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2024年新高考数学第一轮复习课件：第51讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
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这是一份2024年新高考数学第一轮复习课件：第51讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式，共39页。PPT课件主要包含了激活思维，基础回归，PAPB，贝叶斯公式，研题型·融会贯通，举题说法，随堂内化，ABD等内容，欢迎下载使用。
1. (人A 选必三P48练习1)设A⊆B，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，则P(B|A)＝______，P(A|B)＝______.
2. (人A 选必三P52习题3)甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为____________.
3. (人A 选必三P52练习4)甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出1个球；如果点数为3,4,5,6，从乙箱中随机摸出1个球. 则摸到红球的概率是________.
4. 在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD，Dd，dd，其中D为显性基因，d为隐性基因，且这三种基因型的比为1∶2∶1.如果在子二代中任意选取2颗豌豆作为父本杂交，那么子三代中基因型为dd的概率是______.
1. 相互独立事件(1) 概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝_________________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
P(A)·P(B|A)
3. 全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有__________________________，我们称上面的公式为全概率公式．
例1 (2022·滨州模拟)(多选)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛．某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A＝“第1次抽到选择题”，事件B＝“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
(2022·石家庄模拟)某地暴发疾病，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为( )
例2 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．事件甲＝“第一次取出的球的数字是1”，事件乙＝“第二次取出的球的数字是2”，事件丙＝“两次取出的球的数字之和是8”，事件丁＝“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
求相互独立事件同时发生的概率的方法：(1) 相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积. (2) 当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
(2023·湖北联盟期初)(多选)某不透明的袋子中装有5个质地、大小均相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，事件A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“第二次取出的球的数字是2”，事件C＝“两次取出的球的数字之和是7”，事件D＝“两次取出的球的数字之和是6”，则( )A. A与C相互独立 B. B与D相互独立C. A与D相互独立 D. B与C相互独立
【解析】 袋中5个球，有放回地随机取两次，每次取1个，样本空间Ω＝{(x，y)|1≤x≤5,1≤y≤5，x∈N，y∈N}，样本点个数为25.
例3 (1) 某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是( )A. 0.155 B. 0.175 C. 0.016 D. 0.096
【解析】 设事件B1＝“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2＝“被保险人是‘一般的’”，事件B3＝“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%.设事件A＝“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30.
(2) 人们为了解一只股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该只股票将上涨的概率为____________.
利用全概率公式的思路：(1) 按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；(2) 求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；(3) 代入全概率公式计算．
(1) 某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确的概率为0.5，知道正确时，答对的概率为100%，而不知道正确时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为( )A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0
(2) 葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地．山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列．其中亚腰葫芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实20～80个.2021年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为__________________.
【解析】 设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设事件B＝“从这批种子中任选一颗，所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实”，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.
例4 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志．(1) 在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
【解答】 设事件A＝“在仓库中随机取一只元件，它是次品”，事件Bi(i＝1,2,3)＝“所取到的产品是由第i家工厂提供”，则由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.012 5.
(2) 在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自三家工厂的概率．
1. 一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为( )A. 1 B. 0.629 C. 0 D. 0.74或0.85
点击对应数字即可跳转到对应题目
【解析】 由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，所以甲、乙两根保险丝都熔断的概率为0.85×0.74＝0.629.
3. 已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02,0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为( )
5. 某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2,0.4,0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率是_________.如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是______.
【解析】 设事件A＝“乘火车”，事件B＝“乘轮船”，事件C＝“乘飞机”，事件D＝“迟到”，则P(A)＝0.2，P(D|A)＝0.5，P(B)＝0.4，P(D|B)＝0.2，P(C)＝0.4，P(D|C)＝0.由全概率公式，得这个人迟到的概率为P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.2×0.5＋0.4×0.2＋0.4×0＝0.18.
1. (人A 选必三P48练习1)设A⊆B，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，则P(B|A)＝______，P(A|B)＝______.
2. (人A 选必三P52习题3)甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为____________.
3. (人A 选必三P52练习4)甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出1个球；如果点数为3,4,5,6，从乙箱中随机摸出1个球. 则摸到红球的概率是________.
4. 在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD，Dd，dd，其中D为显性基因，d为隐性基因，且这三种基因型的比为1∶2∶1.如果在子二代中任意选取2颗豌豆作为父本杂交，那么子三代中基因型为dd的概率是______.
1. 相互独立事件(1) 概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝_________________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
P(A)·P(B|A)
3. 全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有__________________________，我们称上面的公式为全概率公式．
例1 (2022·滨州模拟)(多选)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛．某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A＝“第1次抽到选择题”，事件B＝“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
(2022·石家庄模拟)某地暴发疾病，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为( )
例2 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．事件甲＝“第一次取出的球的数字是1”，事件乙＝“第二次取出的球的数字是2”，事件丙＝“两次取出的球的数字之和是8”，事件丁＝“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
求相互独立事件同时发生的概率的方法：(1) 相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积. (2) 当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
(2023·湖北联盟期初)(多选)某不透明的袋子中装有5个质地、大小均相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，事件A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“第二次取出的球的数字是2”，事件C＝“两次取出的球的数字之和是7”，事件D＝“两次取出的球的数字之和是6”，则( )A. A与C相互独立 B. B与D相互独立C. A与D相互独立 D. B与C相互独立
【解析】 袋中5个球，有放回地随机取两次，每次取1个，样本空间Ω＝{(x，y)|1≤x≤5,1≤y≤5，x∈N，y∈N}，样本点个数为25.
例3 (1) 某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是( )A. 0.155 B. 0.175 C. 0.016 D. 0.096
【解析】 设事件B1＝“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2＝“被保险人是‘一般的’”，事件B3＝“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%.设事件A＝“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30.
(2) 人们为了解一只股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该只股票将上涨的概率为____________.
利用全概率公式的思路：(1) 按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；(2) 求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；(3) 代入全概率公式计算．
(1) 某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确的概率为0.5，知道正确时，答对的概率为100%，而不知道正确时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为( )A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0
(2) 葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地．山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列．其中亚腰葫芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实20～80个.2021年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为__________________.
【解析】 设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设事件B＝“从这批种子中任选一颗，所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实”，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.
例4 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志．(1) 在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
【解答】 设事件A＝“在仓库中随机取一只元件，它是次品”，事件Bi(i＝1,2,3)＝“所取到的产品是由第i家工厂提供”，则由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.012 5.
(2) 在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自三家工厂的概率．
1. 一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为( )A. 1 B. 0.629 C. 0 D. 0.74或0.85
点击对应数字即可跳转到对应题目
【解析】 由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，所以甲、乙两根保险丝都熔断的概率为0.85×0.74＝0.629.
3. 已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02,0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为( )
5. 某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2,0.4,0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率是_________.如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是______.
【解析】 设事件A＝“乘火车”，事件B＝“乘轮船”，事件C＝“乘飞机”，事件D＝“迟到”，则P(A)＝0.2，P(D|A)＝0.5，P(B)＝0.4，P(D|B)＝0.2，P(C)＝0.4，P(D|C)＝0.由全概率公式，得这个人迟到的概率为P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.2×0.5＋0.4×0.2＋0.4×0＝0.18.
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