2023年江苏省宿迁市沭阳县中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省宿迁市沭阳县中考数学三模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −3的相反数是( )
A. −3B. −13C. 3D. 13
2. 下列计算正确的是( )
A. (3a3)2=9a6B. a3+a2=2a5
C. (a+b)2=a2+b2D. (a4)3=a7
3. 将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，AB//CD，BC//EF.若∠1=58°，则∠2的大小为( )
A. 120°
B. 122°
C. 132°
D. 148°
5. 对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是( )
A. 中位数是5B. 众数是7C. 平均数是4D. 方差是3
6. 关于x的方程1x−2+a−22−x=1的解是正数，则a的取值范围是( )
A. a>5B. a<5C. a>5且a≠7D. a<5且a≠3
7. 如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为( )
A. π−2B. 23π−1C. π−4D. 23π−2
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E是BC的中点，连接AE，AF平分∠DAE交CD于点F，连接BF交AE于点G，则AG的长为( )
A. 225
B. 409
C. 25 29
D. 8 23
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 请写出一个图象经过点(1,2)的函数的关系式 ．
10. 若代数式 x+1有意义，则x的取值范围是______ ．
11. 根据宿迁市文化广电和旅游局统计，2023年“五一”假期，我市28家重点景区共接待国内外游客1097200人次，比2019年同期增加33.04%，其中数据1097200用科学记数法表示为______ ．
12. 因式分解：4m2−16=______．
13. 若一个圆锥的侧面积是50π，其侧面展开图是一个半圆，它的底面半径是______．
14. 已知一元二次方程x2−4x+c=0的一个根为2+ 3，则其另一个根为______ ．
15. 如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−2,p)，B(4,q)两点，则不等式ax2−mx+c16. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根长木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”若设绳子长x尺，木长y尺，依据题意，可列方程组为______ ．
17. 如图，反比例函数y=kx(x>0)图象经过正方形OABC的顶点A，BC边与y轴交于点D，若正方形OABC的面积为16，BD=2CD，则k的值为______ ．
18. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=8 3，点E为矩形对角线BD上一动点，连接CE，以CE为边向上作正方形CEFG，对角线CF、EG交于点H，连接DH，则线段DH的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：(−12)−1−| 3−2|−(π−2023)0．
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x+1x2−2x+1÷(1+2x−1)，其中x=1+tan60°．
21. (本小题8.0分)
某校组织了一次数学实验比赛，设置了A测高、B测距、C折纸、D拼图、E搭建共五个比赛项目，学校对全校1800名学生参与比赛项目的分布情况进行了一次抽样调查，并将调查所得的数据整理如下．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中D项目对应的百分比是______；
(2)请在答题卡上把条形统计图补充完整．(画图后请标注相应的数据)
(3)该校参加人数最多的项目是哪个项目？约有多少学生参加？
22. (本小题8.0分)
如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF=AE，连接BE、CF．
求证：BE=CF．
23. (本小题10.0分)
一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，取出白球的概率为12．
(1)布袋里红球有多少个？
(2)先从布袋中摸出1个球后不再放回，再摸出1个球，求两次摸到的球都是白球的概率．
24. (本小题10.0分)
时代中学组织学生进行红色研学活动.学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处.已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离(精确到1米).(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14)
25. (本小题10.0分)
如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径．
