青岛市城阳区2022-2023学年七年级上学期期中质量监测数学试题

这是一份青岛市城阳区2022-2023学年七年级上学期期中质量监测数学试题，共21页。试卷主要包含了作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省青岛市城阳区七年级（上）期中数学试卷
一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请将1-8各小题所选答案的标号涂写在答题纸规定的位置.
1．﹣的相反数是（　　）
A．8 B．﹣8 C． D．﹣
2．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．5×1010千克 B．0.5×1011千克
C．5×1012千克 D．5×109千克
3．下列各题运算正确的是（　　）
A．9a2b﹣9ba2＝0 B．3x+3y＝6xy
C．x+x＝x2 D．﹣9y2+16y2＝7
4．某商品进价a元，商店将价格提高30%作零售价销售，在销售旺季过后，商店以8折的价格开展促销活动，这时一件商品的售价为（　　）
A．a元 B．1.04a元 C．0.8a元 D．0.92a元
5．若2m2+3m+7的值为8，则4m2+6m﹣10的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣18 C．2 D．9
6．（|k|﹣2）x3﹣（k﹣2）x2+7是关于x的二次多项式，则k的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．±2
7．若|a﹣4|+（b﹣3）2＝0，则（b﹣a）2023的值是（　　）
A．2023 B．1 C．﹣1 D．0
8．观察下列单项式：﹣a2b，a3b2，﹣a4b3，a5b4，…，第2023个单项式是（　　）
A．a2024b2023
B．﹣a2024b2023
C．（1﹣）a2024b2023
D．（﹣1）a2024b2023
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请将9-16各小题的答案填写在答题纸规定的位置.
9．的倒数是　 　．
10．一个由小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，这个几何体是由　 　个小立方块搭成的．

11．若﹣5x4ym与2x2ny3相加的结果仍然是单项式，则nm＝　 　．
12．如图，将图沿虚线折起来，得到一个正方体，那么“我“的对面是 　 　（填汉字）．

13．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是 　 　．

14．某公园门票价格是：成人票每张15元，学生票每张8元，一个旅游团队有成人x人，学生y人，则该旅游团应付门票 　 　元．
15．如图，一块长为为acm，宽为bcm的矩形硬纸板，在其四个角各剪去1个边长为2cm的正方形，然后将四周的部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，则所得长方体盒子的侧面积为 　 　（用含a，b代数式表示）．

16．如图，一个正方体的六个面分别写着六个连续的整数，且相对面上的两个整数的和都相等，将这个正方体放在桌面，将其以如图所示的方式滚动，每滚动90°算一次，请问滚动2022次后，正方体贴在桌面一面的数字是 　 　．


三、作图题（本题满分6分）
17．（6分）已知：如图是由若干块小正方体积木堆成的实体，请分别画出从正面、左面、上面你所看到的几何体的形状图．

四、解答题（本题共有8道小题，满分66分）
18．（16分）计算：
（1）25﹣17﹣（﹣5）+（﹣23）；
（2）（﹣1.5）+4+2.75+（﹣5）；
（3）（﹣+）×（﹣60）；
（4）（﹣2）3×7﹣6²÷（﹣3）×．
19．（8分）化简：
（1）a﹣3a﹣5b﹣5a+3b；
（2）5（a2b﹣2ab2）﹣2（a2b﹣5ab2）．
20．（5分）化简求值：x﹣2（x﹣y2）+（﹣+y2），其中x＝﹣2，y＝．
21．（5分）请把下列各数表示在数轴上，并用“＜”将原数连接起来．
3，﹣2，﹣|﹣2|，0，﹣12，（﹣2）²．
22．（6分）如图，某小区长方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，长方形长为m米，宽为n米，
（1）请用代数式表示空地的面积；（结果保留π）
（2）若长方形长为40米，宽为30米，圆形的半径为10米，求广场空地的面积（π≈3.14）．

