高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.1.1 实数指数幂及其运算教课内容ppt课件

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薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一,它侵害田地的面积S(单位:hm2)与年数t(年)满足关系式S=S0·1.057t,其中S0(单位:hm2)为侵害面积的初始值.如果求10年后侵害的面积,则S=S0·1.05710;如果求15.5年后侵害的面积,就需要计算S=S0·1.05715.5,这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢?
回顾初中所学的整数指数幂相关知识：1.正整数指数幂： 一般地， （ 个 相乘 ， ），其中 称为底数， 称为指数， 叫 的 次幂. 零指数幂： （ ）. 负整数指数幂： .
例如： 正整数指数幂： 0指数幂： 负整数指数幂：
2.你还记得整数指数幂有哪些运算法则吗？ （1） （2） （3） （4）
回顾初中所学的平方根和立方根知识：1.平方根： 如果 ，则 称为 的平方根（或二次方根）. 当 时， 有两个平方根，它们互为相反数；正的平方根为 负的平方根为 . 当 时， 只有一个平方根，记为 . 当 时， 在实数范围内没有平方根.
你还记得二次根式有哪些运算法则吗？ （1） （2） （3）
2.立方根： 如果 ，则 称为 的立方根（或三次方根）. 在实数范围内，任意实数 有且只有一个立方根，记为 ..
概念推广
复习了平方根和立方根的概念后，你能类比给出四次方根、五次方根的定义，进而得到n次方根的定义吗？
n次方根的定义: 一般地,给定大于1的正整数 n和实数 ，如果存在实数 ,使得 ，则 称为 的n次方根.
通过 的解的情况，参考平方根与立方根的特征，你能归纳出n次方根的一些特征吗？如：
根式定义： 当 有意义时， 称为根式，n称为根指数， 称为被开方数. 那么，你能根据n次方根的上述特征得到根式的运算性质吗？ 如：
根式的运算性质： （1） （2） 当n为奇数时， ；当n为偶数时， . 练习：
复习了整数指数幂的运算和根式的概念与运算以后，我们来将其推广到分数指数幂运算，即给出 等的定义,我们希望推广后相关运算性质仍然保持,如 ,在m、n都是分数时仍然成立，是否可以呢？
计算比较下面两组算式，看看有什么发现？1. , ； , .2. , ； , .发现：每组式子中的计算结果相同，所以根式可转化为分数指数幂的形式,即根式与分数指数幂可以互化 .
一.分数指数幂运算: 一般地,如果n是正整数，则当 有意义时，规定 ,当 没有意义时，称 没有意义. (如: 没有意义) 对于一般的正分数 ，也可作类似规定,即（ 且 为既约分数）如： 负分数指数幂定义与负整数指数幂类似，即若s是正分数， 有意义且 时，规定 .
自此,我们便将整数指数幂推广到分数指数幂,即推广到有理数指数幂的范围了. 同样，运算法则也可以推广： 二.有理数指数幂的运算法则: 当s与t都是有理数时，有运算法则： . . .
例1:计算下列各式:

总结：计算负指数幂时，先转化为正指数幂，再选择合适运算顺序进行计算.
例2:计算或化简下列各式:
将整数指数幂运算推广到有理指数幂后，自然会想到，是否可以进一步推广到无理数指数幂呢？探究：如何理解 这个数呢？ 根据所学知识，猜测 的取值.
不难猜出： 而因为 是个无理数，同样可以一步步得到：
指数中的数随着指数小数点后位数的增加,会越来越接近一个实数,这个实数就是 .
自此,我们便将有理指数幂推广到无理指数幂,即推广到实数指数幂的范围了. 三.实数指数幂及其运算法则: 一般地,当 且t 是无理数时, 都是一个确定的实数,可以用上述方法求出它任意精度的近似值.故当 ,t 是任意实数时,实数 都有意义.同样可证明，类似有理指数幂的运算法则实数指数幂也成立. .
例3:计算下列各式: 小结：根式→有理指数幂 不同底→同底
例4:化简下列各式:
1.根式运算性质；2.根式与分数指数幂的转化； 3.有理指数幂、实数指数幂的运算性质.