三年（2021-2023）高考数学真题专项04导数及其应用（解答题）（文）含答案

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  专题04 导数及其应用（解答题）（文）知识点目录知识点1：恒成立与有解问题知识点2：极最值问题知识点3：证明不等式知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）知识点5：零点问题近三年高考真题知识点1：恒成立与有解问题1．（2023•甲卷（文））已知函数，．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．【解析】（1）当时，，，，令，，，，又，，在上单调递减；（2）设，，则，，，在上单调递减，若，又，则，，当时，，又，，，，，满足题意；当时，，，，满足题意；综合可得：若，则，所以的取值范围为，．2．（2023•乙卷（文））已知函数．（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）若函数在单调递增，求的取值范围．【解析】（1）当时，则，求导可得，，当时，（1），当时，（1），故曲线在点，处的切线方程为：，即；（2），则，函数在单调递增，则，化简整理可得，，令，求导可得，，当时，则，，故，即在区间上单调递减，，不符合题意，令，则，当，即时，，，故在区间上单调递增，即在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，符合题意，当时，令，解得，当时，，在区间上单调递减，即单调递减，，当时，，单调递减，，当时，，不符合题意，综上所述，的取值范围为．3．（2021•天津）已知，函数．（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）证明函数存在唯一的极值点；（3）若，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）因为，所以，而，所以在，处的切线方程为；（2）证明：令，则，令，则，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，当时，，作出图象，如图，所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，，，为增函数；当时，，，为减函数；所以时是的极大值点，故仅有一个极值点；（3）由（2）知，此时，，所以，令，若存在，使对任意的恒成立，则等价于存在，使得，即，而，，当时，，为单调减函数，当时，，为单调增函数，所以（1），故，所以实数的取值范围，．知识点2：极最值问题4．（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．【解析】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.（2）由（1）得，则，令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增，即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，，即所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，在上单调递减，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，，所以，则单调递增，所以在上无极值点；综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.5．（2021•北京）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）若在处取得极值，求的单调区间，并求其最大值和最小值．【解析】（Ⅰ）的导数为，可得在处的切线的斜率为，则在，（1）处的切线方程为，即为；（Ⅱ）的导数为，由题意可得，即，解得，可得，，当或时，，递增；当时，，递减．函数的图象如右图，当，；，，则在处取得极大值1，且为最大值1；在处取得极小值，且为最小值．所以的增区间为，，减区间为；的最大值为1，最小值为．6．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．【解析】（1）证明：设，，则，，在上单调递减，，在上单调递减，，即，，，，设，，则，在上单调递增，，，即，，，，综合可得：当时，；（2），，且，，①若，即时，易知存在，使得时，，在上单调递增，，在上单调递增，这显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去；②若，即或时，存在，使得，时，，在，上单调递减，又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，满足为的极大值点，符合题意；③若，即时，为偶函数，只考虑的情况，此时，时，，在上单调递增，与显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去．综合可得：的取值范围为，，．知识点3：证明不等式7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．【解析】（1），则，①当时，恒成立，在上单调递减，②当时，令得，，当时，，单调递减；当，时，，单调递增，综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增．证明：（2）由（1）可知，当时，，要证，只需证，只需证，设（a），，则（a），令（a）得，，当时，（a），（a）单调递减，当，时，（a），（a）单调递增，所以（a），即（a），所以得证，即得证．8．（2022•上海）．（1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值．（2）若且，求解不等式．【解析】（1）因为函数，将函数图像向下移后，得的图像，由函数图像经过点和，所以，解得，．（2）且时，不等式可化为，等价于，解得，当时，，，解不等式得，当时，，，解不等式得；综上知，时，不等式的解集是，，时，不等式的解集是，．9．（2022•新高考Ⅱ）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明：．【解析】（1）当时，，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减．（2）令，，，在上恒成立，又，令，则，，①当，即，存在，使得当时，，即在上单调递增．因为，所以在内递增，所以，这与矛盾，故舍去；②当，即，，若，则，所以在，上单调递减，，符合题意．若，则，所以在上单调递减，，符合题意．综上所述，实数的取值范围是．另的导数为，①当时，，所以在递增，所以，与题意矛盾；②当时，，所以在递减，所以，满足题意；．