2022-2023学年广东省广州市洛溪新城中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市洛溪新城中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，内角、、的对边分别为、、，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  函数且，的值域是，则实数(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

4.  已知在矩形中，，，点满足，点在边上，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体中，点、分别是棱B、的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面图形为(    )

 

A. 矩形 B. 三角形 C. 正方形 D. 等腰梯形

6.  设，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  欧拉公式其中为虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥依据欧拉公式，则(    )

A.  B. 为实数
C.  D. 复数对应的点位于第三象限

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有(    )

A. 与
B. 与
C. 与
D. 与

10.  将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则的取值可以为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知向量满足，则(    )

A.  B.
C.  D.

12.  某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有(    )

A. 该圆台轴截面面积为
B. 该圆台的体积为
C. 该圆台的侧面积为
D. 沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若，，，则的取值范围是______ ．

14.  已知函数的图象如图所示，则 ______ ．

15.  已知非零向量，满足，，且，则 ______ ．

16.  已知复数，若复数为实数，则 ______ ，此时 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知，，
求；
若，求的模．

18.  本小题分
某学校因为学生活动区域紧张，为了更好的为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米．
要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？
长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？

19.  本小题分
设函数，．
若，求的取值范围；
求的最值，并写出取最值时对应的的值．

20.  本小题分
已知．
若，且、、三点共线，求的值．
当实数为何值时，与垂直？

21.  本小题分
已知的内角、、的对边分别为、、，．
求角的大小；
若，求面积的最大值．

22.  本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求实数的值．
试判断的单调性，并用定义证明．
解关于的不等式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，，
因此，．
故选：．
利用指数函数的单调性求出集合，利用交集的定义可求得集合．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，由正弦定理可得，
所以，，
因为、，则，可得，
所以，或，
显然不成立，故B，
因此，．
故选：．
由正弦定理结合两角和与差的正弦公式可得出，求出的取值范围，分析可得出，利用二倍角的余弦公式可求得的值．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，函数且，是增函数，
值域是，；
当时，函数且，是减函数，
值域是，．
综上所述，可得实数或
故选：．
当且时，函数为指数型函数，它的单调性与底数的大小有关，需要分情况进行讨论解决．当时，函数且，是增函数；当时，函数且，是减函数．由此结合条件建立关于的方程组，解之即可求得答案．
本题主要考查了指数函数的定义、解析式、定义域和值域，解答关键是利用函数的单调性是求解函数值域的有效手段之一，但含有参数时往往需要讨论．
 

4.【答案】 

【解析】解：以为原点建立平面直角坐标系，
由题意可知，，，
，设，
则，，，
，
，即，

．
故选B．
建立坐标系，求出点坐标，代入向量的坐标运算公式即可．
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：取的中点，
如图连接、、G、，
由题意得：，，
，，
平面平面，
过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形．
故选：．

取的中点，连接、、G、，推导出平面平面，由此得到过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形．
本题考查截面图形的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
，
，，的大小为．
故选：．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，作出圆锥的轴截面，如图所示：
设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
则，整理可得，
所以，该圆柱的表面积为
．
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，该圆柱表面积的最大值为．
故选：．
根据题意，设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，由三角形相似可得出，再利用圆柱的表面积公式以及基本不等式可求得该圆柱表面积的最大值．
本题考查圆柱的表面积和柱体与锥体的结构特征，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对于，由已知可得，故A错误；
对于，由已知可得为纯虚数，故B错误；
对于，，
，故C正确；
对于，，则，，
复数在复平面内对应的点位于第二象限，故D错误．
故选：．
利用复数的欧拉公式可判断；利用欧拉公式以及复数的除法化简复数，结合复数模的公式可判断；利用欧拉公式以及复数的几何意义可判断．
本题考查复数的指数形式，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：选项，定义域为，定义域为，不是相同函数，故A错误；
选项，两个函数定义域相同，对应关系也相同，是相同函数，故B正确；
选项，定义域为，定义域为，不是相同函数，故C错误；
选项，当或时，；当时，，所以与是相同函数，故D正确；
故选：．
相同函数，需要定义域相同，对应关系也相同，选项逐个判断．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，因为为奇函数，
所以，
即，当时，；时，，
所以、C正确．
故选：．
根据图象平移性质，三角函数奇偶性即可求解．
本题考查函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，因为，所以，故A错误；
对于，因为，所以，故B正确；

