2023年江苏省常州外国语学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省常州外国语学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算结果为的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  中国文字是方块字，其形、音、结构、神韵都具有美感，对称美在汉字结构中十分常见下列美术字是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是由个大小相同的小正方体拼成的几何体，当去掉某一个小正方体时，与原几何体比较，则下列说法正确的是(    )

A. 去掉，主视图不变
B. 去掉，俯视图不变
C. 去掉，左视图不变
D. 去掉，俯视图不变

6.  若，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，为的直径，弦交于点，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，▱的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，与反比例函数的图象交于点若的面积与的面积之比为：，则▱的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9.  使分式有意义的的取值范围是          ．

10.  命题“如果，那么”的逆命题是______ 命题填“真”或“假”

11.  分解因式：______．

12.  如图所示，，数轴上点表示的数是______．

 

13.  已知点与点关于原点对称，则的值为______．

14.  如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则______．

15.  如图，是的中线，是的高线，，，，则点到的距离是______ ．

16.  九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设每只雀重斤，每只燕重斤，可列方程组为______ ．

17.  在正方形中，、分别是边、的中点，、交于点，则 ______ ．

18.  如图，在矩形中，，动点从点出发，沿边向点匀速运动，速度为每分钟个单位长度动点从点出发，沿边向点匀速运动，速度为每分钟个单位长度当点到达点时，，两点同时停止运动，连接，在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形，若在某一时刻，点的对应点恰好落在的延长线上，且，则 ______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
化简：．

20.  本小题分
解不等式组．

21.  本小题分
为庆祝中国共产主义青年团成立周年，学校团委在八、九年级各抽取名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分分，竞赛成绩如图所示：

根据以上信息，回答下列问题．
填空 ______ ， ______ ；
现要给成绩突出的年级颁奖，请你从某个角度分析，应该给哪个年级颁奖？
若规定成绩分及以上同学获奖，则哪个年级的获奖率高？

22.  本小题分
在张相同的小纸条上，分别写有语句：矩形；菱形；对角线相等；四条边相等；四个角为直角将这张小纸条做成支签，、放在不透明的盒子中搅匀，、、放在不透明的盒子中搅匀．
从盒子中任意抽出支签，抽到的概率是______ ；
先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签求抽到的张小纸条上的语句对图形的性质描述相符合的概率．

23.  本小题分
如图，，．
求证：；
若将进行一次图形变化，得到的三角形和拼成一个等腰三角形，请写出图形变化的过程并画出示意图一种即可．

24.  本小题分
在测浮力的实验中，如图甲所示，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至将圆柱体完全浸入水中，整个过程中，弹簧测力计示数与圆柱体下降高度关系的图象如图乙所示，请求出：
求所在直线的函数表达式；
当圆柱体下降的高度为时，求此刻该圆柱体所受浮力的大小．
温馨提示：当圆柱体位于水面上方时，；当圆柱体入水后，

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点．
求的值；
已知点，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，交函数于点．
当时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
若，结合图象，直接写出的取值范围．

 

26.  本小题分
【知识感知】：我们把对角丝互相垂直的四边形称为“垂美四边形”如图所示．
【概念理解】：在下列四边形中，正方形；矩形：菱形；平行四边形，是垂美四边形的是______ ；
三边长为的垂美四边形周长为______ ．
【性质探索】：若记垂美四边形面积为，试直接写出与、之间的关系______ ；
【性质应用】：尝试用两个全等的直角三角形≌如图摆放，其中、、在一条直线上，若假设直角三角形三边长为，，，即，，，试利用上面的结论证明勾股定理．

 

27.  本小题分
如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，是射线上一点，以为直径画圆，圆心为．
点的坐标为______ ，点的坐标为______ ；
当与直线相切时，请在图中作出点的位置不写作法，保留作图痕迹，并求的半径长；
当与直线相交时，另一个交点记为，直线过点且与轴平行，交于点当、、三条射线中，其中一条是另两条射线所夹角的角平分线时，求点的坐标．

 

