2024高考数学第一轮复习：专题2.1 函数及其表示（解析版）

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知识点总结
(1)集合A,B及其对应关系f:A→B构成的函数中,函数的值域C不是集合B,而是C⊆B.
(2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[-2,0].
2.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法.
3.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.
分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
与x轴垂直的直线与一个函数的图象至多有一个公共点.
典型例题分析
考向一 函数的定义域
典例一
1.函数f(x)=+ln(2x-x2)的定义域为( B )
A.(2,+∞)B.(1,2)
C.(0,2)D.[1,2]
解析:要使函数有意义则解得12.已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是( B )
A.(-12,0)B.(-12,0]
C.(,+∞)D.(-∞,]
解析:因为f(x)=的定义域为R,所以只需分母不为0即可,
所以a=0或可得-123.已知函数f(x)=(1-x+(2x-1)0,则f(x)的定义域为 .
解析:将(1-x化为,所以x<1,又因为2x-1≠0,所以x≠.
综上,定义域为(-∞,)∪(,1).
答案:(-∞,)∪(,1)
解题分析与总结
(1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成,则函数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集.
(2)求抽象函数的定义域
①若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域.
注意:1.求函数定义域时,对函数解析式先不要化简.
2.求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.
考向二 求函数的解析式
典例二
1.已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,则f(x)= .
解析:(解方程组法)因为2f(x)+f()=3x,①
把①中的x换成,得2f()+f(x)=.②
联立①②可得
解此方程组可得f(x)=2x-(x≠0).
答案:2x-(x≠0)
2.已知在定义域内单调递增的一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+6,则f(x)的解析式为 .
解析:
设f(x)=ax+b(a>0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+6,于是有解得或(舍去),所以f(x)=2x+2.
答案:f(x)=2x+2
解题分析与总结
1.已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式,常用换元法或配凑法或两种方法并用,换元法更具有一般性,在使用时一定要注意新元的取值范围.
2.换元法的一般方法是:令t=g(x),从中求出x=(t),然后代入表达式求出f(t),再将t换成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值
范围.
考向三 分段函数及其应用
微考点1 分段函数求值
已知f(x)=则f[f()]+f(-)的值等于 .
解析:由题意得f()=2×=,f[f()]=f()=2×=.
f(-)=f(-)=f()=2×=,
所以f[f()]+f(-)=+=.
答案:
解题分析与总结
求分段函数的函数值的策略
(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值.
(2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
微考点2 分段函数与方程
已知函数f(x)=若f(a)=2,则实数a=( )
A.-1或2B.2或4
C.-2或4D.-1或4
解析:法一 当a<0时,由a2-a=2解得a=-1或a=2(舍去);
当a≥0时,由=2可得a=4.故选D.
法二 结合选项可知a=2时≠2,因此排除A,B.对于a=-2时, (-2)2-(-2)=6≠2,排除C.故选D.
解题分析与总结
根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时,应根据分段函数各段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.
微考点3 分段函数与不等式
函数f(x)=则满足f(x)+f(x-)>1的x的取值范围是 .
解析:当x>时,f(x)+f(x-)=2x+>2x>>1;
当02x>1;
当x≤0时,f(x)+f(x-)=x+1+(x-)+1=2x+,
所以f(x)+f(x-)>1⇒2x+>1⇒x>-,即-综上,x∈(-,+∞).
答案:(-,+∞)
解题分析与总结
求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.
微考点4 分段函数的值域
设函数f(x)=若F(x)=f(x)+x,x∈R,则F(x)的值域为( )
A.(-∞,1]
B.[2,+∞)
C.(-∞,1]∪[2,+∞)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
解析:当x>0时,F(x)=+x≥2=2,当且仅当=x,即x=1时取等号;当x≤0时,F(x)=ex+x,根据指数函数与一次函数的单调性得F(x)是增函数,F(x)≤F(0)=1,所以F(x)的值域为(-∞,1]∪[2,+∞).故选C.
解题分析与总结
分段函数的值域是各段函数值域的并集.
基础题型训练
一、单选题
1．下列各组函数中，是相等函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【分析】依据各选项中两个函数的定义域和对应法则是否相同逐项检验即可.
【详解】对于A，，对应法则不一致，故两个函数不是相等的函数，故A错.
对于B，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不一致，
故它们不是相同的函数，故B错.
对于C，的定义域为，的定义域为，
故两个函数不是同一函数，故C错误.
