数学必修 第二册6.2.2 直线上向量的坐标及其运算背景图ppt课件

这是一份数学必修 第二册6.2.2 直线上向量的坐标及其运算背景图ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了知识概要，向量的加法，数乘向量，交换律，结合律，分配律，向量b，实数λ，一一对应，特别说明等内容，欢迎下载使用。

一.直线上向量的坐标二.直线上向量的运算与坐标的关系 三.例题分析与讲解四.课堂小结
向量相等：把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.
零向量：把始点和终点相同的向量称为零向量，即 = 0.
单位向量：把模等于1的向量称为单位向量.
共线向量基本定理: 如果a 0且b // a，则存在唯一的实数λ，使得 b=λa.
确定实数λ 的方法是: (1) ；(2) λ 的正负由a和b 的方向决定， a和b 的方向相同，则λ>0； a和b 的方向相反，则λ<0.
本小节我们考察所有始点与终点都在同一条直线上的向量.我们约定，直线上的向量特指始点与终点都在这条直线上的向量.
也就是说，给定一条直线 l，记 = a， = b， = c，则必有向量 a,b,c 为共线向量.
由共线向量基本定理知，如果a 0且b // a，则存在唯一的实数λ，使得 b= λa；
c // a，则存在唯一的实数μ，使得 c= μa.
其中， ，且向量 a 与向量 b 方向相反，则λ<0； ，且向量 a 与向量 c 方向相同，则μ>0.
取 |a| = 1，也就是 a 为单位向量时，则 |λ| = |b| ，|μ| = |c|.
一.直线上向量的坐标给定一条直线 l 以及这条直线上一个单位向量e ，由共线向量基本定理可知，对于直线 l 上的任意一个向量 a，一定存在唯一的实数x，使得 a = xe，此时，x 称为向量 a 的坐标.
对直线上向量a 的坐标为 x 的理解:
(1) | a | =| xe | =| x || e |=| x | ；(2) 当 x > 0时，a 的方向与 e 的方向相同； 当 x = 0时，a 是零向量； 当 x < 0时，a 的方向与 e 的方向相反.
也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定.
按照定义，如图可知， | a | = 4，向量a 与单位向量 e 的方向
相反，则向量 a 的坐标为 – 4.
在直线 l 上指定一点O作为原点，e 的方向为正方向，e 的模为单位长度建立数轴，将向量a 的始点平移到原点O，得到向量 = a. 这时，A点的坐标与向量 a 的坐标相同.
相反，则向量 a 的坐标为 – 4 .
直线上向量的坐标的直观理解 :
在直线 l 上指定一点O作为原点，以 e 的方向为正方向，e 的模为单位长度建立数轴，对于 l 上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么 a 的终点对应的数就是向量 a 的坐标.
思考：定义中直线上单位向量 e 的坐标是多少？
分析：因为e 是单位向量，所以| e |=1， 且以 e 的方向为正方向，则 x >0， 所以 x =1. 所以直线上单位向量 e 的坐标为1.
思考：如何求出直线上零向量的坐标.
分析：因为零向量是始点和终点相同的向量， 将零向量的始点平移到原点O，那么零向量的终点也是原点O，原点O对应的数0就是零向量的坐标. 因此，直线上零向量的坐标为0.
为了方便起见，以后谈到直线上向量的坐标时，总是默认已经按照上述方式指定了单位向量 e ，并建立了数轴；而且谈到数轴时，也默认为已经指定了与数轴正方向同向的单位向量 e.
此时：如果数轴上一点A对应的数为 x (记为A(x)，也称点A的坐标为 x) ，那么向量 对应的坐标为 x； 反之，如果向量 对应的坐标为 x，那么数轴上一点A对应的数为 x，也就是点A的坐标为 x.
求直线上向量的坐标的两种方法：将向量用单位向量表示出来；将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标.
例1. 如图所示，求出直线上向量a,b的坐标.
解：因为 a 的始点在原点， 因此由 a 的终点坐标可知 a 的坐标为2.
解：因为 b = – 3e ， 所以 b 的坐标为– 3.
二. 直线上向量的运算与坐标的关系思考：直线上的向量有了坐标之后，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系？
假设直线上两个向量a,b的坐标分别为 即 ， .
1. 向量的相等与它们对应的坐标之间的关系： 当a = b时，有 ， 则 ( )e = 0， 因为 e 是单位向量，所以 .
反之，当 时，有 = 0， 则 ( )e = 0， 即 ，所以 a = b.
直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.
2. 向量的运算与它们对应的坐标之间的关系：
2. 向量的运算与它们对应的坐标之间的关系： a + b = = ( )e， 所以a + b 的坐标是 .
直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.
如果 u,v是两个实数， 那么 ua + vb = = = 所以ua + vb的坐标是 .
如果 u,v是两个实数， 那么 ua –vb = = = 所以ua – vb的坐标是 .
例2. 已知直线上向量 a 的坐标为–2，b的坐标为5，求下列向量的坐标：(1) a + b ； (2) ； (3) –2a –3b .
解：(1) a + b 的坐标为 –2+5=3； (2) 的坐标为 ； (3) –2a –3b的坐标为 .
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两点间的距离公式
设 是数轴上两点，
设 是数轴上两点，O为坐标原点，
设 是数轴上两点，O为坐标原点，则 ， ，因此 = ( )e.
所以 ，向量 的坐标为 .
设 是数轴上两点，O为坐标原点，则 ， ，因此 = ( )e .
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的中点坐标公式
设M(x)是线段AB的中点
设 是数轴上两点，O为坐标原点，设M(x)是线段AB的中点，则 ，有 ，则 ，
又因为 ，
因此， .
例3. 设数轴上两点A,B的坐标分别为3, –7，求：(1) 向量 的坐标，以及A与B的距离； (2) 线段AB中点的坐标.
解：(1) 由题意得 的坐标为3， 的坐标为–7， 因为 ，所以 的坐标为–7 –3= –10. 而且 .
解：(2) 设线段AB的中点为x， 则 .
(1) 数轴的建立，从而给定了一个单位向量，则能生成与它共线的直线上任意向量，且被其坐标确定.
(2) 直线上向量的坐标为x
向量 对应的坐标为x
点A的坐标为x
(3) 直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.
(4) 直线上向量a , b 的坐标分别是 ，则 a + b 的坐标是 ，ua + vb的坐标是 .
(5) 数轴上两点 ，则向量 的坐标为 .