合为值域的函数的个数为        用数字作答14.  如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区为了便于管理，在线段之间有一观察站点，到直线，的距离分别为百米、百米，则观察点到点、距离之和的最小值为______ 百米．15.  已知函数，所有满足的点中，有且只有一个在圆上，则圆的方程可以是        写出一个满足条件的圆的方程即可16.  对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为        ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
用，，，，，组成无重复数字的四位数，求：
能被整除的概率；
是偶数的概率；
千位大于百位大于十位大于个位的概率．18.  本小题分
已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，求的最大值．19.  本小题分
某家具制造公司，欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板，已知，，且米，曲线段是以点为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形桌面板的相邻两边分别落在、上，且一个顶点落在曲线段上，问应如何精准设计才能使矩形桌面板的面积最大？并求出最大的面积．
20.  本小题分
已知数列满足，．
求数列的通项公式；
记为数列的前项和，证明：．21.  本小题分
已知双曲线的离心率，，分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为，其中为坐标原点．
求双曲线的方程；
过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于，两点，在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22.  本小题分
已知函数．
若，求的单调区间；
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因为为常数，
所以．
故选：．
为常数，则其导数为．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：根据题意，有．
故选：．
根据代数式的对称性可得正确的选项．
本题考查函数的零点、代数式的对称性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：由题意杯子的底面面积，
则杯中溶液上升高度，
则，
当时，，
即当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为．
故选：．
根据题意求得杯中溶液上升高度，求导，再令即可得解．
本题主要考查导数的应用，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由，
故，，，，．
故，，，．
从第一项开始，依次取个相邻奇数项的和都等于；，，，．
从第二项开始，依次取个相邻偶数项的和构成以为首项，以为公差的等差数列．
故．
故选：．
由递推关系可得：从第一项开始，依次取个相邻奇数项的和都等于；从第二项开始，依次取个相邻偶数项的和构成以为首项，以为公差的等差数列，进而求解．
本题考查数列的递推公式的应用，化归转化思想，属中档题．
 5.【答案】 【解析】解：自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过，我们就把自然数叫做“集中数”．
则个数，相等或相邻，
十位数为时，有，或，共个；
十位数为时，有，，，，，共个；
十位数为时，有，，，，，，，，，共个；
十位数为，，，，，时，与十位数是时，相同各有个；
十位数为时，有，，，，共个．
综上共有：个．
故选：．
利用已知条件，分析三位数的数字特征，转化求解即可．
本题考查计数原理的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 6.【答案】 【解析】解：，
设，则有，所以单调递减，
从而，
所以，故，即，
而，
故有．
故选：．
化简得，构造函数，通过导数可证得，可得，而，从而可得答案．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了三个数比较大小问题，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，
画出函数的图象，
直线过定点，
当时，设过的直线与的切点为，
由，得，
，
切线方程为，
把代入得：，即．
，
即直线的斜率为．
则使有三个不同的零点的的取值范围是
故选：．
由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，画出图形，数形结合得答案．
本题考查函数零点判定定理，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
 8.【答案】 【解析】解：显然，其中，
因此，
因此取值为的项有个，考虑到，
于是数列的前项和为
．
故选：．
根据可得的构成，从而可求其前项和．
本题考查数列的求和，以及数列的通项求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：由椭圆：，得，，则，
椭圆的长轴长为，故A正确；
设的纵坐标为，则，可得，
则满足的面积为的点恰有个，故B错误；
，，
当且仅当时取等号，故C正确；
设，，，
则，，
，故D错误．
故选：．
由椭圆方程求出椭圆的长轴长判断；由三角形面积求出的纵坐标判断；由椭圆定义结合基本不等式判断；由斜率定义结合椭圆方程判断．
本题主要考查了椭圆的定义和性质的应用，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：对于，因为，，，
所以，则，故A正确；
对于，因为，，所以不是等差数列，故B错误；
对于，因为，所以，，
两式相减，得，所以为等差数列，故C正确；
对于，因为，所以，，
两式相减，得，所以数列的奇数项为等差数列，公差为，
又由选项C知，的偶数项也为等差数列，公差为，，，
当为奇数时，
，故D错误．
故选：．
对于，利用递推式直接求出即可判断；对于，利用递推式得到，从而得以判断；对于，同理可得，再结合选项C中的结论，利用等差数列的前项和公式即可得解．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，当时，，则，则，A错误；
对于，函数是定义在上的奇函数，则，
当时，，其导数，
在区间上，递增，在区间上，递减且，而，
综合可得：在区间上，有；
又由为奇函数，则在区间上，有；
综合可得：，B正确；
对于，由、的结论，，若，必有或或，解可得或，
即的解集为
C错误；
对于，由的结论，在区间上，递增，在区间上，递减，
又由为奇函数，则在区间上，递增，在区间上，递减，
综合可得：的单调递增区间是，，D正确；
故选：．
根据题意，对于，利用奇函数的性质求出时．的解析式，可得A错误，对于，求出函数的导数，分析可得的单调性以及最值，综合可得B正确，对于，求出函数的解析式，结合解析式分析的解集，可得C错误，对于，利用函数的奇偶性以及的结论，可得D正确，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数导数与单调性的关系，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：：，
易得在，上单调递增，上单调递减，
故为函数的极小值点，A正确；
因为在，上单调递增，上单调递减，
又，，故函数在上存在唯一零点，
，，故函数在存在唯一零点，
，，故函数在存在唯一零点，
故函数有个零点，B正确；