对于D，两个函数的定义域均为，且，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数相等的判断，一般依据函数三要素来判断，本题属于基础题.
2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．，D．，
【答案】B
【分析】由相同函数有相同定义域及相同解析式判断各选项即可.
【详解】相同函数有相同定义域及相同解析式.
对于选项A：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误；
对于选项B：函数与函数 的定义域都是，
又，则两函数解析式也相同，则为同一函数，故B正确.
对于选项C：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故C错误；
对于选项D：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误．
故选：B
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项.
【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．
故选C．
【点睛】本题考查函数的表示方法，关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题.
4．函数的值域为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数，可得，两边平方，即可求解．
【详解】解：函数，可知函数的定义域为．
当时，可知函数是递增函数，可得
当时，可得，
两边平方，
，
即；
，
可得：，
．得．
由，
．
可得：
综上可得．
函数的值域为．
故选：．
【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．
5．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出分段函数的图象，并计算得出，，观察图象可得结果.
【详解】可知在单调递增，在单调递增，且，，画出函数图象，
观察图象可知，要使在上的最大值为4，需满足．
故选：C.
6．下列各函数中，表示相等函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与(且)
【答案】D
【解析】本题可依次判断四个选项中函数的定义域、对应关系、值域是否相同，即可得出结果.
【详解】A项：函数定义域为，函数定义域为，A错误；
B项：函数定义域为，函数定义域为，B错误；
C项：函数值域为，函数值域为，C错误；
D项：函数与函数(且)定义域相同，对应关系相同，D正确.
故选：D
【点睛】方法点睛：判断两个函数是否相同，首先可以判断函数的定义域是否相同，然后判断两个函数的对应关系以及值域是否相同即可，考查函数定义域和值域的求法，是中档题.
二、多选题
7．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，就是“同族函数”.下列可用来构造同族函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】函数与是偶函数可判断出是同族函数，函数关于对称，在的左右两边函数值相等，所以也可构成同族函数，函数是单调函数，所以不能构成同族函数.
【详解】函数与是偶函数，所以可构造“同族函数”，函数在定义域上为增函数，所以不满足“同族函数”，函数，与函数，的值域相同，所以是同族函数.
故选：ACD.
8．下列函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】BD
【解析】判断每个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为同一个函数，否则不是同一个函数.
【详解】A中的定义域为，的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数；
B中，的定义域都是R，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数；
C中的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数；
D中定义域为R，的定义域为R，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数.
故选：BD
【点睛】方法点睛：判断两函数是否表示同一个函数的方法:看定义域和对应关系是否都相同，当二者都相同时，函数为同一个函数，否则不是同一个函数.
三、填空题
9．已知为一个确定的区间，则a的取值范围是________.
【答案】.
【解析】利用区间的定义：右端点大于左端点即可求解.
【详解】解析由为一个确定的区间知，解得，
因此a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题考查区间的定义，需掌握区间的定义，属于基础题.
10．值域：与的值____的的值的集合.
【答案】相对应
【分析】值域的定义
【详解】值域就是自变量经过对应法则计算之后所对应的的值的集合
故答案为：相对应
11．表示不超过的最大整数，如，，，若，则的值域为___________.
【答案】
【解析】利用分离常数法可求得的值域，根据新定义运算可化简为，从而利用的值域求得结果.
【详解】由题意得：，
，，，
，，，，
，又，，即的值域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数值域的求解问题，涉及到分离常数法求解函数值域、函数新定义运算问题的求解等；解题关键是能够准确理解新定义运算的含义，从而将所求函数解析式进行化简.
12．函数的定义域为，则的定义域为________.
【答案】
【分析】根据抽象函数的定义域求的定义域即可.
【详解】由于函数的定义域为，则，所以函数的定义域为，
则函数中，所以，即的定义域为.
故答案为：.
四、解答题
13．设函数
(1)求函数的定义域；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的解析式，结合函数定义域的定义，即可求解；
（2）根据函数的解析式，分别代入，即可求解的值.
【详解】（1）解：由函数，可得函数的定义域为.
（2）解：由，
所以.
14．（1）已知函数，求的解析式；
（2）已知为二次函数，且，，求的解析式.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用换元法可求得函数的解析式；
（2）设，由可求得的值，即可的函数的解析式.
【详解】（1）设，可得，则，
故；
（2）因为，可设，
则，解得，因此，.