28.  本小题分
已知二次函数，图象记为．
如图，时，求该二次函数图象的顶点坐标；
在的条件下，将二次函数的图象向右平移个单位，与二次函数的图象组成一个新的函数图象，记为设上的一点的坐标为．
当满足______ 时，随的增大而增大；
当时，过点作轴垂线，分别交、于点、若将的面积分成：两部分，求点坐标；
若点，在二次函数图象上，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.无法合并，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法运算以及合并同类项、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于有位，所以可以确定．
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项A、、的美术字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：去掉，左视图不变，主视图改变了，故此选项不合题意；
B.去掉，左视图不变，俯视图改变了，故此选项不合题意；
C.去掉，主视图不变，左视图改变了，故此选项不合题意；
D.去掉，俯视图不变，说法符合题意，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
．
，
选项不成立；
，
，
选项不成立；
，
，
选项一定成立；
，
，
，
选项不成立．
故选：．
利用已知条件得到，再利用不等式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：为的直径，，
，
，
，，
，
为的直径，
，
，
，
．
故选：．
根据垂径定理的推论可得，再由圆周角定理可得，根据锐角三角函数可得，，即可求解．
本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，作轴于，轴于，
由题意可知，，
的面积与的面积之比为：，
的面积与的面积之比为：，
：：，
设点的坐标是，则，
，
，
，
，
，
，
▱的面积．
故选：．
根连接，作轴于，轴于，由平行四边形的性质得出，由的面积与的面积之比为：，得出的面积与的面积之比为：，即可得出：：，设点的坐标是，则，由，得出，即可得出，即，解得，进而可以得到，利用平行四边形的面积公式即可求得．
本题考查反比例函数系数的几何意义、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不为．
根据分式有意义，分母不为零列式进行计算即可得解．
【解答】
解：分式有意义，则，
解得：．
故答案为：．  

10.【答案】假 

【解析】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，错误，为假命题，
故答案为：假．
交换原命题的题设和结论后即可写出原命题的逆命题，然后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】； 

【解析】解：．
因为，
所以．
所以数轴上点表示的数是：．
故答案为：．
分析：
利用勾股定理求得线段的长，结合数轴即可得出结论．
本题主要考查了数轴，勾股定理．利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由点与点关于原点对称，得
，．
，
故答案为：．
根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得、的值，根据有理数的乘法，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律是：横、纵坐标都是互为相反数．
 

14.【答案】 

【解析】解：物品被传送的距离等于转动了的弧长，
，
解得：，
故答案为：．
物品被传送的距离等于转动了的弧长，代入弧长公式即可求出的值．
本题考查了弧长的计算，理解传送距离和弧长之间的关系是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
的面积为：，
是的中线，
的面积为，
点到的距离是．
故答案为：．
根据三角形的面积得出的面积为，再利用中线的性质得出的面积为，进而解答即可．
此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出的面积，掌握三角形的中线平分三角形的面积．
 

16.【答案】 

【解析】解：设每只雀有斤，每只燕有斤，
由题意得，
故答案为：．
设每只雀有斤，每只燕有斤，根据五只雀、六只燕，共重斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
 

17.【答案】 

【解析】解：过作于，

四边形是正方形，
，，
，
点，分别是边，的中点，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
．
过作于，根据正方形的性质得到，，证得≌，然后根据全等三角形的性质得到，进而求得，．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，，，设经过秒点的对应点恰好落在的延长线上，且，

，，
，，
四边形是矩形，
，，，
四边形由四边形折叠得到，
，，，，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得，
，，
在中，
，
在中，
，
，
解得，
故答案为：．
画出图形，先在中利用勾股定理求出运动的时间，再根据勾股定理利用列方程求出即可．
本题以翻折和动态为背景考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，弄清各线段间关系，灵活运用勾股定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值；
原式利用多项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果．
此题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
所以不等式组的解集是．
故答案为：． 

【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解
 

21.【答案】   

【解析】解：八年级：分的有人，分的有人，分的有人，分的有人，分的有人，
八年级：分的有人，分的有人，分的有人，分的有人，分的有人，
根据中位数的计算方法可得，八年级的中位数是第，个人的分数的一半，即，
，
根据众数的定义可得，九年级的众数是，
，
故答案为：，．
九年级的众数比八年级的多，说明九年级大部分学生成绩优秀；
九年级的方差比八年级的小，说明九年级学生的成绩比较平稳，
应该给九年级颁奖．
八年级分及以上的学生有人，九年级分及以上的学生有人，
八年级的优秀率为，九年级的优秀率为，
，
九年级的获奖率高．
根据折线图的信息即可求解；
九年级的众数比八年级的多，九年级的方差比八年级的小，由此即可求解；
根据各班获奖人数的比例即可求解．
本题主要考查调查与统计中的相关概念和计算，掌握中位数，众数，方差的意义，通过计算概率作决策是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：盒子中有、支签，
从盒子中任意抽出支签，抽到的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽到的张小纸条上的语句对图形的性质描述相符合的结果有：，，，共种，
抽到的张小纸条上的语句对图形的性质描述相符合的概率为．
直接利用概率公式可得答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的张小纸条上的语句对图形的性质描述相符合的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、矩形的性质、菱形的性质，熟练掌握列表法与树状图法、矩形的性质、菱形的性质以及概率公式是解答本题的关键．
 

