2022-2023学年广东省深圳高级中学高中园高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳高级中学高中园高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数，则是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为，则该圆锥的体积等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.  用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的(    )

A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍

5.  已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知的外接圆圆心，且，，则向量在向量上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围如图，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分如图，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积如图，已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列结论正确的个数是(    )

A. 经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面
B. 经过两条相交直线，可以确定一个平面
C. 经过两条平行直线，可以确定一个平面
D. 经过空间任意三点可以确定一个平面

10.  下列命题错误的有(    )

A. 若、都是单位向量，则
B. 若，且，则
C. 若非零向量与是共线向量，则、、、四点共线
D. 向量的模与向量的模相等

11.  要得到函数的图象，只需将函数的图象(    )

A. 向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的倍
B. 向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的倍
C. 每个点的横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位长度
D. 每个点的横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位长度

12.  已知中，，，，则下列结论正确的有(    )

A. 为钝角三角形 B. 为锐角三角形
C. 面积为 D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在复数范围内，方程的解集为______ ．

14.  已知向量，，为向量与的夹角，则 ______ ．

15.  函数的单调递减区间为______ ．

16.  如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高，该学生先在钟楼的正西方点处测得钟楼顶部的仰角为，然后从点处沿南偏东方向前进到达点处，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度是______．

 

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知，，求
；
．

18.  本小题分
如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．

请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图；不需要写步骤及作图过程
求该正四棱锥形容器的体积．

19.  本小题分
已知．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．

20.  本小题分
在；这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．
问题：在中，内角、、的对边分别为，，，已知------．
求角；
若，的面积为，求的周长．

21.  本小题分
如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点两点不重合．
用，表示；
若，，求的最小值．

22.  本小题分
如图，在梯形中，，，，且，是线段上一点，且，为线段上一动点．
求的大小；
若为线段的中点，直线与相交于点，求；
求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数，则．
故选：．
直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．
本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题．
直接利用向量共线的坐标运算列式求解．

【解答】

解：，，且，
，即．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥的体积计算问题，是基础题．
根据题意求出圆锥的母线、底面半径和高，再计算圆锥的体积．

【解答】

解：如图所示，

圆锥的母线为，底面半径为，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了斜二测画法中直观图的面积和原图形面积之间的关系，是基础题目．
以三角形的一边为轴，高所在的直线为轴，由斜二测画法得出三角形底边长和高的变化即可．

【解答】

解：以三角形的一边为轴，高所在的直线为轴，
由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为轴，长度减半，
所以三角形的高变为原来的，
所以直观图中三角形面积是原三角形面积的，
即原三角形面积是直观图面积的倍．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：，
平方可得  ，
 ，
把和相加可得，
即，
解得．
故选：．
把两个条件平方相加，再利用两角差的余弦公式求得的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的线性运算，平面向量的基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．设，利用向量的线性运算得出，结合，可求实数的值．

【解答】

解：由题意，设，
则



，
又，
，且，
解得，，
故选：．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，中，，则是的中点，
又由是的中点，则为圆的直径，则有，
又由，则为等边三角形，，
则向量在向量上的投影向量为．
故选：．
根据题意，分析可得是的中点，进而可得为圆的直径，由此可得为等边三角形，由投影向量的定义分析可得答案．
本题考查投影向量，涉及向量数量积的性质以及应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
所以，
所以，
所以两个球冠的面积为，
则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：，
故选：．
由题利用勾股定理求出半径，再求出高度，分别求出两个球冠的面积，用球体的表面积减去两个球冠的面积即可解决问题．
本题考查球的表面积，考查运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据公理的推论即可判断，，C正确，
选项D：经过不共线的三点可以确定一个平面，故D错误，
故选：．
根据平面的基本性质以及推理即可判断求解．
本题考查了平面的基本性质以及推论，考查了学生的理解能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于：若，都是单位向量，则，因为，的方向不一定相同，故，不一定相等，故A错误；
对于：因为，且，当时，与任何向量都平行，故不能得到，故B错误；
对于：非零向量与而是共线向量，即，不能得到、、、四点共线，故C错误；
对于：向量与向量互为相反向量，故向量与向量的模相等，故D正确．
故选：．
直接利用单位向量，向量的相等，向量的共线，向量的模的相关的定义的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的相等，单位向量，向量的模，主要考查学生对基础定义的理解，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：法一：将函数的图象先向左平移个单位长度，可得到函数的图象，
再将所得函数的图象上每点的横坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象；
法二：将函数的图象每个点的横坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象，
再将所得图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
故选：．
根据三角函数图象变换可得出结论．
本题主要考查函数的图象变换，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，，为钝角三角形，故A正确；故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
直接根据三边长求出角的余弦，再结合面积公式和数量积计算即可求解结论．
本题主要考查余弦定理的应用，以及三角形的面积计算和数量积的求解，属于中档题目．
 