(1)尺规作图：确定点D，E的位置，使得点D是AC的中点，DE//AC交直线BC于点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，求证：DE是⊙O的切线；
(3)连接BD，交AC于点F，若AB=6，BC=10，求DF的长．
26. (本小题10.0分)
为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
27. (本小题12.0分)
综合与实践：问题情境：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，使得点C′落在AD的延长线上，B′C′分别交AC，CD于点E和点F．
初步探究：(1)△AEC′的形状是______ ；
深入探究：(2)如图2，延长C′B′交BC于点G，延长AB′交BC于点H，请判断GH与C′F的数量关系，并说明理由；
拓展延伸：(3)如图3，将矩形AB′C′D′沿射线AD方向平移得到矩形A′B′C′D′，当点B′落在AC上时，延长FD交A′D′于点N，请直接写出四边形C′DND′的面积．
28. (本小题12.0分)
如图1，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P在第四象限的抛物线上运动，连接AP，BP，CP．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若S△PBC−S△APC=2，求点P的坐标；
(3)①如图2，若AP交BC于点E，过点P作x轴的垂线交BC于点F，当EF=EP，求点P的坐标；
②如图3，在①的条件下，连接AP，BP，点M是线段AP上一点，点Q是线段BP上一点，连接MQ，过点M作x轴的垂线交抛物线于点H，过点H作HN//PB交MQ于点N，当S△MHN=13S△MHQ，直接写出线段MH的长______ ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−3的相反数是3，
故选：C．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】A
【解析】解：A、原式=9a6，故选项正确；
B、原式不能合并，故选项错误；
C、原式=a2+b2+2ab，故选项错误；
D、原式=a12，故选项错误．
故选：A．
A、原式利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；
D、原式利用幂的乘方法则计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了积的乘方及幂的乘方运算、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：从上面看可得到一个正方形，正方形里面有一条撇向的实线．
故选：C．
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，∠1=58°，
∴∠C=∠1=58°，
∵BC//EF，
∴∠CGF=∠C=58°，
∴∠2=180°−∠CGF=180°−58°=122°，
故选：B．
根据两直线平行，内错角相等分别求出∠C、∠CGF，再根据平角的概念计算即可．
本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是3，则中位数是3，故本选项错误；
B、3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项错误；
C、平均数是：(3+7+5+3+2)÷5=4，故本选项正确；
D、方差是：15[2×(3−4)2+(7−4)2+(5−4)2+(2−4)2]=3.2，故本选项错误；
故选：C．
根据平均数、众数、中位数及方差的定义和公式分别对每一项进行分析，再进行判断即可．
此题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2].
6.【答案】D
【解析】解：1x−2+a−22−x=1，
去分母，得1−a+2=x−2，
解得x=5−a，
∵关于x的方程1x−2+a−22−x=1的解是正数，
∴5−a>0且5−a≠2，
∴a<5且a≠3．
故选：D．
将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案．
本题考查了分式方程，掌握解方程和分母不能为0是关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵OB=2，
∴S阴影=S扇形OBC−S△OBC=14π×22−12×2×2=π−2．
故选：A．
先证得△OBC是等腰直角三角形，然后根据S阴影=S扇形OBC−S△OBC即可求得．
本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：延长AE交DC延长线于点M，过点F作FN⊥AM于点N，

在矩形ABCD中，AB=CD=4，AD=BC=6，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，
∵AF平分∠DAE，FN⊥AM，FD⊥AD，
∴FN=FD，
设FN=FD=x，则FC=4−x，
∵点E是BC的中点，
∴BE=EC=3，
∵∠ABE=∠MCE=90°，
在△ABE和△MCE中，
∠ABE=∠MCE，BE=EC，∠AEB=∠MEC，
∴△ABE≌△MCE(ASA)，
∴AB=MC=4，AE=ME，
在Rt△ABE中，AE= AB2+BE2= 42+32=5，
∴AM=10，
∵∠M=∠M，∠MNF=∠MDA=90°，
