2024高考数学第一轮复习：8.10 与球有关的切、接问题（原卷版）

8.10  与球有关的切、接问题

知识点总结

研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心.

知识点一：正方体、长方体外接球

1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

3、补成长方体

（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．

（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．

（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．

（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图1          图2              图3             图4

知识点二：正四面体外接球

如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为.

知识点三：对棱相等的三棱锥外接球

四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.

如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以.

知识点四：直棱柱外接球

如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

图1                        图2                         图3

第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；

第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；

第三步：勾股定理：，解出

知识点五：直棱锥外接球

如图，平面，求外接球半径.

解题步骤：

第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；

第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；

②.

知识点六：正棱锥外接球

正棱锥外接球半径： .

由此推广：侧棱相等的锥体外接球半径：

知识点七：垂面模型外接球

如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：

（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．

（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．

（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．

（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

图1                                   图2

知识点八：锥体内切球

方法：等体积法，即

典型例题分析

考向一 　外接球

角度1　补形法——存在侧棱与底面垂直

例1 已知三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为(　　)

A.π  B.14π

C.56π  D.π

角度2　补形法——对棱相等

例2 已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为(　　)

A.π  B.π 

C.π  D.π

感悟提升　补形法的解题策略

(1)侧面为直角三角形或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解；

(2)直三棱锥补成三棱柱求解.

角度3　截面法

例3 (2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为(　　)

A.  B. 

C.  D.

感悟提升　与球截面有关的解题策略

(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；

(2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.

角度4　定义法

例4 (2023·德州质检)已知四棱锥P－ABCD的侧棱长均相等，其各个顶点都在球O的球面上，AB＝BC，∠ABC＝90°，AD＝2，CD＝2，三棱锥P－ABC的体积为，则球O的表面积为(　　)

A.25π  B. 

C.32π  D.

感悟提升　到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.

训练1 (1)(2023·河南顶级名校联考)四面体的四个顶点都在半径为R1的球O1上，该四面体各棱长都相等，如图①.正方体的八个顶点都在半径为R2的球O2上，如图②.八面体的六个顶点都在半径为R3的球O3上，该八面体各棱长都相等，四边形ABCD是正方形，如图③.设四面体、正方体、八面体的表面积分别为S4，S6，S8.若R1∶R2∶R3＝∶∶，则(　　)

A.S8＞S4＞S6  B.S4＝S8＞S6

C.S4＝S6＜S8  D.S4＝S6＝S8

(2)(2023·天津模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则外接球的表面积为________.

考向二  内切球

例5 (2023·江西大联考)已知四面体SABC的所有棱长为2，球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2，使其与平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，则球O2与球O1的半径比值为(　　)

A.  B. 

C.  D.

感悟提升　“切”的问题处理规律

(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.

(2)体积分割是求内切球半径的常用方法.

训练2 (2023·南京调研)已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，F为边BC的中点，将△AED，△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥P－DEF的外接球与内切球的表面积比值为(　　)

A.6  B.12 

C.24  D.30

考向三   双半径单交线公式

若相互垂直的两凸多边形的外接圆半径分别为R1，R2，两外接圆公共弦长为l，则由两凸多边形顶点连接而成的几何体的外接球半径：R＝.

例6 (2023·河南适应性测试)已知三棱锥P－ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝a，且平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥P－ABC的每个顶点都在表面积为的球面上，则a＝________.

基础题型训练

一、单选题

1．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（    ）

A． B． C． D．

2．三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（    ）

A． B． C． D．

3．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球与内切球的研究．其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向．已知正四棱锥的外接球半烃为R，内切球半径为r，且两球球心重合，则（    ）

A．2 B． C． D．

4．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

5．用一个平面去截棱长为1的正方体，则下列结论中正确的是（    ）

A．若该平面过点，则截面的周长为6

B．若该平面过点，则截得的两个几何体的外接球体积相等

C．若该平面过点，则截得的两个几何体的表面积均为

D．若该平面过点，则其截正方体的外接球所得的截面面积不是定值

6．下列关于三棱柱的命题，正确的是（    ）

A．任意直三棱柱均有外接球

B．任意直三棱柱均有内切球

C．若正三棱柱有一个半径为的内切球，则该三棱柱的体积为

D．若直三棱柱的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是直角三角形

7．如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则（    ）

A．圆锥的底面半径为1

B．圆柱的体积是外接球体积的四分之三

C．该组合体的外接球表面积与圆柱底面面积的比值为

D．圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半

8．如图，在正方体中，E、F分别是、的中点，G为线段BC上的动点(含端点)，则下列结论中正确的是（    ）

A．存在点G使得直线⊥平面EFG

B．存在点G使得直线AB与EG所成角为45°

C．G为BC的中点时和G、C重合时的三棱锥的外接球体积相等

D．当G与B重合时三棱锥的外接球体积最大

9．正方体的棱长为2，O为底面ABCD的中心．P为线段上的动点（不包括两个端点），则（    ）

A．不存在点P，使得平面

B．正方体的外接球表面积为

C．存在P点，使得

D．当P为线段中点时，过A，P，O三点的平面截此正方体外接球所得的截面的面积为

10．七面体中，为正方形且边长为都与平面垂直，且，则对这个多面体描述正确的是（    ）

A．当时，它有外接球，且其半径为

B．当时，它有外接球，且其半径为

C．当它有内切球时，

D．当它有内切球时，

11．已知圆锥的底面半径，侧面积为，内切球的球心为，外接球的球心为，则下列说法正确的是（    ）

A．外接球的表面积为

B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则

C．过点作平面截圆锥OP的截面面积的最大值为2

D．设母线中点为，从点沿圆锥表面到的最近路线长为

12．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，是边长为的正三角形，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，E是棱的中点，则（    ）

A． B．

C．平面截四棱锥的外接球所得截面的面积为 D．平面截四棱锥的外接球所得截面的面积为

13．如图，AB为圆柱的母线，BD为圆柱底面圆的直径且，O为AD中点，C在底面圆周上滑动（不与B，D重合）.则下列结论中正确的为（    ）

A．BO有可能垂直平面ACD

B．三棱锥的外接球表面积为定值

C．二面角正弦值的最小值为

D．过CD作三棱锥的外接球截面，截面面积的最大值为8π

三、双空题

14．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则长方体的外接球表面积为________，平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为________．

四、填空题

15．我们知道一个多面体的外接球可以定义为：若一个多面体的所有顶点都在某个球的球面上，则该球叫这个多面体的外接球.现新定义多面体的“外球”为：若一个多面体的所有顶点都在某个球的球面上或在球内，则称该球为这个多面体的外球.即外球能将多面体包围起来.如图是一个由六个全等的正三角形构成的六面体，若该六面体有一外球A，且该六面体内有一球.则外球A的半径最小值与球的半径最大值的比值为_________.