23.【答案】证明：，
在和中，
，
≌，
；
解：方法一：如图，将以点为旋转中心，旋转至与重合时，

，
此时，，三点共线，
，
为等腰三角形；
方法二：如图，将以点为旋转中心，旋转至与重合时，
，
此时，，三点共线，
，
为等腰三角形；

综上，方法一：将以点为旋转中心，旋转至与重合时，所形成的三角形为等腰三角形；
方法二：将以点为旋转中心，旋转至与重合时，所形成的三角形为等腰三角形． 

【解析】由可得和为直角三角形，由，可用证明两三角形全等，从而证明；
将以点为旋转中心，旋转至与重合时，所形成的三角形为等腰三角形，或者将以点为旋转中心，旋转至与重合时，所形成的三角形为等腰三角形．
本题考查折叠变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识点，解题的关键是利用图形翻折变换和旋转变换后的全等关系分析求解．
 

24.【答案】解：设所在直线的函数表达式为，将，代入得：
，
解得，
所在直线的函数表达式为；
在中，当时，，
当圆柱体下降的高度为时，求此刻该圆柱体所受浮力的大小为． 

【解析】用待定系数法可得所在直线的函数表达式；
结合，求出圆柱体下降的高度为时，的值，即可得到答案．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，难度适中，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
 

25.【答案】解：将代入，
，
，
将代入，
；

当时，如图，，
把代入，得，
，
把代入，得，
，
，，
；

由图可知，当时，的取值范围是或． 

【解析】将点代入中求出的值，然后将的坐标代入反比例函数中即可求出的值；
当时，分别求出、两点的坐标即可判断线段与的数量关系；
根据图象可求出的范围．
本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，利用待定系数法求反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键．
 

26.【答案】     

【解析】【概念理解】：解：正方形和菱形的对角线互相垂直，
正方形和菱形是垂美四边形，
故答案为：；
：如图：，，
，，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
三边长为的垂美四边形周长为，
故答案为：；

【性质探索】：解：四边形的面积的面积的面积，
；
故答案为：；
【性质应用】：证明：≌，
，
，
，
，
四边形是垂美四边形，
由可得是垂美四边形的面积，
，
，
，即，
所以勾股定理得证．
【概念理解】：由正方形和菱形的性质可求解；
先证四边形是菱形，即可求解；
【性质探索】：由面积关系可求解；
【性质应用】：先证四边形是垂美四边形，可得，由面积和差关系可求解．
本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
 

27.【答案】   

【解析】解：在中，令得，令得，
，，
故答案为：，；
过作，交轴于，如图：

点即为所求；
，
，
，
，，
，
，
，
，
的半径长为；
当平分时，如图：

为直径，
，
，，
≌，
，，
，，
为的中点，坐标为，
设，
由得，
解得，
，
为中点，
，
，且轴，
在直线上，
，
；
当平分时，过作轴于，过作于，如图；

为的直径，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，，
，
，
，
由垂径定理可知，
，
，
；
是射线上一点，
不能平分；
综上所述，的坐标为或
在中，令得，令得，即得，；
过作，交轴于，则点即为所求；由，得，即有，，故的半径长为；
分三种情况：当平分时，证明≌，得，，可知为的中点，坐标为，设，有，解答，故，从而，且轴，即得；当平分时，过作轴于，过作于，证明≌，得，，，由，得，可得，而∽，可得，可求出，，即可求得；由是射线上一点，可知不能平分．
本题考查圆的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，尺规作图等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
 

28.【答案】 

【解析】解：当时，．
该二次函数图象的顶点坐标为．
的图象是将二次函数的图象向右平移个单位，与二次函数的图象组成一个新的函数图象，
的图象开口向上，对称轴直线为，顶点坐标为，
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而增大．
故答案为：．
的解析式为，
设，则，
，
由，得或，
，，如图，

，，
当时，，
，即，
解得：，
；
当时，，
，即，
解得：，
；
综上所述，点坐标为或；
，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：；
的取值范围为或．
把代入即可求得抛物线解析式，再化为顶点式即可得出顶点坐标；
运用二次函数性质即可解答；
根据题意可得的解析式为，可得，，，分两种情况：当时，，当时，，分别建立方程求解即可得出答案；
由，可得抛物线的顶点坐标为，当时，顶点为最高点，当时，顶点为最低点，列出不等式求解即可．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、通过解方程组求函数图象的交点坐标、一元二次方程的解法、定义新函数问题的求解等知识与方法，第问运用分类讨论思想是解题关键，本题综合性强，难度较大，属于压轴题．