2024高考数学第一轮复习：专题1.2 常用逻辑用语（解析版）

这是一份2024高考数学第一轮复习：专题1.2 常用逻辑用语（解析版），共25页。试卷主要包含了．全称量词和存在量词等内容，欢迎下载使用。

专题1.2 常用逻辑用语
思维导图

知识点总结
知识点一 充分条件、必要条件与充要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp

知识拓展
1．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．
(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．
2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

知识点二 ．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个、至少有一个、有些，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为∀x∈M，p(x).
(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为∃x∈M，p(x).
2．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，否p(x)
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，否p(x)

知识拓展
1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．
2．常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面
词语
等于(＝)
大于(>)
小于(<)
是
否定
词语
不等于(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
不是

正面
词语
都是
任意的
所有的
至多
有一个
至少
有一个
否定
词语
不都是
某个
某些
至少
有两个
一个
也没有

典型例题分析
考向一　充分、必要条件的判断
例1
“x2>4”是“3x>9”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为x2>4⇔x>2或x<－2,3x>9⇔x>2，记A＝{x|x>2或x<－2}，B＝{x|x>2}，则BA，所以x2>4不能推出3x>9,3x>9能推出x2>4，所以“x2>4”是“3x>9”的必要不充分条件．故选B.
若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，l⊥α，则“l⊥m”是“m∥α”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由l⊥α，l⊥m，得m∥α或m⊂α，不满足充分性，由l⊥α，m∥α，得l⊥m，满足必要性，故“l⊥m”是“m∥α”的必要不充分条件．故选B.

　充分、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．
考向二　根据充分、必要条件求参数的范围
例2　已知关于x的不等式(x－a)(x－3)>0成立的一个充分不必要条件是－1 A．(－∞，－1] B．(－∞，0)
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　D
解析　由题可知(－1,1)是不等式(x－a)(x－3)>0的解集的一个真子集．当a＝3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为{x|x≠3}，此时(－1,1){x|x≠3}；当a>3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为(－∞，3)∪(a，＋∞)，此时(－1,1)(－∞，3)，符合题意；当a<3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为(－∞，a)∪(3，＋∞)，由题意可得(－1,1)(－∞，a)，此时1≤a<3.综上所述，a≥1.

1．条件、结论的相对性
充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A是B的充分不必要条件”是指A⇒B但BA；“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A但AB.以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆．
2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
考向三　充要条件的证明与探求
例3　已知a，b，c均为实数，求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明　(1)充分性：如果ac<0，则b2－4ac>0且<0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根．
(2)必要性：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
则Δ＝b2－4ac>0，<0，所以ac<0.
由(1)(2)知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
考向四　全称量词命题、存在量词命题真假的判断
例4
下列命题中的假命题是(　　)
A．∀x∈R，x2≥0
B．∀x∈R,2x－1>0
C．∃x∈R，lg x<1
D．∃x∈R，sinx＋cosx＝2
答案　D
解析　A显然是真命题；由指数函数的性质知2x－1>0恒成立，所以B是真命题；当0 (多选)下列命题为假命题的是(　　)
A．∃x∈R，ln (x2＋1)<0
B．∀x>2,2x>x2
C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβ
D．∀x∈(0，π)，sinx>cosx
答案　ABD
解析　∵x2＋1≥1，∴ln (x2＋1)≥0，故A是假命题；当x＝3时，23<32，故B是假命题；当α＝β＝0时，sin(α－β)＝sinα－sinβ，故C是真命题；当x＝∈(0，π)时，sinx＝，cosx＝，sinx 判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路

考向五　含有量词的命题的否定
例5
设命题p：任意常数数列都是等比数列，则綈p是(　　)
A．所有常数数列都不是等比数列
B．有的常数数列不是等比数列
C．有的等比数列不是常数数列
D．不是常数数列的数列不是等比数列
答案　B
解析　全称量词命题的否定是存在量词命题．故綈p是有的常数数列不是等比数列．

命题“∃x∈R,1 A．∀x∈R,1 B．∃x∈R,1 C．∃x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
答案　D
解析　存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．故选D.
　写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
(1)准确审题：明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论．
(2)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(3)否定结论：对原命题的结论进行否定．