15．已知函数.
（1）求，的值；
（2）求证是定值；
（3）求：的值.
【答案】（1）1；1；（2）1；（3）.
【分析】（1）由，将代入计算求解.
（2）由，将代入计算求解.
（3）根据（2）的结论，由原式的规律和的个数计算求解.
【详解】（1）因为，
所以，；
（2）；
（3）由，
所以，
，
【点睛】关键点点睛：本题关键是论证的值.
16．已知函数.
（1）求的值；
（2）当时，求的值域.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出的取值范围，再结合函数的解析式，可计算出；
（2）分别求出函数在、、时的值域，取并集即可得出函数在区间上的值域.
【详解】（1），
当时，，所以；
（2）①当时，，所以；
②当时，；
③当时，，此时，所以.
综上所述，当时，函数的值域是.
【点睛】本题考查分段函数值的计算，同时也考查了分段函数值域的计算，解题时要对自变量的取值进行分类讨论，并选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题.
提升题型训练
一、单选题
1．已知，则的值为（ ）
A．4B．C．16D．
【答案】C
【分析】根据函数解析,先求得的值,再代入即可求解.
【详解】根据题意令
解得
所以
故选:C
【点睛】本题考查了复合函数函数值的求法,属于基础题.
2．函数的最大值是
A．-1B．1C．-2D．2
【答案】D
【解析】利用换元法,可设,则,代回可得,由二次函数的性质解得最值即可
【详解】设,则,
所以,
则当时,,
故选:D
【点睛】本题考查换元法求函数最值,使用换元法时要注意新元的取值范围
3．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系下中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由抛物线开口向下，可得，可排除A，C，根据抛物线过点得，可知过原点可排除B，进而可得正确选项.
【详解】因为二次函数开口向下，所以，
所以的图象必在二四象限，可排除选项A，C
因为过点，所以，所以，
所以即过点，故选项B不正确，选项D正确；
故选：D.
4．定义：若函数的图象经过变换后所得的图象对应的函数与的值域相同，则称变换是的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：
①将函数的图象关于轴对称；
②将函数的图象关于轴对称；
③将函数的图象关于点对称.
④将函数的图象关于点对称.
其中是的同值变换的有（ ）
A．①②B．①③④C．①④②D．①③
【答案】B
【解析】根据同值变换的定义，先求出对应的函数解析式，求出相应的值域，结合值域关系进行判断即可.
【详解】解：①的值域为将函数的图象关于轴对称得到的值域为，值域相同是同值变换.
②，值域为，将函数的图象关于轴对称得到，即，两个函数的值域不相同，不是同值变换.
③，函数关于对称，函数值域为，将函数的图象关于点对称后函数是自身，满足值域相同，是同值变换
④的值域为，则的图象关于点对称后的值域仍然为，则两个函数的值域相同，是同值变换.
故是的同值变换的有①③④，
故选：B.
【点睛】本题主要考查函数图象变换以及函数值域的求解判断，结合新定义求出函数的解析式以及值域是解决本题的关键.
5．定义区间，，，的长度均为，用表示不超过的最大整数，例如，，记，设，，若用表示不等式解集区间的长度，则当时有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先化简，再化简，再分类讨论，当时，当时，当时，最后根据讨论的结果求出区间长度即可.
【详解】，
由得，即，
当时，，不等式为，即，则为；
当时，，不等式为，则为；
当时，，不等式为，则为，
此时区间的长度为.
故选：.
6．函数=，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A．（－，1）B．（－，1]
C．（0，1）D．[0，+）
【答案】A
【解析】根据分段函数的表达，画出函数的图像，结合函数和的图像有且只有两个交点，来求得实数的取值范围.
【详解】当时，，故.当时，，故.以此类推，当时，.由此画出函数和的图像如下图所示，由图可知的取值范围是时，和的图像有且仅有两个交点.即方程有且只有两个不相等的实数根.故本小题选A.
【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查方程的根和函数的零点问题，综合性较强，属于中档题.
二、多选题
7．具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据“倒负”变换的函数的定义依次判断即可得答案.
【详解】解：对于A，，，满足题意；
对于B，，则，不满足；
对于C，，，不满足；
对于D， ，即，则满足“倒负”变换.
故选：AD.
8．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的值可以是（ ）．
A．B．1C．D．2
【答案】CD
【分析】根据得，进一步求出其他区间的函数表达式，再结合图形和不等式即可求解.