23．（8分）受疫情影响，很多地方存在农产品销售难的情况，胶州大白菜以汁白、味鲜甜、纤维少、营养丰富、产量高等特点而驰名中外．胶州市民小宋响应政府“同心抗疫、爱心助农”的直播活动，将自己家的胶州大白菜放到网上直播销售．计划每天销售100千克，但每天实际销售量与计划销售量相比有出入．若超过计划销售量记为正，不足计划销售量记为负．下表是小宋第一周白菜的销售情况：
星期
一
二
三
四
五
六
日
白菜销售超过或不足计划量情况
（单位：千克）
+6
﹣5
+10
﹣7
﹣3
+16
+18
（1）小宋第一周销售白菜最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小宋第一周白菜的平均每天销量是多少千克？
（3）若小宋按3.2元/千克进行白菜销售，白菜的种植成本和运费等为2元/千克，则小宋第一周销售白菜获利多少元？
24．（8分）小强有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
﹣4
﹣6
0
+3
+4
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，如何抽取？最大值是多少？
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？
（3）从中取出2张卡片，利用这2张卡片上数字进行某种运算，得到一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？
（4）从中取出4涨卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子（一种即可）．
25．（10分）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了：借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．
化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题：计算（其中n是正整数，且n≥2，）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．

根据第n次分割图可得等式：＝1﹣．
探究二；计算．
第1次分割，把正方形的面积三等分．其中阴影部分的面积为；
第2次分割．把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……．
第n次分制，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，阴影部分的面积之和．
最后空白部分的面积是．

根据第n次分割图可得等式：＝1﹣．
两边同除以2，得：＝﹣．
探究三：计算．
（仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
解决问题：计算．
（在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）．
（1）根据第n次分割图可得等式：　 　；
（2）所以，＝　 　；
（3）拓广应用：计算＝　 　．





2022-2023学年山东省青岛市城阳区七年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请将1-8各小题所选答案的标号涂写在答题纸规定的位置.
1．﹣的相反数是（　　）
A．8 B．﹣8 C． D．﹣
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：C．
2．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．5×1010千克 B．0.5×1011千克
C．5×1012千克 D．5×109千克
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：500亿＝50000000000＝5×1010．
故选：A．
3．下列各题运算正确的是（　　）
A．9a2b﹣9ba2＝0 B．3x+3y＝6xy
C．x+x＝x2 D．﹣9y2+16y2＝7
【分析】运用整式的加减性质运算，找出同类项，只有所含字母相同，且相同字母的次数相同，才是同类项，合并同类项时，只进行同类项系数的加减运算，字母的次数不发生任何变化，即可求出．
【解答】解：A、9a2b﹣9ba2＝（9﹣9）a2b＝0，故本选项正确；
B、3x+3y，3x与3y不是同类项，无法合并，故本选项错误；
C、x+x＝2x，故本选项错误；
D、﹣9y2+16y2＝（﹣9+16）y2＝﹣7y2，故本选项错误；
故选：A．
4．某商品进价a元，商店将价格提高30%作零售价销售，在销售旺季过后，商店以8折的价格开展促销活动，这时一件商品的售价为（　　）
A．a元 B．1.04a元 C．0.8a元 D．0.92a元
【分析】此题的等量关系：进价×（1+提高率）×打折数＝售价，代入计算即可．
【解答】解：根据题意商品的售价是：a（1+30%）×80%＝1.04a元．
故选：B．
5．若2m2+3m+7的值为8，则4m2+6m﹣10的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣18 C．2 D．9
【分析】由题意可得2m2+3m＝1，再将4m2+6m﹣10化成2（2m2+3m）﹣10，然后整体代入计算即可．
【解答】解：∵2m2+3m+7的值为8，即2m2+3m+7＝8，
∴2m2+3m＝1，
∴4m2+6m﹣10
＝2（2m2+3m）﹣10
＝2×1﹣10
＝﹣8，
故选：A．
6．（|k|﹣2）x3﹣（k﹣2）x2+7是关于x的二次多项式，则k的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．±2
【分析】根据多项式的次数的定义来解题．要先找到题中的等量关系，然后列出方程求解．
【解答】解：∵（|k|﹣2）x3﹣（k﹣2）x2+7是关于x的二次多项式，
∴不含x3项，即|k|﹣2＝0且k﹣2≠0，
解得：k＝﹣2；
故k的值是﹣2．
故选：B．
7．若|a﹣4|+（b﹣3）2＝0，则（b﹣a）2023的值是（　　）
A．2023 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】根据绝对值，偶次方的非负性，求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵|a﹣4|+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，
解得a＝4，b＝3，
∴（b﹣a）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1，
故选：C．
8．观察下列单项式：﹣a2b，a3b2，﹣a4b3，a5b4，…，第2023个单项式是（　　）
A．a2024b2023
B．﹣a2024b2023
C．（1﹣）a2024b2023
D．（﹣1）a2024b2023
【分析】根据所给的单项式可得第n个单项式为（﹣1）nan+1bn，再令n＝2023进行求解即可．
【解答】解：∵﹣a2b，a3b2，﹣a4b3，a5b4，…，
∴第n个单项式为（﹣1）nan+1bn，
∴第2023个单项式为：﹣a2024b2023，
故选：D．
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请将9-16各小题的答案填写在答题纸规定的位置.
9．的倒数是　　．
【分析】根据两个数的积为1，则两个数互为倒数，因此求一个数的倒数就是用1除以这个数求上即是．
【解答】解：1÷（﹣）＝﹣．
故答案为：﹣．
10．一个由小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，这个几何体是由　5　个小立方块搭成的．

