【全套精品专题】通用版八年级下数学学案 第十讲 二次根式（知识梳理+同步练习无答案）

与二次根式有关的题考试一般不难，但学习时需牢记二次根式的相关运算法则、最简二次根式和分母必须有理化等概念。

一般地，形如的代数式叫做二次根式，a叫做被开方数．

形如的代数式叫做n次根式，其中若n为偶数，则必须满足．

例1.下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（　　）

A.1               B.2                 C.3            D.4

变式1.下列式子一定是二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

变式2.下列各式中：其中二次根式的个数有（　　）

①；②；③；④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

变式3.下列各式中，一定是二次根式的有（　　）

①②③④⑤

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

变式4.当时，二次根式的值是（    ）．

A.1                   B.2               C.3                D.4

变式5.若是整数，则正整数的最小值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

变式6.已知是自然数，是整数，则最小为（　　）

A．0 B．2 C．4 D．40

例2.若代数式有意义，则满足的条件是              ．

变式1.（2018年雅礼八上期末）若为二次根式，则的取值范围是____________.

变式2.（2018年长郡八上期末）式子中，的取值范围是（     ）

变式3.二次根式有意义，则的取值范围是　           　．

变式4.代数式有意义，则字母的取值范围是　          　．

例3.已知，则的算术平方根为　    　．

变式1.已知实数满足，则　     　．

变式2.若，为实数，，则的平方根是　     　．

变式3.若，是实数，且，求的值．

变式4.若，是一等腰三角形的两边长，且满足等式，试求此等腰三角形的周长．

1.最简二次根式

最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．我们把满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a²、（x+y）²、x²+2xy+y²等．

2.二次根式的乘除法

（1）积的算术平方根性质：=•（a≥0，b≥0）

（2）二次根式的乘法法则：•=（a≥0，b≥0）

（3）商的算术平方根的性质：=（a≥0，b＞0）

（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）

3.二次根式的分母有理化

定义：在二次根式中，将无理数的分母化为有理数的过程．

方法：分子分母同时乘以有理化因式（有理化因式是指相乘之后使分母变为有理数的因式）．

（1）单项根式的分母有理化，同乘以分母本身．例：．

（2）两项根式的分母有理化，同乘以使分母构成平方差公式的因式．

例4.（2018年广益八上期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是(　　)

例5.计算(1)•（a≥0）=　  　；   （2）÷=　  　．

例6.已知：，，则与的关系是（　　）

变式1.（2018年雅礼八上期末）下列根式中，不是最简二次根式的是（    ）

变式2.下列计算正确的是（　　）

变式3.（2019年长郡八上期末）矩形的面积为，一边长为，则另一边长为(   )

变式4.下列式子中错误的是（　　）

变式5.下列各式中正确的是（　　）

变式6.计算的结果是　 　 ．

变式7.计算　  　．

变式8.计算：　  　．

变式9.计算：　　．

变式10.计算：

1．同类二次根式

一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

合并同类二次根式的方法：

只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．

2．二次根式的加减法

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．

例7.（2019年长郡八上期末）与是同类二次根式的是（    ）

例8.计算的结果是（　　）

例9.计算

变式1.计算：

变式2.计算：

例10.已知，，求下列各式的值：

（1）；                             （2）．

变式1.（2018年雅礼八上期末）若实数、满足，则的值为（    ）

变式2.若，则代数式的值为（　　）

变式3.（2019年广益八上第三次月考）已知，，则      .

变式4.（2018年青一八上期末）先化简，再求值：，其中

变式5.计算题：

变式6.（2019年青一八上期末）先化简，再求值：，其中

变式7.若，则的值为（　　）

变式8.已知，，，则的结果是（　　）

变式9.若，，则　     　．

变式10.（2019年师博八上期末改编）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖，双剑合璧，天下无敌人.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相铺相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如，.像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化.

解决问题：

(1)的有理化因式是       ，将分母有理化得       ；

(2)计算：

1.（2018年长郡八上期末）下列式子属于最简二次根式的是（     ）

2.（2018年青一八上期末）下列二次根式能与合并的是（     ）

3.（2018年青一八上期末）下列各数中，与的乘积是有理数的是（     ）

4.（2018年长郡八上期末）如果，则(　　)

5.（2019年广益八上期末）使代数式有意义的的取值范围是________.

6.（2019年雅礼八上期末）与最简二次根式是同类二次根式，则________.

7.计算：         ，         ，         .

8.化简的结果是____________．

9.已知，，则式子的值为____________．

10.求下列式子有意义的的取值范围

11.（2018年长郡八上期末改编）计算：

12.已知，．

求（1）；        （2）的值．

13.（2019年广益八上第三次月考）（1）观察下列各式的特点：>，>，>，根据以上规律可知：

      .

（2）观察下列式子的化简过程：，，，根据观察，请写出式子的化简过程；

（3）计算下列算式：

14.（2018年雅礼八上期末改编）阅读材料：(一)如果我们能找到两个实数x、y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”.

例如：.

(二)在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，那么我们称这个过程为分式的分母有理化.

根据阅读材料解决下列问题：

（1）化简“和谐二次根式”：①___________，②___________；

（2）已知，，求的值；