【详解】由得，则.
当时，在上递增，在上递减，所以.
当时，，其最大值为1，同理当时，,依此类推，可知当时，恒成立.
又时，，当时，得或，
结合图象，知.
所以恒成立时，故选项C，D正确.
故选：CD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是通过迭代求函数的最值，然后再结合图形解不等式.
三、填空题
9．设函数，则__________．
【答案】-2
【分析】直接代入解析式求解即可.
【详解】因为函数，且
所以，故答案为.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于基础题.
10．函数在区间上的值域是______.
【答案】
【分析】根据函数单调性，从而求出函数的值域即可．
【详解】在区间单调递减，则当时， 当时，
故值域为
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的单调性应用，考查求函数的值域问题，是一道基础题．
11．定义，若，则使不等式成立的的取值范围是____
【答案】
【分析】首先利用题中所给函数的条件，确定出函数的解析式，画出函数的图象，从图象中判断出自变量离1越近，函数值越大，得到等价的不等式，求解即可得结果.
【详解】因为，，
所以，
画出函数图象如图所示：
不等式等价于如下不等式：，
即，解得或，
所以不等式的解集为，
即答案是：.
【点睛】该题考查的是有关利用函数值的大小确定自变量大小的问题，涉及到的知识点有新函数的定义，在解题的过程中，注意应用函数的图象，解决利用函数值的大小得自变量大小的问题，属于简单题目.
12．函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题意可得恒成立，分和两种情况分别考虑，解不等式即可得到所求范围．
【详解】因为函数的定义域为 R，所以的解为R，
即函数的图象与x轴没有交点，
（1）当时，函数与x轴没有交点，故成立；
（2）当时，要使函数的图象与x轴没有交点，则，解得.
综上：实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义域问题，注意运用分母不为，以及二次不等式恒成立问题解法，属于中档题．
四、解答题
13．若函数.
（1）求、；
（2）求函数的定义域.
【答案】（1）,；（2）.
【解析】（1）利用函数的解析式可求得、的值；
（2）根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，进而可求得函数的定义域.
【详解】（1），，；
（2）对于函数，则有，解得且.
因此，函数的定义域为.
【点睛】本题考查函数值的计算，同时也考查了函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
14．给定函数，，.
(1)在所给坐标系（1）中画出函数，的大致图象；（不需列表，直接画出.）
(2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用解析法和图象法表示函数.（的图象画在坐标系（2）中）
(3)直接写出函数的值域.
【答案】(1)图象见解析.
(2)，图象见解析.
(3).
【分析】（1）根据函数的解析式，在坐标系中分别描出5个点，再将各点连接起来，即可得，的大致图象；
（2）根据函数的定义，结合（1）所得图象写出解析式，进而画出的图象.
（3）由（2）所得图象直接写出的值域.
【详解】（1）
∴函数，的大致图象如下图示：
（2）由，可得或，结合（1）的图象知：
，则的图象如下：
（3）由（2）所得图象知：的值域为.
15．已知函数的定义域为集合，集合，.
(1)求集合和；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)或.
【分析】（1）求出函数的定义域 ，结合集合 ，进而结合集合交集，并集，补集的定义，可得答案．
（2）若 ，则 ，分 和 ，两种情况讨论满足条件的实数的取值，最后综合讨论结果，可得答案．
（1）
由，得：，∴，
或 或，
（2）
由已知得：，
①若，则，∴，符合题意；
②若，则，解得：
综上，实数的取值范围为或.
16．设是定义在上的函数，满足，当时，．
（）求的值，试证明是偶函数．
（）证明在上单调递减．
（）若，，求的取值范围．
【答案】(1) ；证明见解析.
(2) 证明见解析.
(3) .
【详解】分析：（1）先求得，再求得，令，则，从而可得结论；（2）设，，，，∵，则，即，从而可得结果；(3)求得，
可得，化为，从而可得结果.
详解：（）∵
令得
∴．
令，，，，
令，则．
即是定义在上的偶函数．
（）∵，
∴，
设，，，
，
∵，
则，
即，
即在上单调递减．
（）∵，
∴，
∴，
∵为偶函数，且在上单调递减，
∴，
综上，的取值范围为．
点睛：本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性，属于难题. 利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.
-2
-1
0
1
2
-6
0
2
0
-6
-6
-3
0
3
6