【分析】从俯视图中可以看出最底层小立方块的个数及形状，从主视图可以看出每一层小立方块的层数和个数，从左视图可看出每一行小立方块的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：由俯视图易得最底层小立方块的个数为4，由其他视图可知第二层有一个小立方块，那么共有4+1＝5个小立方块．
故答案为：5．
11．若﹣5x4ym与2x2ny3相加的结果仍然是单项式，则nm＝　8　．
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同即可求解．
【解答】解：∵﹣5x4ym与2x2ny3相加的结果仍然是单项式，
∴﹣5x4ym与2x2ny3是同类项，
∴2n＝4，m＝3，
∴n＝2，
∴nm＝23＝8，
故答案为：8．
12．如图，将图沿虚线折起来，得到一个正方体，那么“我“的对面是 　大　（填汉字）．

【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：正方体的展开图中“我”面与“大”面是对面，“爱”面与“祖”面是对面，“伟”面与“国”面是对面，
故答案为：大．
13．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是 　﹣10　．

【分析】把﹣2按照如图中的程序计算后，若＜﹣5则结束，若不是则把此时的结果再进行计算，直到结果＜﹣5为止．
【解答】解：根据题意可知，（﹣2）×3﹣（﹣2）＝﹣6+2＝﹣4＞﹣5，
所以再把﹣4代入计算：（﹣4）×3﹣（﹣2）＝﹣12+2＝﹣10＜﹣5，
即﹣10为最后结果．
故本题答案为：﹣10．
14．某公园门票价格是：成人票每张15元，学生票每张8元，一个旅游团队有成人x人，学生y人，则该旅游团应付门票 　（15x+8y）　元．
【分析】用成人票价加学生票价即为应付门票．
【解答】解：根据题意得：该旅游团应付门票为（15x+8y）元，
故答案为：（15x+8y）．
15．如图，一块长为为acm，宽为bcm的矩形硬纸板，在其四个角各剪去1个边长为2cm的正方形，然后将四周的部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，则所得长方体盒子的侧面积为 　（4a+4b﹣32）cm2　（用含a，b代数式表示）．

【分析】侧面积等于四个小长方形的面积的和．
【解答】解：2×（a﹣4）×2+2×（b﹣4）×2＝4a﹣16+4b﹣16＝4a+4b﹣32（cm2），
∴所得长方体盒子的侧面积为（4a+4b﹣32）cm2．
故答案为：（4a+4b﹣32）cm2．
16．如图，一个正方体的六个面分别写着六个连续的整数，且相对面上的两个整数的和都相等，将这个正方体放在桌面，将其以如图所示的方式滚动，每滚动90°算一次，请问滚动2022次后，正方体贴在桌面一面的数字是 　7　．


