2024高考数学第一轮复习：专题5.3 平面向量的数量积及其应用（原卷版）

5.3   平面向量的数量积及其应用

思维导图

知识点总结

1.平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，        叫作向量a与b的夹角.

当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b    ；当θ＝90°时，则称a与b   ，记作   .

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量     叫作向量a和b的数量积，记作     ，即a·b＝     .

(3)投影向量

设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b    ，向量称为向量a在向量b上的     .

向量a在向量b上的投影向量为    

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.

(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.

(2)模：|a|＝＝.

(3)夹角：cos θ＝＝.

(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.

3.平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律).

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

4.平面几何中的向量方法

三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

[常用结论]

1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.

2.平面向量数量积运算的常用公式：

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；

(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；

(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.

典型例题分析

考向一   数量积的计算

例1 (1)(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　)

A.－2  B.－1 

C.1  D.2

(2)(2023·八省八校联考)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则·＝________.

感悟提升　平面向量数量积的两种运算方法：

(1)基底法，当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；

(2)坐标法，当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.

考向二  数量积的应用

角度1　夹角与垂直

例2 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)

A.－6  B.－5 

C.5  D.6

(2)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________.

角度2　平面向量的模

例3 (2023·华大新高考联盟质测)已知平面向量a，b，c满足b⊥c，|b|＝|c|＝2，若a·b＝a·c＝8，则|a|＝________.

感悟提升　1.求解平面向量模的方法

(1)利用公式|a|＝.

(2)利用|a|＝.

2.求平面向量的夹角的方法

(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].

(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.

考向三 平面向量与三角的结合应用

例4 (多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则(　　)

A.||＝|| B.||＝||

C.·＝· D.·＝·

感悟提升　向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，要注意向量夹角与三角形内角的区别与联系.

基础题型训练

一、单选题

1．已知两个平面向量的夹角为，且，则等于（   ）

A． B．1 C． D．2

2．已知向量满足，则（    ）

A．－2 B．－1 C．0 D．2

3．已知向量满足，则（    ）

A．2 B． C．8 D．

4．在等腰三角形中，，，若P为边上的动点，则（    ）

A．4 B．8 C． D．

5．设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

6．已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为（   ）

A． B． C．6 D．13

二、多选题

7．已知单位向量，，则下列式子正确的是（ 　  ）

A． B． C． D．

8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

9．已知，，且与的夹角为，则______．

10．在边长为4的等边中，，则___________.

11．若向量、满足、，且、的夹角为，则______ ．

12．如图，正的外接圆半径为，点是劣弧上的一动点，则的最小值为_________．

四、解答题

13．已知向量满足，且，求证．

14．设和是两个单位向量，其夹角是，求向量与的夹角.

15．已知，且向量在向量方向上的投影数量为.

（1）求与的夹角；

（2）求；

（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？

16．设且，k、t是两个不同时为零的实数.

(1)若与垂直，求k关于t的函数关系式；

(2)求出函数的最小值.

提升题型训练

一、单选题

1．已知，，设与的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知非零向量，满足，且，则向量，的夹角（    ）

A． B． C． D．

3．已知的外接圆半径为1，圆心为O，且，则（    ）

A．2 B．1 C． D．

4．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

5．点M在边长为4的正△ABC内（包括边界），满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．的外接圆的圆心为，半径为且，则向量在向量方向上的投影为

A． B． C． D．

二、多选题

7．边长为1的菱形中，，已知向量满足，则下列结论中正确的有（    ）

A．为单位向量 B．

C． D．

8．已知是的外心，若，则的取值可能是（    ）

A． B．-1 C．1 D．

三、填空题

9．若向量，，，则与的夹角为___________.

10．已知平面向量、的夹角为，且，，则______．

11．在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足，则的取值范围是__________．

12．在中，，，则边的长度为__．

四、解答题

13．已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：

(1)；

(2)；

(3)．

14．已知向量、中至少有一个不为零向量，对于、及向量、，求函数取得最小值时的条件．

15．已知,,.

（1）求与的夹角；

（2）求和.

16．如图，边长为2的菱形中，，、分别是，的中点，为、的交点，若

（1）试用，表示，，；

（2）求的值.