2024高考数学第一轮复习：7.2 基本不等式(原卷版)

7.2  基本不等式

思维导图

知识点总结

1.基本不等式

(1)如果a，b是正数，那么     (当且仅当a＝b时等号成立).

我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式.

(2)当a，b∈R时，ab    (当且仅当a＝b时等号成立)，ab    (当且仅当a＝b时等号成立).

2.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

3.利用基本不等式求最值

对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意：

(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值.

(2)取等号的条件.

[常用结论]

1.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.

2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.

典型例题分析

考向一 　利用基本不等式求最值

角度1　配凑法

例1 (1)若x＜，则f(x)＝3x＋1＋有(　　)

A.最大值0   B.最小值9

C.最大值－3   D.最小值－3

(2)已知0＜x＜，则x的最大值为________.

(3)(2023·天津模拟)函数y＝(x＞－1)的最小值为________.

角度2　常数代换法

例2 (1)(2023·石家庄模拟)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则2x＋4y的最小值为________，＋的最小值为________.

(2)(2022·深圳二模)已知0＜x＜1，则＋的最小值是________.

角度3　消元法

例3 (2023·湖南省级示范校检测)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________.

角度4　构建不等式法

例4 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.

感悟提升　1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值.

3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.

考向二  利用基本不等式求参数或范围

例5 (1)(2022·威海期末)关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为________.

(2)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________.

感悟提升　1.对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值；

2.利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围.

考向三  利用基本不等式解决实际问题

例6 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当▱AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为(　　)

A.6   B.12 

C.18   D.24

感悟提升　利用基本不等式解决实际应用问题的思路

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.

训练3 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.

答案　20

解析　该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，·4＋4x≥160，当且仅当＝4x，即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.

考向四 重要不等式链

 若a＞0，b＞0，则≤≤≤.

其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.

一、利用不等式链求最值

例1 (多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)

A.有最大值 B.＋有最小值3

C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值

二、利用基本不等式链证明不等式

例2 已知a，b，c都是非负实数，求证：＋＋≥(a＋b＋c).

训练 当－＜x＜时，函数y＝＋的最大值为________.

基础题型训练

一、单选题

1．已知正数，满足，则的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．2

2．已知，，则的最小值是

A． B． C． D．

3．设，则（    ）

A． B．

C． D．

4．若a＞1，则的最小值是（    ）

A．2 B．a

C．  D．3

5．已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ）

A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）

6．已知，全集为R，集合，，，则有（　）

A．（） B．（）

C． D．

二、多选题

7．在下列函数中，最小值是2的函数有（　　）

A． B．

C． D．

8．，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

9．已知正数a、b满足a+b= 1，则a·b的最大值为_____．

10．已知x＜0，则的最大值等于________．

11．已知a>0，b>0，且a+2b=2，则的最小值为______

12．设、是不等于的正数，则的取值范围是____________.

四、解答题

13．设，求函数的最大值.

14．（1）当且时，求函数的最小值.

（2）当时，求函数的最大值.

15．（1）若，求的最小值；

（2）若，，，比较、的大小.

16．定义:记为这个实数中的最小值，记为这个实数中的最大值，例如:.

（1）求证:；

（2）已知，求的最小值；

（3）若，求的最小值.

提升题型训练

一、单选题

1．若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．若点在线段上运动，且，，设，则

A．有最大值2 B．有最小值1 C．有最大值1 D．没有最大值和最小值

3．若，则的最小值为

A．8 B．6 C．4 D．2

4．若，，则“”是“”的（    ）.

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知，则的最小值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．下列说法中正确的是（    ）

A．不等式恒成立 B．当时，的最小值是2

C．设，，且，则的最小值是 D．，使得不等式成立

8．已知，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．的最小值为 D．

三、填空题

9．已知，比较两数的大小：______9．

10．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝______厘米．

11．已知,且,若 恒成立，则实数的取值范围是 ．当 取到最大值时 ．

12．若实数x，y满足，则的最小值为______.

四、解答题

13．已知，求的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．

14．若，，且，求与的最小值．

15．已知满足，求的解析式.

16．选修4-5：不等式选讲

（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；

（2）若正实数满足，求的取值范围.