2022-2023学年河南省南阳市油田八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市油田八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列代数式中，是分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是(    )

A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量四边形其中的三个角是否都为直角

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  反比例函数为常数，的图象位于(    )

A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限

6.  某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋双，对这批鞋子尺码及销量进行统计，得到条形统计图如图根据图中信息，建议下次进货量最多的女鞋尺码是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，两盏灯笼的位置，的坐标分别是，，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，则关于点，的位置描述正确的是(    )

A. 关于轴对称 B. 关于轴对称
C. 关于原点对称 D. 关于直线对称

8.  如图，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家小亮离家距离与时间之间的关系如图所示下列结论错误的是(    )

 

A. 小亮从家到羽毛球馆用了分钟
B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米
C. 报亭到小亮家的距离是米
D. 小亮打羽毛球的时间是分钟

9.  如图，直线为常数，与，轴分别交于点，，则的值是(    )

A.
B.
C.
D. 无法确定

10.  如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数单位：与铁块被提起的时间单位：之间的函数关系的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  写出一个随的增大而减小的正比例函数的表达式______．

12.  若点，都在反比例函数的图象上，则 ______ 填“”或“”．

13.  某商场销售，，，四种商品，它们的单价依次是元，元，元，元某天这四种商品销售数量的百分比如图，则这天销售的四种商品的平均单价是______ 元

14.  如图，在直角坐标系中，为坐标原点，函数与在第一象限的图象分别为曲线，，点为曲线上的任意一点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点，作轴的垂线交于点，则的面积是______ ．

15.  如图，在菱形中，，，分别在边，上，，将沿折叠，点落在的延长线上的点处，则的度数为           ．

三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
化简：．

17.  本小题分
小丁和小迪分别解方程过程如下：

你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请在框内打“”，并写出你的解答过程．

18.  本小题分
为了解，两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了、两款智能玩具飞机各架，记录下它们运行的最长时间分钟，并对数据进行整理、描述和分析运行最长时间用表示，共分为三组：合格，中等，优等，下面给出了部分信息：
款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间是：
，，，，，，，，，．
款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：
，，，，．
两款智能玩具飞机运行最长时间统计表

根据以上信息，解答下列问题：
求，，的值；
根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由写出一条理由即可．

19.  本小题分
如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．
求一次函数和反比例函数的解析式．
点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．

20.  本小题分
如图，为矩形对角线的交点，，．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．

21.  本小题分
学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论请根据她的思路完成以下任务：
如图，四边形是平行四边形，是对角线，请用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点只保留作图痕迹
请利用你完成的中的图形，求证：；
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线______ ．

22.  本小题分
端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同．
甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
该超市计划购进这两种粽子共个两种都有，其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元个、元个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元．
求与的函数关系式，并求出的取值范围；
超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？

23.  本小题分
如图，是边长为的等边三角形，动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动设运动时间为秒，点，的距离为．
请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
结合函数图象，写出点，相距个单位长度时的值．

 

24.  本小题分
已知四边形和均为正方形．
观察猜想
如图，当点，，三点在一条直线上时，连结，，则线段与的数量关系是______，位置关系是______．
类比探究
如图，将正方形在平面内绕点逆时针旋转到图时，则的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
拓展延伸
在的条件下，将正方形在平面内绕点任意旋转，若，，则的最大值为______，最小值为______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该代数式是整式，故此选项不符合题意；
B、该代数式是整式，故此选项不符合题意；
C、该代数式是分式，故此选项符合题意；
D、该代数式是整式，故此选项不符合题意．
故选：．
根据分式的定义解答即可．分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：；
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选：．
矩形的判定定理有：
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
本题考查的是矩形的判定定理，解题的关键是牢记这些定理，属于基础概念题，比较简单．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据零指数幂判断，选项；根据负整数指数幂判断，选项．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，掌握，是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：为常数，，
，
反比例函数为常数，的图象位于第一、三象限，
故选：．
首先判断比例系数的符号，然后根据其性质确定其图象所处的位置即可．
本题主要考查了反比例函数的图象：
时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内随的增大而减小；
时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内随的增大而增大
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可知，销量最多的是，
所以建议下次进货量最多的女鞋尺码是．
故选：．
利用众数的意义得出答案．
此题主要考查了条形统计图以及众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．
 

