江西省鹰潭市2023届高三第二次模拟考试数学（理科）试卷

江西省鹰潭市2023届高三第二次模拟考试

数学试题（理科）

（考试总分：150 分 考试时长：  120  分钟）

一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）

1.（5分）如图,两个区域分别对应集合,其中.则阴影部分表示的集合(    )

A. B. C. D.

2.（5分）若复数满足(是虚数单位),的共轭复数是,则的模是(    )

A. B.4044 C.2 D.0

3.（5分）下列命题中错误的是(    )

A.命题“”的否定是“”

B.命题“若,则”的否命题为“若,则”

C.“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件

D.若“或"为假命题,则均为假命题

4.（5分）已知执行如图所示的程序框图,输出的值为(    )

A.2 B. C. D.1

5.（5分）若,则下列结论正确的为(    )

A. B. C. D.

6.（5分）已知等差数列满足,则可能取的值是(    )

A. B. C. D.

7.（5分）《周髀算经》中记载了一种远距离测量的估算方法叫做“寸影千里”法,其具体方法是在同一天(如夏至)的正午,于两地分别竖起同高的标杆,然后测量标杆的影长,并根据“日影差一寸,实地相距千里”的原则推算两地距离.如图,某人在夏至的正午分别在同一水平面上的两地竖起高度均为寸的标杆与与分别为标杆与在地面的影长,再按影长与的差结合“寸影千里”来推算两地的距离.记,则按照“才影千里”的原则,两地的距离大约为(    )里.

A. B. C. D.

8.（5分）已知直线和圆满足对直线上任意一点,在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是(    )

A. B. C. D.

9.（5分）已知直线经过椭圆的左焦点,且直线与轴交于点,与椭圆在第一象限内交于点.若,则椭圆的离心率是(    )

A. B. C. D.

10.（5分）已知函数的图象如图所示,图象与轴的交点为,与轴的交点为,最高点,且满足.若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为,则(    )

A. B.0 C. D.

11.（5分）如图,在棱长为2的正四面体中,点分别为和的重心,为线段上一点，(    )

A.的最小为2

B.若平面,则

C.若平面,则三棱锥外接球的表面积为

D.若为线段的中点,且,则

12.（5分）已知二进制和十进制可以相互转化,例如,则十进制85转化二进制位.若将正整数对应的二进制中0的个数记为,例如,则,则下列结论正确的为(    )

A. B.

C. D.

二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）

13.（5分）在二项式的展开式中,常数项为________.

14.（5分）冬奥会设有冬季两项、雪车、冰显、雪橇,滑冰,滑雪、冰球7个大项，现有甲、乙、丙三名志愿者,设表示事件为“甲不是雪车项目的志愿者,乙不是雪橇项目的志愿者”,表示事件为“甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者”,则________.

15.（5分）已知直线,定点是直线上的动点,若经过点的圆与直线相切,则这个圆的面积的最小值为________.

16.（5分）在中,为的中点,则的最大值为________.

三、 解答题 （本题共计7小题，总分80分）

17.（12分）记为数列的前项的和,已知是公差为的等差数列.

(1)求数列的通项公式;

(2)令,记数列的前项和为,试求除以3的余数.

18.（12分）某篮球队为提高队员训练的积极性,进行小组投篮游戏;每个小组由两名队员组成,队员甲与队员乙组成一个小组.游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次,每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”,已知甲乙两名队员投进篮球的概率分别为.

(1)若,求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率;

(2)已知,则:

①取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大?并求出此时的最大概率;

②在第①问的前提下,若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号,则他们平均要进行多少轮游戏.

19.（12分）如图,在三棱柱中,是边长为2的正三角形,顶点在底面的投影为的中点,已知与底面内所有直线所成角中的最小值为为棱上一点.

(1)求三棱锥的体积;

(2)若,求二面角大小的正弦值.

20.（12分）已知双曲线过点,且渐近线方程为.

(1)求双曲线的方程;

(2)如图,过点的直线交双曲线于点、.直线、分别交直线于点、,求

21.（12分）已知函数.

(1)判断的单调性;

(2)若有唯一零点,求的取值范围.

22.（10分）在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.

(1)写出曲线的参数方程;

(2)设是曲线上的动点,是曲线上的动点,求之间距离的最大值.

23.（10分）已知.

(1)证明:;

(2)证明：.

答案

一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）

1.（5分）【答案】D

2.（5分）【答案】B

3.（5分）【答案】C

4.（5分）【答案】B

5.（5分）【答案】A

6.（5分）【答案】A

7.（5分）【答案】C

8.（5分）【答案】B

9.（5分）【答案】C

10.（5分）【答案】A

11.（5分）【答案】D

12.（5分）【答案】C

二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）

13.（5分）【答案】240

14.（5分）【答案】

15.（5分）【答案】

16.（5分）【答案】

三、 解答题 （本题共计7小题，总分80分）

17.（12分）(1)由是公差为的等差数列,且,

则

即,当时,,

两式相减可得:,即,

因为满足上式，所以数列的通项公式为

(2)由(1)可得,所以,

又,因为均为正整数,所以存在正整数使得,故,所以除以3的余数为2

18.（12分）(1)每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”,则可能的情况有①甲投中一次,乙投中两次;②甲投中两次,乙投中一次;③甲投中两次,乙投中两次,∵他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率为

(2)①由题意得他们在一轮游戏获得“神投小组”称号

的概率,

,

又,则,

令,则,

∵在上单调递增,则,此时

②他们小组在轮游戏中获得“神投小组”称号的次数满足,

∵,则平均要进行625轮游戏.

19.（12分）(1)因为在三棱柱中,为在底面投影,所以面面

又因为为中点,所以,所以.

因为与底面内所有直线所成角中的最小值为,且面,

所以,

所以.

(2)以为原点,为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

可得,

又因为,所以,

所以.

设为平面的一个法向量,则即

令,则;设为平面的一个法向量，则即,令,则.

所以.

所以二面角的正弦值为.

20.（12分）(1)双曲线的方程为.

(2)由双曲线的方程为的方程可得,

由题意可得点,则有:当直线与轴垂直时，则,

可得直线,令,则,即点,

同理可得：点,故,即；

当直线不与轴垂直时,设直线,

联立方程,消去得,

则,

可得直线,

令,则,

即点,同理可得:.

∵

即点关于轴对称,故,即;综上所述:的值为1.

21.（12分）(1)定义域为,

记,当时,;当时,,∴在上单调递减,在上单调递增,

故在上单调递增.

(2)定义域为,

①当时,有唯一零点,符合题意;

②当时,,当时,在单调递减;

当时,在单调递增,故,

若,则无零点,不符题意;

若有唯一零点,符合题意;

若,则,又,

时,,,

故在内各有一个零点,函数有两个零点,不符题意;

③当时,当时,,当时,,

则在上单调递增,在上单调递减,

又，

时,令,令,即在单调递增,故,

故在单调递增,则,

所以,故,则,

故此时在上有唯一零点,符合题意;综上,的取值范围为.

22.（10分）(1)根据曲线的极坐标方程为可得,

,即,所以曲线的直角坐标方程为;

根据圆锥曲线参数方程定义可得,曲线的参数方程为,(为参数).

(2)由曲线的极坐标方程为可得,

曲线的直角坐标方程为,其圆心,半径：由题意可得设,

易知之间距离的最大值为点到圆心的距离的最大值再加上半径,

即,

由二次函数性质可知,当时,;

所以A,B之间距离的最大值为.

23.（10分）(1)由,得,

又,所以,当且仅当时等号成立,

而

,

当且仅当时等号成立.故.

(2),

当且仅当时等号成立.故.