∵△MFN∽△MAD，
∴NFAD=MFAM，
∵MF=8−x，
∴86=8−x10，
∴x=3，
∴MF=5，
∵AB//CD，
∴∠BAG=∠M，∠ABG=∠GFM，
∴△BAG∽△FMG，
∴BAFMAGMG，
∴45=AGMG，
∴AG=49AM=49×10=409，
故选：B．
延长AE交DC延长线于点M，过点F作FN⊥AM于点N，由矩形的性质可得AB=CD=4，AD=BC=6，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，根据全等三角形的判定与性质可得AB=MC=4，AE=ME，然后利用相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
9.【答案】y=2x(答案不唯一)
【解析】解：函数y=2x经过点(1,2)．
故答案为：y=2x(答案不唯一)．
让x=1时，函数值y=2写出一个正比例函数即可．
本题考查了函数关系式，正确掌握函数的性质是解题关键．
10.【答案】x≥−1
【解析】解：∵代数式 x+1有意义，
∴x+1≥0，
解得：x≥−1．
故x的取值范围是x≥−1．
故答案为：x≥−1．
根据二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握被开方数的符号是解题关键．
11.【答案】1.0972×106
【解析】解：1097200=1.0972×106．
故答案为：1.0972×106．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
12.【答案】4(m+2)(m−2)
【解析】解：4m2−16，
=4(m2−4)，
=4(m+2)(m−2)．
此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13.【答案】5
【解析】解：设圆锥的母线长为l，则180π×l2360=50π，
解得：l=10，
设圆锥的底面半径是r，则2πr=180π×10180，
解得：r=5．
即这个圆锥的底面半径为5，
故答案为：5．
设圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面积为侧面展开图中扇形的面积得出180π×l2360=50π，求出l=10，再设圆锥的底面半径是r，根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长得出2πr=180π×10180，解方程即可求出半径．
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14.【答案】2− 3
【解析】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得：2+ 3+t=4，
解得：t=2− 3．
故答案为：2− 3．
设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2+ 3+t=4，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x1、x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
15.【答案】−2【解析】解：∵A(−2,p)，B(4,q)
∴当−2∴ax2+c故答案为：−2根据图象中直线在抛物线上方的x的取值范围求解．
本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是将不等式ax2−mx+c16.【答案】y−x=4.5x−12y=1
【解析】解：依题意得y−x=4.5x−12y=1，
故答案为：y−x=4.5x−12y=1．
本题的等量关系是：绳长−木长=4.5；木长−12×绳长=1，据此可列方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
17.【答案】245
【解析】解：过B作BH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，CN⊥BH于N，交y值于E，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOE=∠AOE+∠AOM=90°，
∴∠COE=∠AOM，
在△COE与△AOM中，
∠COE=∠AOM∠CEO=∠AMO=90°OC=OA，
∴△AOM≌△COE(AAS)，
∴OM=OE，AM=CE，
同理，△COE≌△BCN，
∴CN=OE，BN=CE，
∵BH//y轴，
∴CDBC=CECN，
∴BD=2CD，
∴CECN=13，
∴CEOE=AMOM=13，
∵OA2=OM2+AM2，正方形OABC的面积为16，
∴16=9AM2+AM2，
∴AM=2 105，
∴OM=6 105，
∴A(6 105,2 105)，
∵反比例函数y=kx(x>0)图象经过正方形OABC的顶点A，
∴k=6 105×2 105=245，
故答案为：245．
过B作BH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，CN⊥BH于N，交y值于E，通过证得△AOM≌△COE，△COE≌△BCN，得出CN=OE=OM，BN=CE=AM，由BD=2CD，根据平行线分线段成比例定理求得CE：CN=CE：OE=AM：OM=1：3，利用勾股定理以及正方形的面积即可求得A的坐标，进而求得k的值．
本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
