2024高考数学第一轮复习：专题2.3 函数的奇偶性与周期性（解析版）

这是一份2024高考数学第一轮复习：专题2.3 函数的奇偶性与周期性（解析版），共28页。试卷主要包含了偶函数，奇函数，已知非空集合A，B满足，若函数同时满足等内容，欢迎下载使用。

知识点总结
知识点一 函数奇偶性的几何特征
一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
知识点二 函数奇偶性的定义
1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
知识点三 奇(偶)函数的定义域特征
奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
知识点四 用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点五 奇偶性与单调性
若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
典型例题分析
考向一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝eq \f(1,x)；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
(3)f(x)＝eq \f(x,x－1)；
(4)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2).
解 (1)f(x)＝eq \f(1,x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝eq \f(1,－x)＝－eq \f(1,x)＝－f(x)，
∴f(x)＝eq \f(1,x)是奇函数．
(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．
(3)f(x)＝eq \f(x,x－1)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
∵定义域不关于原点对称，
∴f(x)＝eq \f(x,x－1)既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)的定义域为{－1,1}．
∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，
∴f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)既为奇函数，又为偶函数．
反思感悟 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
①定义域关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系．
(2)图象法．
考向二 利用函数的奇偶性求解析式
例2 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当xf(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．
反思感悟 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
基础题型训练
一、单选题
1．已知函数是定义在R上的偶函数，时，，那么的值是多少（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性，，即可求解，
【详解】∵是定义在R上的偶函数，∴，
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性，属于基础题.
2．已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．B．0C．1D．2．
【答案】B
【分析】由奇偶性及对称性得函数的周期性，由周期性计算函数值，
【详解】由及是奇函数得，，
所以，所以是周期函数，周期为4，
，
故选：B．
3．已知函数与函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则
A．1B．2C．0D．-1
【答案】D
【分析】根据条件可得出f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），从而根据f（x）+g（x）＝x3+x2+x即可得出f（x）﹣g（x）＝﹣x3+x2﹣x，从而可求出f（1）﹣g（1）＝﹣1．
【详解】∵f（x）与g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
∴f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），且f（x）+g（x）＝x3+x2+x，
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣x3+x2﹣x，
∴f（1）﹣g（1）＝﹣1+1﹣1＝﹣1．
故选：D．
【点睛】本题考查了奇函数和偶函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
4．已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（ ）
A．①正确，②错误B．①错误，②正确
C．①､②都正确D．①､②都错误
【答案】B
【分析】在同一平面直角坐标系画出与的图象，结合函数图象即可判断①；再分别求出与的解，即可判断无解的条件，从而判断②，即可得解；
【详解】解：在同一平面直角坐标系画出与的图象如下所示：
由，解得，由函数图象可知当或时为偶函数，故①错误；
令，解得，令，解得，因为，，，所以当，时满足无解，故存在无穷多非空集合对，使得方程无解，故②正确；
故选：B
5．已知定义在上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先通过函数的性质得到的对称性和单调性，再利用的性质去掉中的，然后解不等式即可.
【详解】函数是偶函数, 且在上单调递增，
即函数的对称轴为，
又函数向右平移1个单位可得，
函数的对称轴为，且在上单调递增，
由得
解得或
故选：B.
6．若函数同时满足:
①对于定义域上的任意,恒有；
②对于定义域上的任意,当时,恒有；
则称函数为“理想函数”.给出下列三个函数：（1）（2）（3），其中能被称为“理想函数”的有（ ）个.
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】满足①为奇函数，满足②在定义域内是减函数，对（1）（2）（3）中的三个函数逐个判断，即可得结果.
【详解】对于①对于定义域上的任意,恒有；
则有，故满足条件①为奇函数；
对于②对于定义域上的任意,当时，
不妨设，恒有，
，
故满足②条件的函数是在定义域内是减函数；
所以“理想函数”即为定义域内是减函数且为奇函数.
（1），在定义域不是减函数，故不是；
（2）不是奇函数，故不是；
（3），
，所以为奇函数，
作出其图像，函数在定义域内是减函数，故为“理想函数”.
故选:A
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是解题的关键，属于中档题.
二、多选题
7．已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（ ）
A．4与1B．5与2C．5与3D．6与4
【答案】CD
【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性，结合函数奇偶性的性质进行求解即可.
【详解】令，，
∴，∴为奇函数，
设的最大值为t，最小值为，
∴，，可得，
∵，∴2b为偶数，
故选：CD．
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．是图象的一条对称轴
D．在上单调递增
【答案】ABD
【解析】根据题意先求解出时，的解析式，然后根据已知条件作出的图象，根据图象即可判断出是否为对称轴以及在上是否单调递增.
【详解】当时，，所以，所以，
所以，作出图象如下图所示：
由图象可知：，所以，故A正确；
当时，故B正确；
由图象可知显然不是的对称轴，故C错误；
由图象可知在上单调递增，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】本题考查奇函数的综合应用，其中涉及函数的解析式、单调性、对称性，考查学生综合分析问题的能力，难度一般.
三、填空题
9．函数为偶函数，当时，，则时，________．
【答案】
【分析】由，可得，根题意得到，代入化简，即可求解.
【详解】由，可得，
因为函数为偶函数，且当时，，
所以，
即时，.
故答案为：.
10．已知函数，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】先由函数奇偶性的概念判断为奇函数；再由二次函数单调性，得到函数在上是减函数；将不等式化为，求解，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，当时，，；
当时，，；
当时，；所以为奇函数；
又当时，单调递减；所以时，也单调递减；
即函数在上是减函数；
则由得，则，即，
即实数的取值范围是.
故答案为
【点睛】本题主要考查由函数单调性解不等式，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型.
11．已知定义在的偶函数在是增函数，且，则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可．
【详解】是偶函数，定义域为，
又在上是增函数，且（1），
不等式等价为且，
则或，
即不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于基础题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
12．已知是R上的偶函数，且，当时，，则__________.
【答案】
【分析】根据，求得函数的周期，再根据函数的周期将所求的转化到已知区间，即可得解.
【详解】解：当时，，
则，，
因为，
所以，
所以函数是以8为周期的周期函数，
则，
由，得，
所以.
故答案为：.
四、解答题
13．函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式；
【答案】f（x）＝
【解析】根据已知可得，设x0，求出，再由奇偶性，求出即可.
【详解】设x0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f（x）＝x＋1，
∴当x