对于，因为，所以，，故C正确；
对于，因为，所以，故D正确．
故选：．
根据平面向量的坐标运算逐一判断即可．
本题考查平面向量的数量积、模的坐标表示，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，由，且，
可得，高，
则圆台轴截面的面积为，故A正确；
对于，圆台的体积为，故B错误；
对于，圆台的侧面积为，故C正确；
对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，
侧面展开图的圆心角，
设的中点为，连接，可得，，，
则．
所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故D正确．
故选：．
求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A；由台体的体积公式可判断选项B；由台体的侧面积公式可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断选项D．
本题考查圆台的轴截面面积的求解，圆台体积的求解，圆台的侧面积的求解，化归转化思想，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，，由基本不等式可得，
即，解得，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的取值范围是．
故答案为：．
利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的取值范围．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图可得，函数的最小正周期为，
因为，则，所以，
又因为，解得，
因为，则，所以，解得，
所以．
故答案为：．
由函数的最大值可得出的值，求出函数的最小正周期，可得出的值，将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式．
本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：非零向量，满足，，且，
，
解得，
则．
故答案为：．
由，解得，由此能求出
本题考查向量的模的求法，考查平面向量数量积公式、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】   

【解析】解：为实数，且，
所以，，解得，
所以，，则，故．
故答案为：；．
利用复数的除法化简复数，根据求出的值，可化简复数，进而可求得的值．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

17.【答案】解：设，
，
即，
，解得：，，
．
，
． 

【解析】设根据，利用两个复数相等的条件求出、的值，可得的值．
利用两个复数代数形式的乘除法法则求出，从而求出它的模．
本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，复数求模，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为，由图可知，∽，
即，即，
所以，
所以，其中，
矩形的面积为，其中，
由，整理可得，
解得，
因此，当时，矩形活动区域的面积不小于平方米．
由知，，其中，
故当时，函数取最大值，即，
因此，当米，米时，
矩形活动区域的面积最大，且最大值为平方米． 

【解析】由已知可得∽，可求得，可得出，利用矩形的面积公式可得出关于的不等式，即可解得的取值范围；
利用二次函数的基本性质可求得矩形面积的最大值，及其对应的的值，即可得出结论．
本题主要考查二次函数的最值的求法和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：，，，即
，
令，则，
则，
当，即，时，．
当，即时，． 

【解析】本题考查函数的最值的求法，换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
若，通过的范围，转化求的取值范围；
利用换元法，推出关于的二次函数，然后求解最值，并写出取最值时对应的的值．
 

20.【答案】解；由题意可得，，
且、、三点共线，则可得，
即，解得．
由题意可得，，
因为与垂直，则可得，解得． 

【解析】根据题意，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；
根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 

21.【答案】解：因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，，
因为、，则，所以，，故．
由余弦定理可得
，即，
当且仅当时，等号成立，
所以，，
故面积的最大值为． 

【解析】利用正弦定理、诱导公式以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值．
本题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
 

22.【答案】解：因为函数是定义域为的奇函数，
所以，即恒成立，所以．
说明：由得到需检验
在上为增函数，证明如下：
由于，任取，且，
则．
因为，所以，又，
所以，
所以函数在上为增函数．
由得奇函数在上为增函数，
所以不等式，
所以．
令，则，解得，
即，解得，
即不等式的解集为． 

【解析】由奇函数的性质即可求解的值；
判断在上为增函数，利用单调性的定义证明即可；
利用函数的奇偶性与单调性将不等式进行转化，解指数不等式即可得解．
本题主要考查函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．