18.【答案】2 2
【解析】解：如图1，作CI⊥BD于点I，则∠EIC=90°，
∵四边形CEFG是正方形，
∴CF⊥EG，CH=FH=12CF，EH=GH=12EG，且CF=EG，
∴∠EHC=90°，CH=EH，
∴∠HCE=∠HEC=45°，
取CE的中点O，连接OH、OI，以点O为圆心OE为半径作⊙O，
∵OH=OI=OE=12CE，
∴点H、点I都在⊙O上，
∴∠HIE=∠HCE=45°，
∴点H在过点I且与直线BD所交成的锐角为45°的直线上运动，
∴当DH⊥IH时，线段DH的值最小，
如图2，DH⊥IH，则∠DHI=90°，
∵点H、点I都在以CE为直径的圆上，
∴∠HID=180°−∠HIE=∠HCE=45°，
∴DH=ID⋅sin45°= 22ID，
∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=8 3，
∴∠BCD=90°，CD=AB=8，
∴BD= CD2+BC2= 82+(8 3)2=16，
∵∠CID=90°，
∴IDCD=CDBD=cs∠BDC，
∴ID=CD2BD=8216=4，
∴DH= 22×4=2 2，
∴DH的最小值为2 2，
故答案为：2 2．
作CI⊥BD于点I，则∠EIC=90°，由正方形的性质得∠EHC=90°，CH=EH，所以∠HCE=∠HEC=45°，取CE的中点O，连接OH、OI，以点O为圆心OE为半径作⊙O，则点H、点I都在⊙O上，所以∠HIE=∠HCE=45°，可知点H在过点I且与直线BD所交成的锐角为45°的直线上运动，则当DH⊥IH时，线段DH的值最小，此时DH= 22ID，由矩形的性质得∠BCD=90°，CD=AB=8，则BD= CD2+BC2=16，由IDCD=CDBD=cs∠BDC得ID=CD2BD=4，所以DH= 22×4=2 2，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(−12)−1−| 3−2|−(π−2023)0
=−2+ 3−2−1
=−5+ 3．
【解析】先计算零次幂、负整数指数幂和绝对值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
20.【答案】解：x+1x2−2x+1÷(1+2x−1)
=x+1(x−1)2÷x+1x−1
=x+1(x−1)2⋅x−1x+1
=1x−1，
∵x=1+tan60°=1+ 3，
∴原式=11+ 3−1
=1 3
= 33．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再把相应的值代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21.【答案】300 8%
【解析】解：(1)样本容量为：63÷21%=300，
扇形统计图中D项目对应的百分比是1−21%−15%−25%−31%=8%，
故答案为：300，8%；
(2)C组频数：300×25%=75(人)，
补全条形统计图如图所示：

(3)由统计图可得该校参加人数最多的项目是E搭建，
1800×31%=558(人)，
答：该校参加人数最多的项目是E搭建，约有558人参加．
(1)从两个统计图可知A组的有63人，占调查人数的21%，可求出样本容量；根据扇形统计图可得D项目对应的百分比；
(2)求出C组的频数即可补全条形统计图；
(3)根据统计图可得该校参加人数最多的项目是E搭建，利用样本估计总体的方法即可求解．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AB=BC，
∴∠A=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，AE=BF ∠A=∠CBF AB=BC ，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴BE=CF．
【解析】由菱形的性质得出AD//BC，AB=BC，得出∠A=∠CBF，证明△ABE≌△BCF(SAS)，即可得出BE=CF．
本题考查了菱形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)设布袋里红球有x个．
由题意可得：22+1+x=12，
解得x=1，
经检验x=1是原方程的解．
∴布袋里红球有1个．
(2)记两个白球分别为白 1，白 2
画树状图如下：

由图可得，两次摸球共有12种等可能结果，
其中，两次摸到的球都是白球的情况有2种，
∴P(两次摸到的球都是白球)=212=16．
【解析】(1)设布袋里红球有x个，根据白球的概率列方程求解可得；
(2)画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
本题考查了列表法或树状图法求概率．注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图所示：
由题意得：∠CDF=37°，CD=200米，
在Rt△CDF中，sin∠CDF=CFCD=sin37°≈0.60，cs∠CDF=DFCD=cs37°≈0.80，
∴CF≈200×0.60=120(米)，DF≈200×0.80=160(米)，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠B=∠DFB=∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形，
∴BF=DE，BE=DF=160米，
∴AE=AB−BE=300−160=140(米)，