基础题型训练

一、单选题
1．命题“”的否定为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定判断，即可得到结果.
【详解】命题“”，
则其否定为
故选:C.
2．命题“”的否定为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由含量词命题否定的定义，写出命题的否定即可．
【详解】命题“，”的否定是：，，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定问题，正确解题的关键是要明确全称命题的否定是特称命题，注意表达形式即可.
3．已知命题，（且），则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】全称命题的否定是特称命题，故.
故选：.
【点睛】本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力.
4．“”是“的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据指数函数与对数函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，可得，又由函数为单调递增函数，可得成立，即充分性是成立的；
反之：由，可得，例如：，此时不成立，即必要性是不成立的，
所以“”是“的充分而不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了指数函数与对数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数与对数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
5．已知命题：，是真命题，那么实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得对于恒成立，讨论和即可求解.
【详解】若命题：，是真命题，
则对于恒成立，
当时，可得：不满足对于恒成立，所以不符合题意；
当时，需满足解得，
所以实数的取值范围是，
故选：C
【点睛】关键点点睛：对于对于恒成立，需讨论和，当时，结合二次函数图象即可得等价条件.
6．下列说法中，正确的是
A．命题“若，则”的否命题是假命题
B．设为两不同平面，直线，则“”是 “” 成立的充分不必要条件
C．命题“存在”的否定是“对任意”
D．已知，则“”是“”的充分不必要条件
【答案】B
【详解】试题分析：（1）命题“若，则”的逆命题为“若，则”，为真命题，所以原命题的否命题也为真命题，所以A不正确；
（2）根据面面垂直的判定定理由可得；但，不一定可得，所以“”是 “” 成立的充分不必要条件，所以B正确；
（3）命题“存在”的否定是“对任意，”．所以C不正确；
（4）因为是的真子集，所以“”是“”必要不充分条件．所以D不正确．
综上可得B正确．
考点：1命题的真假；2充分必要条件．

二、多选题
7．下列叙述正确的是（    ）
A．
B．，使得
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件
D．；q：对不等式恒成立，p是q的充分不必要条件
【答案】AC
【分析】取，可判断A；取可判断B；由Ý可判断C；由Ý可判断D.
【详解】对于选项A：当，时，不等式成立，故A正确；
对于选项B：当时，不存在实数使得不等式成立，故B错误；
对于选项C：，因为Ý，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
对于选项D：，因为Ý，所以是的必要不充分条件，故D错误.
故选：AC.
8．下列说法是正确的是（　　）
A．命题“，都有”的否定是“，都有”
B．中，角、、成等差数列的充分条件是
C．若函数满足，则函数是周期函数
D．若，则实数的取值范围是
【答案】ABC
【解析】由全称命题的否定可判断A选项的正误；利用等差中项的性质以及三角形的内角和定理可判断B选项的正误；推导出，可判断C选项的正误；取可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，命题“，都有”为全称命题，
该命题的否定为“，都有”，A选项正确；
对于B选项，在中，若角、、成等差数列，则，
由三角形的内角和定理可得，，
所以，在中，角、、成等差数列的充分条件是，B选项正确；
对于C选项，由于函数满足，
则，
所以，函数为周期函数，C选项正确；
对于D选项，取，则无意义，D选项错误.
故选：ABC.
【点睛】本题考查命题正误的判断，考查了全称命题的否定、充分条件的判断、周期函数的判断以及不等式的求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.

三、填空题
9．“”是“”的___________条件.（用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”填空）
【答案】充分不必要
【分析】由“充分不必要条件”的定义即可求得答案.
【详解】由“”可得“”或“”，所以“”是“”充分不必要条件．
故答案为：充分不必要.
10．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“”的否定为：“，”.
因为原命题为假命题，则其否定为真.当时显然不成立；当时，恒成立；当时，只需，解得：.
综上有
故答案为：.
11．已知命题：“或”，：“”，则P是Q成立的______
【答案】必要非充分条件
【分析】可以考虑逆否命题的充分必要性，即得解.
【详解】先考虑充分性，即考虑是否成立，
其逆否命题为：,“”，：“且”，
显然不成立，所以P是Q成立的非充分条件；
再考虑必要性，即考虑是否成立，
其逆否命题为：,“”，：“且”，
显然成立，所以P是Q成立的必要条件.
所以P是Q成立必要非充分条件.
故答案为必要非充分条件
【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，考查逆否命题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．方程至少有一个正实数根的充要条件是________；
【答案】
【分析】讨论，和三种情况，计算得到答案.
【详解】当时，方程为满足条件.
当时，方程恒有两个解，且，两根一正一负，满足条件
当时，，即，此时，，
，两根均为正数，满足条件
综上所述：
故答案为
【点睛】本题考查了充要条件，分类讨论是一个常用的方法，需要同学们熟练掌握.