令可得，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，
因为，
故只有一个零点，C正确；
为非奇非偶函数，D错误．
故选：．
先对函数求导，结合导数与单调性及极值关系检验选项A；
结合函数的单调性及零点判定定理检验选项B；
由已知构造新函数，结合导数研究函数单调性，再由函数零点判定定理检验选项C；
结合基本初等函数的奇偶性检验选项D．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系，函数零点判定定理，函数的奇偶性的综合应用，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：首先集合中的每个元素与集合中元素的对应方法都有种，
所以从集合到集合的映射有个，
在上述映射中，中元素都对应同一个元素的情形，即值域为，，的不满足题意，共有个，
同理，中元素对应，，中的个元素的情形，即值域为，，的不满足题意，各自有个，
所以以集合为定义域，集合为值域的函数的个数为种，
故答案为：．
先求出从集合到集合的映射总数，再去除值域为，，或值域为，，的映射个数即可．
本题主要考查了函数的概念，考查了排列组合知识的应用，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：如图所示，以为原点，，所在直线分别作为，轴，建立平面直角坐标系，
由于到直线，的距离分别为百米、百米，
可得，
设直线：，
可得，
可得，
所以，
所以，
令，
可得，
则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以当时，最短，此时，可得．
故答案为：．
以为原点，，所在直线分别作为，轴，建立平面直角坐标系，设直线：，则，令，求得函数的导数以及单调性，可得极小值点，进而即可求解．
本题考查解直角三角形，考查导数的运用：求单调性和最值，考查化简运算能力，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：函数，是上的增函数，且是奇函数，
故满足的点，
满足，即，故有，即，
故点在直线上．
再根据有且只有一个点在圆上，故圆和直线相切，
故圆的方程可以为，
故答案案为：．
由题意可得是单调递增的奇函数，点在直线上，再根据直线与圆相切，可得一个圆的方程．
本题考查函数的性质及导数的综合运用，训练了利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，是中档题．
 16.【答案】 【解析】解：数列的“加权和”，
，
时，，
相减可得，
，
时，，也满足上式，
．
，
数列的前项和，
对任意的恒成立，
，，
解得，
实数的取值范围为，
故答案为：
数列的“加权和”，由，时，，相减可得，利用求和公式可得数列的前项和，利用二次函数的单调性即可得出实数的取值范围．
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、二次函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 17.【答案】解：用，，，，，组成无重复数字的四位数的个数是：，
能被整除的四位数，个位数字是的四位数有个，个位数字是的四位数有个，
因此能被整除的四位数的总个数是：，
所以能被整除的概率是．
组成的四位偶数中，个位数字是的有，个位数字是，之一的有个，
因此组成的四位偶数总个数是：，
所以是偶数的概率．
千位大于百位大于十位大于个位的四位数个数是：，
所以千位大于百位大于十位大于个位的概率． 【解析】根据给定条件，利用排列求出符合要求的四位数个数，再求出能被整除的个数作答．
由，再求出符合要求的偶数个数即可计算作答．
由，再利用组合求出符合要求的四位数个数作答．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
 18.【答案】解：当时，，
所以，
当时，由，可得，
上述两个等式作差可得，
则，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
，
所以，
所以数列为等差数列，
所以，
所以当或时，取得最大值． 【解析】令，可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；
求得，可求得，利用二次函数的基本性质可求得的最大值．
本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 19.【答案】解：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示：

不妨设抛物线方程为，
易知，
所以，
解得，
则点所在曲线段的方程为，
不妨设是曲线段上的任意一点，
因为点在矩形中，，，
所以桌面板的面积，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，此时，，．
故将桌面板设计成长为米，宽为米的矩形时，矩形桌面板的面积最大，最大面积为平方米． 【解析】由题意，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，计算出曲线段的方程，设是曲线段上的任意一点，计算出、，利用导数求出矩形桌面板的面积的最大值及其对应的值，即可得出结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．
 20.【答案】解：因为数列满足，．
由题意知，所以，
从而可得，
即：，
故．
证明：由知，且，
所以可得，所以．
又因为，，
所以，
所以． 【解析】利用已知的递推关系式得到，再求解通项公式即可；
利用不等式的性质得到，进而得到结论．
本题主要考查数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，考查运算能力、推理能力，属于中档题．
 21.【答案】解：由双曲线的离心率，可得，
因为，为的中点，由双曲线的对称性及渐近线的对称性，可得为双曲线的顶点，
所以，，
所以，所以可得，
所以双曲线的方程为：；
当直线的斜率不为时，设直线的方程为：，设，，
联立，整理可得：，可得，，即，
且，，
假设存在满足条件，
则
，
要使为定值，则，解得，
即满足条件使得为常数；
当直线的斜率为时，则直线的方程为，则，，，
可得，也成立，
综上所述：满足为常数． 【解析】由双曲线的离心率可得，再由向量的关系，可得为的中点，而在双曲线上，可得为双曲线的顶点，再由的面积，可得，的关系，进而求出，的值，即求出双曲线的方程；
分直线的斜率为和不为两种情况讨论，设直线的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，假设存在点满足条件，求出的表达式，要使其值为常数，可得分子分母的对应项成比例，可得定点的坐标．
本题考查求双曲线的方程及直线与双曲线的综合应用，数量积为常数的求法，属于中档题．
 22.【答案】解：，，
令，得或，
令，得或，令，得，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
关于的不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，得，即，
令，，
因为，所以，
设，则，
令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以，即，
所以，所以在上为增函数，
所以，即，
故的取值范围为 【解析】求导后，解不等式可得增区间，解不等式可得减区间；
先由时不等式成立，得，再将不等式化为，构造函数，利用导数求出其最小值，代入可解得结果．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了不等式恒成立求参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．