在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE=tan65°≈2.14，
∴DE≈AE×2.14=140×2.14=299.60(米)，
∴BF=DE≈299.60(米)，
∴BC=BF+CF=299.60+120≈420(米)，
答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米．
【解析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，由锐角三角函数定义求出CF≈120(米)，DF≈160(米)，再证四边形BFDE是矩形，得BF=DE，BE=DF=160米，则AE=AB−BE=300−160=140(米)，然后由锐角三角函数定义求出DE≈299.60(米)，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握方向角的定义和锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25.【答案】(1)解：如图：

(2)证明：设OD交AC于M，
∵点D是弧AC的中点，
∴AD=CD，
∵OD经过圆心，
∴OD⊥AC，AM=CM，
∴∠OMC=90°，
∵DE//AC，
∴∠ODE=∠OMC=90°，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
(3)解：∵AB=6，BC=10，∠A=90°，
由勾股定理得AC= BC2−AB2=8，
∵OD⊥AC，点D是弧AC的中点，
∴OD是AC的垂直平分线，
∴OD//AB，
∴OM=12AB=3，AM=12AC=4，∠ABF=∠MDF，
∴DM=5−3=2，
∵∠A=∠FMD=90°，
∴△ABF∽△MDF，
∴MFAF=MDAB，
∴MFAF=26=13，
∴MF=14AM=1，
在Rt△DMF中，DF= MD2+FM2= 22+12= 5．
【解析】(1)作AC的垂直平分线交⊙O于点D，再过D点作OD的垂线即可；
(2)根据垂径定理证得OD⊥AC，AM=CM，然后根据平行线的性质得出∠ODE=∠OMC=90°，即可证得DE是⊙O的切线；
(3)利用勾股定理求得AC=8，由OD是AC的垂直平分线得出OM、AM，进而求得DM，通过证得△ABF∽△MDF，得到MF=14AM=1，进而即可求得DF= 5．
本题考查了作图−复杂作图，垂径定理，切线的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．
26.【答案】解：(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有(30x+7)人，
根据题意得：30x+7=31x−1，
解得x=8，
∴30x+7=30×8+7=247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
(2)师生总数为247+8=255(人)，
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8−m)辆，
根据题意得：35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
(3)设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8−m)辆，
由(2)知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w=400m+320(8−m)=80m+2560，
∵80>0，
∴w随m的增大而增大，
∴m=3时，w取最小值，最小值为80×3+2560=2800(元)，
答：学校租车总费用最少是2800元．
【解析】(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人，可得：30x+7=31x−1，即可解得参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
(2)根据每位老师负责一辆车的组织工作，知一共租8辆车，设租甲型客车m辆，可得：35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000，解得m的范围，解得一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
(3)设学校租车总费用是w元，w=400m+320(8−m)=80m+2560，由一次函数性质得学校租车总费用最少是2800元．
本题考查一元一次方程，一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式．
27.【答案】等腰三角形
【解析】解：(1)结论：△AEC′是等腰三角形．
理由：由旋转变换的性质可知，∠CAD=∠C′AD′，
∵AD′//B//C′，
∴∠AC′E=∠C′AD′，
∴∠CAD=∠EC′A，
∴EA=EC′，
∴△AEC′是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形；
(2)结论：GH=C′F．
理由：如图2中，∵AD//CB，
∴∠EGC=∠EC′A，∠CGE=∠AC′E，
∵∠EAC′=∠EC′A，
∴∠EGC=∠ECG，
∴EG=EC，
∵EA=EC′，
∴AC=C′G=AC′，
∵AD=BC=B′C′，
∴DC′=GB′，
∵BC//AC′，
∴∠DC′F=∠B′GH，
∵∠C′DF=∠GB′H=90°，
