2022-2023学年广东省惠州市惠阳区良井中学九年级（下）收心考数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省惠州市惠阳区良井中学九年级（下）收心考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数为常数，且的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 不存在

4.  如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知实数，分别满足，，则的值是(    )

A.  或 B.  C.  D.

6.  已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

7.  如图，四边形是矩形，是边延长线上的一点，与相交于点，则图中的相似三角形共有(    )

 

A. 对 B. 对 C. 对 D. 对

8.  如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为当时，的取值范围是(    )

 

A.  或 B. 或
C. 或 D. 或

9.  如图，点是矩形的中心，是上的点，沿折叠后，点恰好与点重合，若，则折痕的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  已知点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  方程转化为一元二次方程的一般形式是____．

12.  若函数是反比例函数，则______．

13.  如图是反比例函数在第二象限内的图象，若图中的矩形的面积为，则 ______ ．

14.  一元二次方程的一次项系数为______．

15.  如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为，则的值为______．

 

16.  设、是方程的两个实数根，则的值为______．

17.  如图，点的坐标为，点是线段上的一个动点不运动至，两点，过点作轴，垂足为，以为边在右侧作正方形连接并延长交轴的正半轴于点，连接，若以，，为顶点的三角形与相似，点的坐标是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

18.  某市有、两个公园，甲、乙、丙三位同学随机选择其中一个公园游玩．
甲去公园游玩的概率是______；
求三位同学恰好在同一个公园游玩的概率．

四、解答题（本大题共7小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
．

20.  本小题分
已知．
求．
若，求，，的值．

21.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例为常数，且的图象交于，两点，
求反比例函数的表达式及点，的坐标
在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标．

22.  本小题分
直线为常数与双曲线为常数相交于、两点．
若点的横坐标为，点的纵坐标为直接写出：______，______，的解集为______．
若双曲线为常数的图象上有点，，当时，比较与的大小．

23.  本小题分
如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．
求和的值；
求的面积．

24.  本小题分
如图，在▱中，、分别是、边上的点，且，
求证：≌．
若，求证：四边形是矩形．

25.  本小题分
如图，在正方形中，边长为，，将绕点旋转，其中边分别与射线、直线交于、两点，边与射线交于点；连接，且与直线交于点．
如图，点在线段上时，求证：；求证：垂直平分；
当时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：将三个小区分别记为、、，
列表如下：

由表可知，共有种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有种，
所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为，
故选：．
将三个小区分别记为、、，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．
此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

2.【答案】 

【解析】解：一次函数中，，
一次函数的图象与轴负半轴相交．
A、由反比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，两结论矛盾，不符合题意；
B、由反比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，两结论一致，符合题意；
C、由反比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，两结论矛盾，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知函数图象与轴正半轴相交，错误，不符合题意．
故选：．
分别根据一次函数及反比例函数的图象对各选项进行逐一分析即可．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数的符号决定直线的方向以及双曲线的位置．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，属于中档题．
解题的关键是：根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组；牢记两根之和等于、两根之积等于．
先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出的值．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，

解得：且．
、是方程的两个实数根，
，，
，
，
或，
，
．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：设，如图所示：

四边形是菱形，
，，
，
∽，
，
又，
，
，
又，
，
又，
，
，
又，
，
又，
，
又，
∽，
，
，
，
，
故选：．
由菱形的性质得，，根据，分别得∽，∽，其性质与线段的和差求出，，最后计算的值为．
本题综合考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，线段的和差等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是根据比例的应用．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
由于、满足，，则可分类讨论：当时，易得原式；当时，、可看作方程的两个根，根据根与系数的关系得到，，再变形得到原式，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】
解：、分别满足，
当时，原式；
当时，、可看作方程的两个根，
所以，，
原式．
综上，的值为或．
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，解得，
方程化为，解得，，
因为，
所以三角形三边为、、，
所以的周长为．
故选：．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
先利用一元二次方程解的定义把代入方程得，则方程化为，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定方法即可解决问题．
【解答】
解：四边形是矩形


，
又
∽；
是公共角，，
∽；
由可得∽．
则图中的相似三角形共有对．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的横坐标为．
点的横坐标为：，
故当时，的取值范围是：或．
故选：．
直接利用正比例函数的性质得出点横坐标，再利用函数图象得出的取值范围．
此题主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正确得出点横坐标是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：是翻折而成，
，，，
，
是矩形的中心，
是的垂直平分线，，
，
在中，，即，解得，
在中，设，则，
，即，解得，
．
故选：．
先根据图形翻折变换的性质求出的长，，再由勾股定理即可得出结论．
本题考查的是翻折变换，勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
先根据关于轴对称的点的坐标特征确定的坐标为，然后把的坐标代入中即可得到的值．
【解答】
解：点关于轴的对称点的坐标为，
把代入得．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
方程去括号，移项合并，整理为一般形式即可．
【解答】
解：方程整理得：，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据反比例函数的一般形式：的次数是，且系数不等于，即可求解．
本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为反比例函数，且矩形的面积为，
所以，即，
又反比例函数的图象在第二象限内，，
所以．
故答案为：．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积是个定值，再由反比例的函数图象所在象限确定出的值．
主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
 