【分析】先找出正方体相对的面，然后从数字找规律即可解答．
【解答】解：由图可知：
10和9相对，7和12相对，8和11相对，
将正方体沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，正方体朝下一面的点数依次为10，7，9，12，且依次循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是：7，
故答案为：7．
三、作图题（本题满分6分）
17．（6分）已知：如图是由若干块小正方体积木堆成的实体，请分别画出从正面、左面、上面你所看到的几何体的形状图．

【分析】根据解答组合体的三视图的画法画出相应的图形即可．
【解答】解：这个组合体从正面、左面、上面看所得到的形状如下：

四、解答题（本题共有8道小题，满分66分）
18．（16分）计算：
（1）25﹣17﹣（﹣5）+（﹣23）；
（2）（﹣1.5）+4+2.75+（﹣5）；
（3）（﹣+）×（﹣60）；
（4）（﹣2）3×7﹣6²÷（﹣3）×．
【分析】（1）减法转化为加法，再进一步计算即可；
（2）利用加法的运算律计算即可；
（3）利用乘法分配律展开，再进一步计算即可；
（4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加法即可．
【解答】解：（1）原式＝25﹣17+5﹣23
＝﹣10；
（2）原式＝﹣1.5+4.25+2.75﹣5.5
＝﹣7+7
＝0；
（3）原式＝×（﹣60）﹣×（﹣60）+×（﹣60）
＝﹣40+5﹣16
＝﹣51；
（4）（﹣2）3×7﹣62÷（﹣3）×
＝﹣8×7﹣36×（﹣）×
＝﹣56+9
＝﹣47．
19．（8分）化简：
（1）a﹣3a﹣5b﹣5a+3b；
（2）5（a2b﹣2ab2）﹣2（a2b﹣5ab2）．
【分析】（1）根据合并同类项法则即可求出答案．
（2）根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝a﹣3a﹣5a+3b﹣5b
＝﹣7a﹣2b．
（2）原式＝5a2b﹣10ab2﹣2a2b+10ab2
＝5a2b﹣2a2b﹣10ab2+10ab2
＝3a2b．
20．（5分）化简求值：x﹣2（x﹣y2）+（﹣+y2），其中x＝﹣2，y＝．
【分析】应用整式的加减﹣化简求值的计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝x﹣2x+y2﹣+y2
＝（）x+（）y2﹣
＝﹣x+y2﹣，
当x＝﹣2，y＝，
原式＝+（﹣）2﹣＝．
21．（5分）请把下列各数表示在数轴上，并用“＜”将原数连接起来．
3，﹣2，﹣|﹣2|，0，﹣12，（﹣2）²．
【分析】先在数轴上表示出各个数，再比较即可．
【解答】解：﹣|﹣2|＝﹣2，﹣12＝﹣1，（﹣2）²＝4，
如图所示：

∴．
22．（6分）如图，某小区长方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，长方形长为m米，宽为n米，
（1）请用代数式表示空地的面积；（结果保留π）
（2）若长方形长为40米，宽为30米，圆形的半径为10米，求广场空地的面积（π≈3.14）．