13.【答案】 

【解析】解：由得，所以或，
故答案为：．
根据复数范围内方程的解法直接求解即可．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为向量，，且与的夹角，
所以．
故答案为：．
利用平面向量的夹角公式求解．
本题考查了向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】， 

【解析】解：因为



，
令，，
求得，，
所以函数的单调递减区间为，．
故答案为：，．
由题意，利用诱导公式及辅助角公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得．
本题主要考查诱导公式、辅助角公式的应用，正弦函数的性质，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，，
中，，所以，
中，，所以，
中，，，
由余弦定理得：，
即，
整理得，
解得或不合题意，舍去，
所以钟楼的高度是．
故答案为：．
设，，利用直角三角形的边角关系和余弦定理列方程求出的值．
本题考查了解三角形的应用问题，解题的关键是弄清三角形中边角关系，是基础题．
 

17.【答案】解：；
由题可知，所以，
． 

【解析】由复数的乘法法则计算；
再由复数的除法法则求得后可得其共轭复数．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

18.【答案】解：根据题意画出该四棱锥的直观图，如下：


设加工后的正四棱锥为，易得底面是边长为的正方形，斜高为，
所以四棱锥的高为，
计算正四棱锥形容器的体积为．
所以正四棱锥形容器的体积为． 

【解析】利用斜二测画法画出四棱锥的直观图即可．
根据图中数据计算正四棱锥形容器的体积即可．
本题考查了四棱锥直观图的画法与应用问题，也考查了四棱锥体积计算问题，是基础题．
 

19.【答案】解：Ⅰ，
解得分
Ⅱ


   分 

【解析】Ⅰ利用正切加法定理得，由此能求出．
Ⅱ利用诱导公式和同角三角函数关系式能求出的值．
本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
 

20.【答案】解：选择：
由正弦定理得，，
由得，
即．
又，
，
又，
．
选择：
由选择条件可得
由余弦定理
得，
又，
．
因为
，即，，
又由余弦定理，化简得，
即，
所以，
所以的周长为． 

【解析】选条件时，直接利用正弦定理的应用求出的值；
选条件时，直接利用余弦定理的应用求出的值．
利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出三角形的周长．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：因为，所以，
化简得；
因为，，，
所以，由图可知，
又因为、、三点共线，所以，
所以，
当，即时，取最小值． 

【解析】根据平面向量线性运算法则计算可得；
根据的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得；
本题主要考查了向量的线性表示及向量共线定理，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：连接，，
由，，，
则，，
，，，，又，，

，
又，，，
又，，．
如图，过点作于，
则，，
建系如图，则根据题意可得：
，，，，，，
，，
；
根据得，设，，
，解得，，
，，
，
又，当时，；
当时，，
的取值范围为． 

【解析】连接，，根据与的夹角和与的夹角相同，并设为，，结合题意、平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式即可求解，进而得到的大小；
如图，过点作于，先求得，的值，则以为原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，再根据平面向量的夹角公式即可求解；
结合，设，，得到点的坐标，从而得到，，进而得到表示为关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可得到的取值范围．
本题考查平面向量的数量积的运算，向量数量积的性质，向量夹角公式的应用，数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．