2024高考数学第一轮复习：专题5.3 平面向量的数量积及其应用 （解析版）

这是一份2024高考数学第一轮复习：专题5.3 平面向量的数量积及其应用 （解析版），共25页。试卷主要包含了平面向量数量积的有关概念，平面向量数量积的运算律，平面几何中的向量方法等内容，欢迎下载使用。

5.3 平面向量的数量积及其应用
思维导图



知识点总结
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.

当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.
(3)投影向量
设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量.

向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos__θ).
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
[常用结论]
1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式：
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.



典型例题分析
考向一 数量积的计算
例1 (1)(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
答案　C
解析　由|a－2b|＝3，
可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，
又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1，故选C.
(2)(2023·八省八校联考)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则·＝________.

答案　0
解析　法一　·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝0＋||·||cos ＋||||cos ＋0＝－＝0.
法二　建立平面直角坐标系，如图，

则A(0，2)，C，N，
则＝，＝，
则·＝－－＋＋＝0.
感悟提升　平面向量数量积的两种运算方法：
(1)基底法，当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法，当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.


考向二 数量积的应用
角度1　夹角与垂直
例2 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)
A.－6 B.－5
C.5 D.6
答案　C
解析　由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，
即＝，
即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
(2)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________.
答案　
解析　因为＝λ＋，且⊥，
所以有·＝(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·
＝(λ－1)·－λ2＋2＝0，
整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，
解得λ＝.
角度2　平面向量的模
例3 (2023·华大新高考联盟质测)已知平面向量a，b，c满足b⊥c，|b|＝|c|＝2，若a·b＝a·c＝8，则|a|＝________.
答案　4
解析　依题意，a·b－a·c＝a·(b－c)＝0，
所以a⊥(b－c)，
而b⊥c，a·b＝a·c＝8，|b|＝|c|＝2，
故〈a，b〉＝〈a，c〉＝45°，
故a·b＝|a||b|cos 45°＝8，解得|a|＝4.
感悟提升　1.求解平面向量模的方法
(1)利用公式|a|＝.
(2)利用|a|＝.
2.求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
考向三 平面向量与三角的结合应用
例4 (多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则(　　)
A.||＝|| B.||＝||
C.·＝· D.·＝·
答案　AC
解析　由题意可知，||＝＝1，
||＝＝1，
所以||＝||，故A正确；
取α＝，则P1，
取β＝，则P2，
则||≠||，故B错误；
因为·＝cos(α＋β)，·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，
所以·＝·，故C正确；
因为·＝cos α，·＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，
取α＝，β＝，
则·＝，·＝cos ＝－，
所以·≠·，故D错误.
感悟提升　向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，要注意向量夹角与三角形内角的区别与联系.

基础题型训练

一、单选题
1．已知两个平面向量的夹角为，且，则等于（   ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】由平面向量数量积的运算律求解，
【详解】

故选：A
2．已知向量满足，则（    ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.
【详解】.
故选：C
3．已知向量满足，则（    ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】利用向量的数量积运算和模的运算法则可得，由此根据已知条件可求得答案.
【详解】∵,
又∵
∴，∴，∴，
故选：B.
4．在等腰三角形中，，，若P为边上的动点，则（    ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】取的中点为，连接，可得及，利用数量积的运算律及中线向量公式可求．
【详解】取的中点为，连接，
因为，故，故，
又，
故选：B．

5．设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影.
【详解】在上的投影为，
故选：B.
【点睛】本小题主要考查向量投影的概念和运算，考查单位向量，属于基础题.
6．已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为（   ）
A． B． C．6 D．13
【答案】B
【分析】根据向量数量积的定义及运算法则计算求解即可.
【详解】
由,


.
故选：B.

二、多选题
7．已知单位向量，，则下列式子正确的是（ 　  ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用单位向量的定义可判断C，D，利用平面向量的数量积公式计算可判断A，B.
【详解】解：向量，为单位向量，所以有，故A正确；
向量夹角未知，所以B不正确；
，所以，所以C正确；
向量，方向不一定相同，所以D不正确.
故选：AC
8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据正八边形的性质、平面向量数量积的定义及向量加法的平行四边形法则判断即可；
【详解】解：依题意，故A错误；
，故B正确；
因为，即，
所以以，为邻边的平行四边形为正方形，对角线长为，所以，故C正确；
因为，所以，故D错误；
故选：BC

三、填空题
9．已知，，且与的夹角为，则______．
【答案】
【分析】根据数量积的定义计算可得；
【详解】解：因为，，且与的夹角为，
所以
故答案为：
10．在边长为4的等边中，，则___________.
【答案】.
【分析】画出图形，利用已知条件，转化求解向量的数量积即可．
【详解】解：边长为4的等边中，，，
可得是的中点，是的中点，
所以，
则
．
故答案为：．

11．若向量、满足、，且、的夹角为，则______ ．
【答案】
【分析】根据数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】解：因为、，且、的夹角为，
所以，
所以

.
故答案为：
12．如图，正的外接圆半径为，点是劣弧上的一动点，则的最小值为_________．

【答案】/
【分析】由圆的性质可知是的角平分线，故可知与同向共线，再由平方可得的模为1，原式可化为换求的最小值.
【详解】由圆的性质可知，，
，是与同向的单位向量，
设，原式可化为,
由外接圆半径可知，，
,
当时，有最小值，
即的最小值为.
故答案为：

四、解答题
13．已知向量满足，且，求证．
【答案】证明见解析
【解析】要证，只需证明，再结合平面向量的数量积运算即可得证.
【详解】证明：∵，
∴．
故命题得证.
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属基础题.
14．设和是两个单位向量，其夹角是，求向量与的夹角.
【答案】
【分析】根据题意分别求出以及，进而根据平面向量的夹角公式即可求出结果.
【详解】∵且与的夹角是，
∴，
，