【分析】（1）长方形的面积减去一个圆的面积就是空地的面积；
（2）把m、n、r的值代入，即可求出答案．
【解答】解：（1）空地的面积是（mn﹣πr2）平方米；
（2）当m＝40，n＝30，r＝10时，
mn﹣πr2≈40×30﹣3.14×102＝1200﹣314＝886（平方米），
∴广场空地的面积约是886平方米．
23．（8分）受疫情影响，很多地方存在农产品销售难的情况，胶州大白菜以汁白、味鲜甜、纤维少、营养丰富、产量高等特点而驰名中外．胶州市民小宋响应政府“同心抗疫、爱心助农”的直播活动，将自己家的胶州大白菜放到网上直播销售．计划每天销售100千克，但每天实际销售量与计划销售量相比有出入．若超过计划销售量记为正，不足计划销售量记为负．下表是小宋第一周白菜的销售情况：
星期
一
二
三
四
五
六
日
白菜销售超过或不足计划量情况
（单位：千克）
+6
﹣5
+10
﹣7
﹣3
+16
+18
（1）小宋第一周销售白菜最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小宋第一周白菜的平均每天销量是多少千克？
（3）若小宋按3.2元/千克进行白菜销售，白菜的种植成本和运费等为2元/千克，则小宋第一周销售白菜获利多少元？
【分析】（1）根据题意可知，销售最多的是星期日，最少的是星期四，可列式（+18）﹣（﹣7）进行计算即可得出答案；
（2）先计算出第一周销售平均每天超过或不足计划量的值，[（+6）+（﹣5）+（+10）+（﹣7）+（﹣3）+（+16）+（+18）]÷7，再加上100即可得出答案；
（3）先算出这一周生产的总量，再乘以利润即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
（+18）﹣（﹣7）＝+25，
小宋第一周销售白菜最多的一天比最少的一天多销售25千克；
（2）[（+6）+（﹣5）+（+10）+（﹣7）+（﹣3）+（+16）+（+18）]÷7＝5，
100+5＝105（千克），
小宋第一周白菜的平均每天销量是105千克；
（3）根据题意可得，
105×7×（3.2﹣2）＝882（元）．
小宋第一周销售白菜获利882元．
24．（8分）小强有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
﹣4
﹣6
0
+3
+4
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，如何抽取？最大值是多少？
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？
（3）从中取出2张卡片，利用这2张卡片上数字进行某种运算，得到一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？
（4）从中取出4涨卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子（一种即可）．
【分析】（1）要使2张卡片的乘积最大，则取同号的两张卡片，且其绝对值最大的两张，据此可求解；
（2）要使2张卡片的商最小，则取异号的两张卡片，且分子的绝对值最大，分母的绝对值最小，据此可求解
（3）进行乘方的运算可使相应的值最大，可选取﹣6与4，据此可求解；
（4）利用有理数的相应的运算进行求解，符合题意即可．
【解答】解：（1）抽取﹣4与﹣6，则其乘积为：﹣4×（﹣6）＝24；
（2）抽取﹣6与3，则其商为：﹣6÷3＝﹣2；
（3）抽取﹣6与4，则有：（﹣6）4＝1296；
（4）（﹣4）×（﹣6）×（4﹣3）＝24；
（﹣6）×4×（﹣4+3）＝24；
[﹣4﹣（﹣6）]×3×4＝24；
3×（﹣4）×（﹣6+4）＝24．
25．（10分）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了：借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．
化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题：计算（其中n是正整数，且n≥2，）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．

根据第n次分割图可得等式：＝1﹣．
探究二；计算．
第1次分割，把正方形的面积三等分．其中阴影部分的面积为；
第2次分割．把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……．
第n次分制，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，阴影部分的面积之和．
最后空白部分的面积是．

根据第n次分割图可得等式：＝1﹣．
两边同除以2，得：＝﹣．
探究三：计算．
（仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
解决问题：计算．
（在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）．
（1）根据第n次分割图可得等式：　+++……+＝1﹣　；
（2）所以，＝　﹣　；
（3）拓广应用：计算＝　n+﹣　．




【分析】（1）数形结合，根据第n次分割列出等式；
（2）等式两边同时除以8，可得其值；
（3）将每个分数分子裂开变形，再进行运算．
【解答】解：如下图所示：

（1）由图②可得等式，
+++……+＝1﹣，
故答案为：+++……+＝1﹣；
（2）+++……+＝1﹣，
等式两边同时除以8，得：+++...+＝﹣，
故答案为：﹣；
（3）
＝1﹣+1﹣+1﹣+...+1﹣
＝（1+1+1+...+1）+（+++...+）
＝n+﹣，
故答案为：n+﹣．