四、解答题
13．设 ，求证：成立的充要条件是xy≥0．
【答案】证明见解析．
【详解】证明：
（充分性）若xy=0，成立;
若,；
若,

(必要性)

14．已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由，得到，再利用交集的运算求解.
（2）根据或，得到，然后根据“”是“”的充分不必要条件,由A是的真子集，且求解.
【详解】（1）∵当时，，或，
∴；
（2）∵或，
∴，
因为“”是“”的充分不必要条件,
所以A是的真子集，且，
又，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及逻辑条件的应用，属于基础题.
15．设是实数，命题：函数的最小值小于0，命题：函数在上是减函数，命题：.
（1）若“”和“”都为假命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】分别求解出命题为真时和命题为真时的取值范围；（1）由已知可知真假，从而可得不等式组，解不等式组求得结果；（2）根据充分不必要条件的判定方法可得不等式组，解不等式求得结果.
【详解】当命题为真时：

则函数的最小值为，解得：
当命题为真时：
，则不等式在上恒成立
，解得：
（1）因为“”和“”都为假命题
为真命题，为假命题
    
实数的取值范围是
（2）若是的充分不必要条件
则，解得：
故实数的取值范围是
【点睛】本题考查根据命题、含逻辑连接词的命题的真假性求解参数范围、利用充分条件和必要条件的判断方法求解参数范围问题，属于基础题.
16．已知全集为，集合，.
(1)求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先分别求出集合，然后再求交集即可；
（2）可分析出是的真子集，列出不等式求解即可.
【详解】（1）解：解得所以，
由解得，所以，
所以
（2）解：因为“”是“”的充分不必要条件，
所以且，
所以 （等号不同时成立）得，
所以实数的取值范围是.

提升题型训练

一、单选题
1．设命题，则为 （    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得答案.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题,
为
故选：C.
2．设，则“”是“直线：与直线：平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】∵当时，直线与直线重合，充分性不具备，
当与平行时，显然a≠0，
需，此时无解，必要性不具备，
故选D.
【点睛】本题考查了直线平行、简易逻辑的判定方法分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用或，结合充分条件与必要条件的定义可得结果.
【详解】根据题意，由于或，
因此可以推出，反之，不成立，
因此“”是“”的充分而不必要条件，故选A.
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
4．已知命题使；命题当时，的最小值为4．下列命题是真命题的是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：因为命题使为真命题，而命题当时，的最小值为4为假命题（因为等号取不到）故为真命题，则为真，选A
考点：简易逻辑
5．在中，“”是“”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【详解】试题分析：中，若，则或，反之，若，则一定有，所以在中，“”是“”的必要非充分条件，故选B．
考点：1、已知三角函数求角；2、充分条件与必要条件.
6．给出下列四个说法：
①命题“，都有”的否定是“，使得”；
②已知、，命题“若，则”的逆否命题是真命题；
③是的必要不充分条件；
④若为函数的零点，则.
其中正确的个数为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定可判断出命题①的真假；根据原命题的真假可判断出命题②的真假；解出不等式，利用充分必要性判断出命题③的真假；构造函数，得出，根据零点的定义和函数的单调性来判断命题④的正误.
【详解】对于命题①，由全称命题的否定可知，命题①为假命题；
对于命题②，原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题，命题②为真命题；
对于命题③，解不等式，得或，所以，是的充分不必要条件，命题③为假命题；
对于命题④，函数的定义域为，
构造函数，则函数为增函数，
又，
为函数的零点，则，
，，则，命题④为真命题.
故选C.
【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定，四种命题的关系，充分必要的判断以及函数的零点，考查推理能力，属于中等题.