∴△C′DF≌△GB′H(ASA)，
∴GH=C′F；
(3)如图3中，过点B′作B′H⊥AD于点H，连接C′N．

在Rt△A′B′C′中，∠A′B′C′=90°.A′B′=6，B′C′=8，
∴A′C′= A′B′2+B′C′2= 62+82=10，
∵S△A′B′C′=12×A′B′×B′C′=12×A′C′×B′H，
∴B′H=6×810=245，
∴A′H= A′B′2−B′H2= 62−(245)2=185，
∴B′H//CD，
∴AHAD=B′HCD，
∴AH8=2456，
∴AH=325，
∴AA′=AH−A′H=145，
∴A′D=AD−AA′=265，
∴DC′=A′C′−A′D=10−265=245，
∵DN=A′D⋅34=3910，A′N=A′D×54=132，
∴ND′=A′D′−A′N=32，
∴S四边形DND′C′=S△DNC′+S△NC′D′=12×245×3910+12×32×6=69350．
(1)结论：△AEC′是等腰三角形．证明∠CAD=∠EC′A，即可解决问题；
(2)结论：GH=C′F.证明△C′DF≌△GB′H(ASA)，可得结论；
(3)如图3中，过点B′作B′H⊥AD于点H，连接C′N.根据S四边形DND′C′=S△DNC′+S△NC′D′，求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了旋转变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28.【答案】5532
【解析】解：(1)∵抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)，
∴12−b+c=08+4b+c=0，
解得：b=−32c=−2，
∴该抛物线的表达式为y=12x2−32x−2；
(2)设AP与BC交于点G，过点P作PK⊥x轴于点K，如图1，
设P(t,12t2−32t−2)，且0
∴PK=−(12t2−32t−2)=−12t2+32t+2，
∵S△PBC−S△APC=(S△PBG+S△PGC)−(S△ACG+S△PGC)
=(S△PBG+S△ABG)−(S△ACG+S△ABG)
=S△ABP−S△ABC，
=12AB⋅(PK−OC)
=12×5(−12t2+32t+2−2)
=−54t2+154t，
而S△PBC−S△APC=2，
∴−54t2+154t=2，
解得：t=15± 6510，
∴P(15− 6510,−145)或(15+ 6510,−145)；
(3)①由B(4,0)、C(0,−2)得，直线BC的表达式为：y=12x−2，
如图2，设PF与x轴的交点为K，P(m,12m2−32m−2)，则F(m,12m−2)，K(m,0)，
∴PK=−12m2+32m+2，AK=m+1，

若EF=EP，则∠EPF=∠EFP=∠BCO，
∴tan∠APK=tan∠BCO=2，
∴AK=2PK，
即m+1=2(−12m2+32m+2)，
解得：m1=−1(舍去)，m2=3，
∴P(3,−2)；
②如图3，过点P作PJ//MH交HN的延长线于点J，设HN交AP于点L，

∵S△MHN=13S△MHQ，
∴MNMQ=13，
∵HN//PB，
∴MLMP=MNMQ=13，
∵PJ//MH，
∴△MLH∽△PLJ，
∴MHPJ=MLMP=13，
∴PJ=3MH，
∵A(−1,0)，B(4,0)，P(3,−2)，
∴直线AP的解析式为y=−12x−12，直线BP的解析式为y=2x−8，
设M(n,−12n−12)，则H(n,12n2−32n−2)，
∴MH=−12n−12−(12n2−32n−2)=−12n2+n+32，
∵HN//PB，
∴直线HN的解析式为y=2x+12n2−72n−2，
当x=3时，y=12n2−72n+4，
∴J(3,12n2−72n+4)，
∴PJ=12n2−72n+4−(−2)=12n2−72n+6，
∴12n2−72n+6=3(−12n2+n+32)，
解得：n1=14，n2=3(舍去)，
∴MH=−12×(14)2+14+32=5532．
故答案为：5532．
(1)运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
(2)设AP与BC交于点G，过点P作PK⊥x轴于点K，设P(t,12t2−32t−2)，且0(3)①利用待定系数法可得直线BC的表达式为：y=12x−2，设PF与x轴的交点为K，P(m,12m2−32m−2)，则F(m,12m−2)，K(m,0)，利用等腰三角形性质和平行线性质可得∠EPF=∠EFP=∠BCO，进而得出tan∠APK=tan∠BCO=2，再运用三角函数定义可得AK=2PK，建立方程求解即可得出答案；
②过点P作PJ//MH交HN的延长线于点J，设HN交AP于点L，由S△MHN=13S△MHQ，可得MNMQ=13，再由HN//PB，可得MLMP=MNMQ=13，再证得△MLH∽△PLJ，可推出PJ=3MH，运用待定系数法可得：直线AP的解析式为y=−12x−12，直线BP的解析式为y=2x−8，直线HN的解析式为y=2x+12n2−72n−2，设M(n,−12n−12)，则H(n,12n2−32n−2)，进而可得MH=−12n2+n+32，PJ=12n2−72n+6，建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求抛物线解析式和一次函数解析式，三角形面积，三角形相似的性质与判定，等腰三角形的性质，锐角三角函数等，解题的关键是掌握二次函数的性质以及方程思想的运用．
甲型客车
乙型客车
载客量(人/辆)
35
30
租金(元/辆)
400
320