7.【答案】 

【解析】解：点由点向右平移个单位，再向上平移个单位得到
此时坐标为．
与关于轴对称．
故选：．
根据平移规律确定的坐标即可得出结论．
本题考查了点的平移规律以及点的对称性，掌握规律轻松解答，属于基础题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了分钟，故A选项不符合题意；
B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：千米分米分，故B选项不符合题意；
C、由图象知报亭到小亮家的距离是千米，即米，故C选项不符合题意；
D、由图象知小亮打羽毛球的时间是分钟，故D选项符合题意；
故选：．
根据图象逐个分析即可．
本题考查了函数图象，观察图象，从图象中获取信息是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
当时，，当时，，
，，
．
故选：．
根据一次函数图象与，轴分别交于点，，可用含的式子分别表示出，的值，代入化简即可．
本题主要考查一次函数图象的性质，利用表示出，的长是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，，
此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数不变；
当铁块逐渐露出水面的过程中，，
此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数逐渐增大；
当铁块完全露出水面之后，，
此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数不变．
综上，弹簧测力计的读数先不变，再逐渐增大，最后不变．
故选：．
根据题意可将铁块被拉起的过程分为三段：当铁块露出水面之前，根据分析得出弹簧测力计的读数不变；当铁块逐渐露出水面的过程中，根据分析得弹簧测力计的读数逐渐增大；当铁块完全露出水面之后，根据分析得弹簧测力计的读数不变．以此即可判断函数图象．
本题主要考查函数的图象，涉及与浮力有关物理知识，利用分类讨论思想分析得出不同过程中弹簧测力计读数的变化情况是解题关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：正比例函数的一般形式为，并且随的增大而减小，
答案不唯一：、等．
由于正比例函数的一般形式为，并且随的增大而减小，所以是一个负数，由此可以确定函数的表达式．
此题是一个开放性试题，答案不唯一，主要利用正比例函数的性质即可解决问题．
 

12.【答案】 

【解析】解：中，
在每个象限内，随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
根据反比例函数的性质得出答案即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键，反比例函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
 

13.【答案】 

【解析】解：这天销售的四种商品的平均单价是：
元，
故答案为：．
根据加权平均数定义即可求出这天销售的四种商品的平均单价．
本题考查了加权平均数、扇形统计图，解决本题的关键是掌握加权平均数的定义．
 

14.【答案】 

【解析】解：设点，
可得，，，，
，，，，
，
故答案为：．
设点，可得：，，，，计算出矩形面积及三角形面积，，即可得到阴影部分面积．
本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
将沿折叠，
，，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，由折叠的性质得出，，由三角形内角和定理可得出答案．
本题考查了菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

17.【答案】解：小丁和小迪的解法错误；
，去分母，得，
去括号，得，
解得，，
经检验：是方程的解．
所以小丁和小迪的解法错误． 

【解析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
 

18.【答案】解：款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间中，出现的次数最多，故众数，
把款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间合格的有个，
所以从小到大排列，排在中间的两个数是和，故中位数，
，即；
，，的值分别为，，；
款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：
虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于款智能玩具飞机，所以款智能玩具飞机运行性能更好答案不唯一． 

【解析】根据众数的定义可得的值，根据中位数的定义可得的值，用“”减去其他两组所占百分百可得的值；
可比较中位数，众数与方差得出结论答案不唯一．
本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，方差，解题关键是从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
 

19.【答案】解：将、分别代入一次函数，得
．
解得．
故A．
将其代入反比例函数，得
．
解得．
故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；

由知，、，则．
设，
当时，．
解得或舍去．
故；
当时，．
解得或．
故或．
综上所述，符合条件的点的坐标为：或或． 

【解析】把点、的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于、的方程组，通过解方程组求得它们的值；然后将点的坐标代入反比例函数解析式，求得的值即可；
设，利用两点间的距离公式和勾股定理以及列出方程，借助于方程求解即可．
本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求得一次函数和反比例函数解析式，勾股定理以及等腰三角形的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
 

20.【答案】解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；

，，
矩形的面积，
，
四边形的面积． 

【解析】首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形，
由矩形的性质可知四边形的面积为矩形面积的一半，问题得解．
此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形是菱形是解此题的关键．
 

21.【答案】被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分 

【解析】解：图形如图所示：

证明：四边形是平行四边形，
．
，
垂直平分，
．
又，
≌．
．
再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，
所以过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，
故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．
根据要求画出图形；
证明≌，可得结论；
根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
本题考查命题与定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
 

22.【答案】解：设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的根，
此时，
答：每个甲种粽子的进价为元，每个乙种粽子的进价为元；
设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个，
根据题意得：，
与的函数关系式为；
甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，
，
解得，
由知，，，为正整数，
当时，有最大值，最大值为，
此时，
购进甲种粽子个，乙种粽子个时利润最大，最大利润为元． 

【解析】设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元，根据用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根；
设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个，全部售完获得利润为元，根据总利润甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式；
根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍求出的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案．
本题考查一次函数和分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和分式方程．
 

23.【答案】解：当点、分别在、上运动时，为边长等于的等边三角形，
点，的距离等于、的长，
当时，关于的函数表达式为，
当点、都在上运动时，点，的距离等于，
当时，关于的函数表达式为，
关于的函数表达式为；
由中得到的函数表达式可知：当时，；当时，；当时，，
分别描出三个点，，然后顺次连线，如图：

把分别代入和中，得：
，，
解得：或，
点，相距个单位长度时的值为或． 

【解析】根据动点、运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量的取值范围即可；
根据画函数图象的方法分别画出两端函数图象即可；
根据两个函数关系式分别求出当时的值即可解决问题．
本题是三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：如图，延长交于，

四边形和四边形是正方形，
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
的结论仍然成立，
理由如下：设交于，于，

四边形和四边形是正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
；，
，
，
，
；
将正方形在平面内绕点任意旋转，
当点在线段上时，有最小值，
当点在线段的延长线上时，有最大值，
故答案为：，． 

【解析】由“”可证≌，可得，，由余角的性质可证；
由“”可证≌，可得，，由余角的性质可证；
当点在线段上时，有最小值，当点在线段的延长线上时，有最大值．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．