二、多选题
7．下列能成为充分条件的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】分别解出选项中的集合，再根据充分条件与集合的包含关系，求参数的取值范围.
【详解】，即，
分别解出选项中的集合：
A.或，得或，即或；
B.，即；
C.，得或，即或；
D.，即，
要能成为充分条件，选项中的解集需是集合的子集，其中只有BD符号题意.
故选：BD
【点睛】本题考查充分条件与集合的包含关系，重点考查计算能力，以及理解充分条件，属于基础题型.
8．下列说法正确的是
A．命题“若且，则”为真命题
B．“若直线与直线平行，则”的逆命题是真命题
C．若：，使得，则：，使得
D．“”是“”的充要条件
【答案】AB
【解析】依次判断每个选项：判断知正确；根据平行的性质知正确；选项应为，使得；应为充分不必要条件，得到答案.
【详解】A. 命题“若且，则”为真命题，正确；
B.逆命题是：若，则直线与直线平行，即和平行，正确；
C. 若：，使得，则：，使得，错误；
D. “”是“”的充分不必要条件，错误；
故选：.
【点睛】本题考查了命题的真假判断，逆命题，特称命题的否定，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.

三、填空题
9．命题：，的否定________.
【答案】，
【分析】根据全称量词命题的否定的知识填写正确结果.
【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以，.
故答案为：，
【点睛】本小题主要考查全称量词命题的否定，属于基础题.
10．已知集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围为______________
【答案】
【分析】根据集合之间的包含关系，列出不等关系，即可求得结果.
【详解】根据题意，集合是集合的真子集；
故，，且不能同时取得等号，
解得，故的取值范围为：.
故答案为：.
11．已知直线和，则∥的充要条件是=______．
【答案】3
【分析】根据直线平行关系求出的取值即为其充要条件.
【详解】直线和，
则∥，即，，
解得：或，
当时：和平行；
当时：和重合，不满足平行，
所以.
故答案为：3
【点睛】此题考查根据两条直线平行求参数的值，根据平行关系求参数，注意考虑直线重合的情况.
12．设函数的定义域为D，若命题p：“，”为假命题，则a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据特称命题为假命题转化为全称命题是真命题，进而转化为恒成立问题，
利用恒成立问题即可求解.
【详解】命题p：“，”为假命题，则“，”为真命题.
则函数的图象要恒在图象的上方（两个式需都有意义）.
作图可知.

所以a的取值范围是.
故答案为：.

四、解答题
13．下列各题中，是的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”，下同）？
（1）；（2）有意义；（3）.
【答案】（1）是的必要不充分条件；（2）是的充要条件；（3）是的充分不必要条件.
【解析】（1）根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果；
（2）根据有意义，得到，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果；
（3）根据，得到，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】（1）因为由不能推出；由能推出；所以是的必要不充分条件；
（2）因为有意义，所以，所以，即是的充要条件；
（3）由得，所以由能推出；由不能推出；所以是的充分不必要条件.
【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.
14．命题：“，”，命题：“，”，若和中至少有一个是假命题，求实数的取值范围．
【答案】．
【分析】先求出和均为真命题时的实数的取值范围，再利用补集求出符合题意的实数的取值范围．
【详解】若是真命题，则对于恒成立，所以，
若是真命题，则关于的方程有实数根，
所以，即，
若和同时为真命题，则，所以，
所以当和中至少有一个是假命题时，有．
15．已知全集，集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）确定，，再计算补集得到答案.
（2）根据充分条件得到，得到，解得答案.
【详解】（1），故，，

（2）“”是“”的充分条件，故，故，
解得，故a的取值范围是
16．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．
(1)若，求；
(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案；
（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解.
【详解】（1）当时，集合，集合，所以；
（2）i.当选择条件①时，集合，
当时，，舍；
当集合时，即集合，时，，
此时要满足，则，解得，
结合，所以实数m的取值范围为或；
ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时，
集合是集合的子集，即，解得，
所以实数m的取值范围为或；
iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得，
所以实数m的取值范围为或；
故，实数m的取值范围为或.