设与的夹角为θ，则
又，∴，故与的夹角为.
15．已知，且向量在向量方向上的投影数量为.
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】根据数量积的概念、投影数量的概念和向量垂直的充要条件即可求解.
【详解】（1）因为，所以.
又在方向上的投影数量为，
所以，
所以，所以.
（2）.
（3）因为与互相垂直，
所以，
所以，所以.
16．设且，k、t是两个不同时为零的实数.
(1)若与垂直，求k关于t的函数关系式；
(2)求出函数的最小值.
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）由得，依题意相互垂直，它们的数量积为零，这个等式，化简得到的表达式；
（2）由于的表达式为二次函数，故利用配方法可求得其最小值.
（1）
，，即，
.
，∴，
由得或，∵k、t是两个不同时为零的实数，∴.
故.
（2）
由（1）知=，，
故函数的最小值为.




提升题型训练

一、单选题
1．已知，，设与的夹角为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的模求出，再结合公式计算即可.
【详解】由题意知，
，
所以，
，
又，
所以，
故选：B
2．已知非零向量，满足，且，则向量，的夹角（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据得到，再由向量数量积的运算法则，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】，，，
．，．
故选：D.
3．已知的外接圆半径为1，圆心为O，且，则（    ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由，变形为，两边平方求解.
【详解】因为的外接圆半径为1，圆心为O，且，
所以，
两边平方得，
解得，
故选：B
4．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】两边平方后可得，再由夹角公式求解即可.
【详解】∵，平方得，
∵，，∴，
设，的夹角为，其中，可得，
所以.
故选：C.
5．点M在边长为4的正△ABC内（包括边界），满足，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得的取值范围，利用向量数量积的运算求得的取值范围.
【详解】
分别是的中点，则，
由于在三角形内（包括边界），且，
所以点的轨迹是，所以.


.
故选：B
  
6．的外接圆的圆心为，半径为且，则向量在向量方向上的投影为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：为中点，又的外接圆的圆心为，所以，因为，所以，因此向量在向量方向上的投影为，选D.
考点：向量投影
【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

二、多选题
7．边长为1的菱形中，，已知向量满足，则下列结论中正确的有（    ）
A．为单位向量 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据单位向量的定义即可判断A选项；根据向量的线性运算和共线向量的概念即可判断B选项；由即可判断C选项；根据向量的线性运算和向量的垂直关系即可判断D选项.
【详解】解：易知是边长为1的等边三角形，而  ∴A正确；
，而，∴，故B正确；
∵夹角为，C不正确；
取中点E，故，故D正确．
故选：ABD.
8．已知是的外心，若，则的取值可能是（    ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】AB
【分析】结合图形，将原式两边平方得，由图形可知，不能都是正数，利用三角代换，求函数的值域，即可判断选项.
【详解】如图，，所以，
，
，即，
如图可知，点在优弧上，所以不能都是正数，
所以设，，，
即

故选：AB

三、填空题
9．若向量，，，则与的夹角为___________.
【答案】
【分析】先由，求出，利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】，，，
，，
，
，
，
又，
则与的夹角为.
故答案为：
10．已知平面向量、的夹角为，且，，则______．
【答案】
【解析】根据、的夹角为，且，，由利用数量积求解.
【详解】因为、的夹角为，且，，
所以，
故答案为：.
11．在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意可得点P在以AB为直径的圆O上运动，利用定点到圆上点的位置关系结合投影向量的模可得临界点，即可求解向量积的取值范围.
【详解】解：由，可知点P在以AB为直径的圆O上运动，
设线段CO与圆O交于点D，延长CO与圆O交于点E，则，，．
则当点P与D重合时，在上的投影向量的模最小，此时；
当点P与E重合时，在方向上的投影向量的模最大，此时．
所以的取值范围是．
故答案为：

12．在中，，，则边的长度为__．
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用向量加法及数量积的运算律变形计算作答.
【详解】在中，，，
则有，解得，
所以边的长度为3.
故答案为：3

四、解答题
13．已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)或
(3)

【分析】（1）根据，代入数值，即可求出结果；
（2）因为，所以或，再根据即可求出结果；
（3）因为，所以，再根据即可求出结果.
（1）
解：因为，，，所以；
（2）
解：因为，所以或，
当时，；
当时，；
所以的值为或.
（3）
解：因为，所以，
所以.
14．已知向量、中至少有一个不为零向量，对于、及向量、，求函数取得最小值时的条件．
【答案】当时，函数取得最小值
【分析】对解析式进行化简，然后根据题意可得，则函数是一个开口向上的二次函数，故求其对称轴即可求解
【详解】，
因为向量、中至少有一个不为零向量，则，
所以当时，函数取得最小值
15．已知,,.
（1）求与的夹角；
（2）求和.
【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式求得，从而求得的值；
（2）根据，，运算求得结果.
【详解】（1）因为,
所以.
因为,,
所以,
解得,所以.
（2）,
所以,
同样可求.
【点睛】该题考查的是与向量有关的问题，涉及到的知识点有向量的数量积的运算公式，向量夹角的余弦公式，向量的模的转化，正确运用公式是解题的关键.
16．如图，边长为2的菱形中，，、分别是，的中点，为、的交点，若

（1）试用，表示，，；
（2）求的值.
【答案】（1），，；（2）.
【分析】（1）由题意，根据平面向量的线性表示与运算法则，用、表示出、与；
（2）根据平面向量的数量积运算，求出即可．
【详解】解：（1）由题意，
，
、分别是，的中点，为、的交点
所以为的重心，设中点为，则
；
（2）



．