14.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的一次项系数为，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义和项、系数的定义得出即可．
本题考查了一元二次方程和项、系数等定义，能理解定义的内容是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据已知条件得到三角形的面积，得到，即可得到结论．
【解答】
解：轴，
，
，
，
函数的图象在第二象限，
，，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：方程、是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为．
本题考查一元二次方程根与系数的关系．
根据根与系数的关系得到、的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可．
 

17.【答案】或 

【解析】解：过点作，
点的坐标为，
，，
，
设，
四边形是正方形，
，，
，
，
以，，为顶点的三角形与相似，
，则，
，
，
∽，
，
即，
解得，
，
点的坐标为，
时，则，
，
，
∽，
，
即，
解得，
，
点的坐标为．
如图当点在点左边时，设正方形的边长为，
∽，
：：：，
，，
，
，
，
，
，
综上所述，点的坐标是或或．
故答案为：或或．
根据点坐标是可以确定，又四边形是正方形，所以，即可证明的边，再根据“以，，为顶点的三角形与相似”分，两种情况讨论，根据与相似，相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式计算即可求出正方形的边长，从而的长亦可求出．
此题考查了相似三角形的性质对应高的比等于对应边的比的性质，解题的关键是根据点的坐标确定出，注意要分情况讨论，避免漏解．
 

18.【答案】 

【解析】解：甲去公园游玩的概率，
故答案为：；
共有种可能的结果：、、、、、、、它们是等可能的，记“三位同学恰好在同一个公园游玩”为事件，事件发生的可能有种，
．
两个不同的公园，选择一个恰好为的概率为；
利用列举方法找出所有的可能情况，再找三位同学恰好在同一个公园游玩的情况个数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：，
，
，
． 

【解析】把看作一个整体，利用十字相乘分解因式，即可求解．
本题主要考查解一元二次方程，掌握十字相乘分解因式是关键．
 

20.【答案】解：设，
则，，，
所以；

由得：，
解得：，
，，． 

【解析】设，得出，，，再代入计算即可；
根据先求出的值，再代入，，，求出，，的值即可．
本题主要考查的是比例的性质，设出、、的值是解题的关键．
 

21.【答案】解：把点，代入一次函数，
得，，
解得，，
，；
点代入反比例函数得，
反比例函数的表达式；

作点作关于轴的对称点，交轴于点，连接，交轴于点，此时的值最小，
，
设直线的解析式为，
把，两点代入得，，
解得，，
直线的解析式为，
令，得，
点坐标． 

【解析】把点，代入一次函数，即可得出，，再把点坐标代入反比例函数，即可得出结论；
作点作关于轴的对称点，交轴于点，连接，交轴于点，此时的值最小，求出直线的解析式，令，即可得出点坐标．
本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被轴或轴分割为个三角形的面积和．
 

22.【答案】   或 

【解析】解：直线为常数与双曲线为常数相交于、两点，点的横坐标为，点的纵坐标为，
，，
，，
由图象可知，的解集为或，
故答案为，，或；
若点，在同一象限，即，随的增大而减小，
当时，则；
若点，不在同一象限，即，
当时，则点在第三象限，在第一象限，
则．
根据正比例函数与双曲线的交点关于原点对称得出，，进而得出，，然后根据图象即可求得的解集；
根据反比例函数的性质即可判断．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，解不等式．利用数形结合思想是解题的关键．
 

23.【答案】解：点在直线上，
，
解得：，
，
反比例函数的图象过点，
，
解得：；

设直线分别与轴、轴交于、，
当时，，，
即，
当时，，
即，
在直线上，
，
即，
的面积． 

【解析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
先求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出即可；
先求出直线与轴、轴的交点坐标，再求出即可．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
≌．

四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形． 

【解析】由在▱中，，可利用判定≌．
由在▱中，且，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，又由，可证得四边形是矩形．
此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有一个角是直角的平行四边形是矩形，首先证得四边形是平行四边形是关键．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
．
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，，
，
垂直平分线段．
解：


当点在线段上时，作于，于．
在中，，
，
，设，
，
，
，，，
∽，
，
．
 

当点在的延长线上时，作于，于．
在中，，
，
，设，
，
，
，，，
∽，
，
．
综上所述，的长为或．

【解析】只要证明即可解决问题；
利用相似三角形的性质证明即可解决问题；
当点在线段上时，作于，于由∽，可知，想办法求出，，即可解决问题；当点在的延长线上时，作于，于，方法类似．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考常考题型．