③当时，．设，，则在递减，所以，，所以在递减，所以，满足题意；④当时，，令，则，，可得递减，，所以存在，使得．当时，，在递增，此时，所以当时，，在递增，所以，与题意矛盾．综上可得，的取值范围是，．（3）由（2）可知，当时，，令得，，整理得，，，，，即．另运用数学归纳法证明．当时，左边成立．假设当时，不等式成立，即．当时，要证，只要证，即证．可令，则，，则需证明，再令，则需证明．构造函数，，，可得在，上递减，则（1），所以原不等式成立，即时，成立．综上可得，成立．知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）10．（2022•天津）已知，，函数，．（1）求函数在，处的切线方程；（2）若和有公共点．（ⅰ）当时，求的取值范围；（ⅱ）求证：．【解析】（1），，，，函数在处的切线方程为；（2）（ⅰ），，又和有公共点，方程有解，即有解，显然，在上有解，设，，，当时，；当，时，，在上单调递减，在，上单调递增，，且当时，；当时，，，，的范围为，；（ⅱ）证明：令交点的横坐标为，则，由柯西不等式可得，又易证时，，，，，故．11．（2022•北京）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；（Ⅱ）设，讨论函数在，上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的，，有．【解析】（Ⅰ）对函数求导可得：，将代入原函数可得，将代入导函数可得：，故在处切线斜率为1，故，化简得：；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：，，令，令，设，恒成立，故在，单调递增，又因为，故在，恒成立，故，故在，单调递增；解法二：由（Ⅰ）有：，，设，，则，由指数函数的性质得上上是增函数，且，，当时，，单调递增，且当时，，在，单调递增．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有在，单调递增，又，故在，恒成立，故在，单调递增，设，，由（Ⅱ）有在，单调递增，又因为，所以，故单调递增，又因为，故，即：，又因为函数，故，得证．12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．【解析】（1）由函数的解析式可得，，，单调递增，，，单调递减，则在单调递增，在单调递减．（2）证明：由，得，即，由（1）在单调递增，在单调递减，所以（1），且（e），令，，则，为 的两根，其中．不妨令，，则，先证，即证，即证，令，则在单调递减，所以（1），故函数在单调递增，（1）．，，得证．同理，要证，（法一）即证，根据（1）中单调性，即证，令，，则，令，，，单调递增，，，，单调递减，又时，，且（e），故，（1）（1），恒成立，得证，（法二），，又，故，，故，，令，，，在上，，单调递增，所以（e），即，所以，得证，则． 知识点5：零点问题13．（2022•甲卷（文））已知函数，，曲线在点，处的切线也是曲线的切线．（1）若，求；（2）求的取值范围．【解析】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，，则，解得，则（1），解得；（2），则在点，处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，令，解得或，则变化时，，的变化情况如下表：01000单调递减单调递增单调递减单调递增则的值域为，，故的取值范围为，．14．（2022•乙卷（文））已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求的取值范围．【解析】（1）当时，，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，同时也是最大值，函数的最大值为（1）；（2），①当时，由（1）可知，函数无零点；②当时，易知函数在上单调递增，在上单调递减，又（1），故此时函数无零点；③当时，易知函数在上单调递增，在单调递减，且（1），，又由（1）可得，，即，则，，则，当时，，故存在，使得，此时在上存在唯一零点；④当时，，函数在上单调递增，又（1），故此时函数有唯一零点；⑤当时，易知函数在上单调递增，在上单调递减，且（1），又由（1）可得，当时，，则，则，此时，故存在，使得，故函数在上存在唯一零点；综上，实数的取值范围为．15．（2021•新高考Ⅱ）已知函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．①，；②，．【解析】（Ⅰ），，①当时，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，②当时，令，可得或，当时，当或时，，当时，，在，，上单调递增，在，上单调递减，时， 且等号不恒成立，在上单调递增，当时，当或时，，当时，，在，，上单调递增，在，上单调递减．综上所述：当 时， 在上单调递减；在上 单调递增；当 时， 在， 和上单调递增；在，上单调递减；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在和， 上单调递增；在， 上单调递减．（Ⅱ）证明：若选①，由 （Ⅰ）知， 在上单调递增，， 单调递减，， 上 单调递增．注意到． 在 上有一个零点；，由 得，，，当 时，，此时 无零点．综上： 在 上仅有一个零点．另当，时，有，，而，于是，所以在没有零点，当时，，于是，所以在，上存在一个零点，命题得证．若选②，则由（Ⅰ）知：在， 上单调递增，在，上单调递减，在 上单调递增．，，，，，当 时，，此时 无零点．当 时， 单调递增，注意到，取，，，又易证，，在上有唯一零点，即在上有唯一零点．综上： 在 上有唯一零点．16．（2021•甲卷（文））设函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）若的图像与轴没有公共点，求的取值范围．【解析】（1），，因为，所以，所以在上，，单调递减，在，上，，单调递增．综上所述，在上单调递减，在，上单调递增．（2）由（1）可知，，因为的图像与轴没有公共点，所以，所以，所以的取值范围为，．17．（2021•乙卷（文））已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．【解析】（1），△，①当△，即时，由于的图象是开口向上的抛物线，故此时，则在上单调递增；②当△，即时，令，解得，令，解得或，令，解得，在，，单调递增，在，单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．（2）设曲线过坐标原点的切线为，切点为，则切线方程为，将原点代入切线方程有，，解得，切线方程为，令，即，解得或，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和．