2024高考数学第一轮复习：专题2.6 幂函数（原卷版）

2.6  幂函数

思维导图

知识点总结

知识点一　幂函数的概念

一般地，函数   叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

知识点二　五个幂函数的图象与性质

1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．

2．五个幂函数的性质

知识点三　一般幂函数的图象特征

1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点    ．

2．当α>0时，幂函数的图象通过   ，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象    ；当0<α<1时，幂函数的图象    ．

3．当    时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．

4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．

5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

典型例题分析

考向一 幂函数的概念

例1　(1)下列函数：

①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

(2)已知是幂函数，求m，n的值．

反思感悟　判断函数为幂函数的方法

(1)自变量x前的系数为1.

(2)底数为自变量x.

(3)指数为常数．

考向二 幂函数的图象及应用

例2　(1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．

反思感悟　(1)幂函数图象的画法

①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．

②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．

(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法

首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．

考向三 比较幂值的大小

例3　比较下列各组数的大小．

(1)0.5与0.5；

(2)－1与－1；

(3)与.

反思感悟　此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．

考向四 幂函数性质的应用

例4　已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足

的a的取值范围．

通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养．

基础题型训练

一、单选题

1．已知函数是幂函数，则函数(，且)的图象所过定点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

2．函数的单调减区间是（    ）

A． B． C． D．和

3．已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（    ）

A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2

4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．下列比较大小中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

6．“”是“函数在上单调递增”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

二、多选题

7．关于幂函数是常数），结论正确的是（    ）

A．幂函数的图象都经过原点

B．幂函数图象都经过点

C．幂函数图象有可能关于轴对称

D．幂函数图象不可能经过第四象限

8．已知函数的图象经过点，则（    ）

A．的图象经过点（2，4） B．的图象关于原点对称

C．在上单调递减 D．在内的值域为

三、填空题

9．已知幂函数在上单调递增，则m＝______．

10．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.

11．若函数为奇函数，则的取值范围为__________．

12．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为_________．

四、解答题

13．在同一坐标系内画出下列函数的图象，并加以比较：

（1），；    

（2），.

14．已知函数为幂函数，且为奇函数.

（1）求的值；

（2）求函数在的值域.

15．已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．

16．已知函数为奇函数，其中

求的值；

求使不等式成立的的取值范围.

提升题型训练

一、单选题

1．幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的一个单调递减区间是（    ）

A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）

2．数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.“双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知识对“双11”相关优惠活动进行研究.已知2019年“双11”期间某商品原价为元，商家准备在节前连续2次对该商品进行提价且每次提价，然后在“双11”活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价.该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格元相比.

A．相等 B．略有提高 C．略有降低 D．无法确定

3．已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

4．已知幂函数为偶函数，则关于函数的下列四个结论中正确的是（    ）

A．的图象关于原点对称 B．的值域为

C．在上单调递减 D．

5．定义在R上的偶函数在[0，＋∞)上是增函数，则方程＝的所有实数根的和为(　 　)

A．1 B．2 C．3 D．4

6．下列命题中，正确的有（    ）个

①对应：是映射，也是函数；

②若函数的定义域是（1,2），则函数的定义域为；

③幂函数与图像有且只有两个交点；

④当时，方程恒有两个实根.

A．1 B．2 C．3 D．4

二、多选题

7．已知函数f（x）=xa的图象经过点（，2），则（    ）

A．f（x）的图象经过点（2，4） B．f（x）的图象关于原点对称

C．f（x）在（0，+∞）上单调递增 D．f（x）在（0，+∞）内的值域为（0，+∞）

8．设函数，则（    ）

A．存在实数，使的定义域为R

B．函数一定有最小值

C．对任意的负实数，的值域为

D．若函数在区间上递增，则

三、填空题

9．已知幂函数f(x)=xa的图象过点(4,2),则a=_______

10．实数满足，则实数的取值集合为__________.

11．已知幂函数的图像关于直线对称，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为______．

12．设函数，则使成立的的取值范围是___________.

四、解答题

13．已知幂函数的图像经过点，求这个幂函数的解析式.

14．已知幂函数图像不经过第三象限；

(1)求的值；

(2)求函数的值域.

15．已知函数.

（1）若是实数集上的奇函数，求的值；

（2）用定义证明在实数集上的单调递增；

（3）若的值域为，且[，求的取值范围.

16．已知幂函数满足．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．