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2024年新高考数学第一轮复习课件：第33讲 空间点、线、面之间的位置关系
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这是一份2024年新高考数学第一轮复习课件：第33讲 空间点、线、面之间的位置关系，共26页。PPT课件主要包含了答案C，答案BCD，答案ABD等内容，欢迎下载使用。
2．(2022·岳麓模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是( )A．A，M，O三点共线B．M，O，A1，A四点共面C．B，B1，O，M四点共面D．A，O，C，M四点共面
如图，连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A.因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线，由此可判断ABD正确；若B，B1，O，M四点共面，则M∈平面BB1O，显然不可能，故C错误．
4．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
二、 多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)5．(2022·重庆三模)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是( )A．AB1 B．A1CC．A1A D．AD1
对于A，当P为BC1的中点时，OP∥AB1，故A错误；对于B，因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1C，P∉平面AA1C1C，所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确；对于C，因为A1A⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面AA1C1C，所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确；对于D，因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确．
由题设可得直三棱柱，如图(1)．由直三棱柱的结构特征知，AM与A1C1是异面直线，故A正确；因为AA1⊥AC，BA⊥AC，且AA1∩BA＝A，则AC⊥平面AA1B1B，因为A1M⊂平面AA1B1B，所以AC⊥A1M，故B正确；由图(1)知，平面AB1C将三棱柱截成四棱锥B1ACC1A1和三棱锥B1ABC，一个五面体和一个四面体，故C错误；
三、 填空题(精准计算，整洁表达)7．已知点D，O分别为圆锥的顶点和底面圆心，△ABC为圆锥底面的内接正三角形，AD＝AB，则异面直线AD与BO所成角的余弦值为________．
如图，连接CD，BD，延长BO交AC于点E，取CD的中点F，连接EF，BF.因为△ABC为正三角形，且O为△ABC的外心，所以E为AC的中点，故EF∥AD，则∠BEF即为异面直线AD与BO所成的角．
8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为________．
如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．
9．(2022·莆田三模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是棱AD，C1D1，BC，A1B1的中点，则直线EF与CC1的位置关系是______，异面直线EF与GH所成角的余弦值是________．
如图，易知EF与CC1为异面直线．连接HF，取HF的中点O，连接OA，OC.因为HO∥GC且HO＝GC，所以四边形HOCG为平行四边形，所以HG∥OC.同理AO∥EF，所以异面直线EF与GH所成的角即为直线OA与OC所成的角(或其补角)．
11．如图，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；
(1) 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点矛盾，故直线EF与BD是异面直线．
11．如图，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(2) 若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
(2) 如图，取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以∠FEG或其补角即为异面直线EF与BD所成的角．
12．(2023·重庆11月调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝lnx＋x－1，则不等式f(x)＜0的解集为( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(0,1)
13．(2023·汕头期中)已知数列{an}中，a2＝4，am＋n＝am＋an，则a11＋a12＋a13＋…＋a19等于( )A．95 B．145 C．270 D．520
在等式am＋n＝am＋an中，令m＝1，可得an＋1＝an＋a1，则an＋1－an＝a1，所以数列{an}为等差数列，且该数列的首项和公差均为a1.
2．(2022·岳麓模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是( )A．A，M，O三点共线B．M，O，A1，A四点共面C．B，B1，O，M四点共面D．A，O，C，M四点共面
如图，连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A.因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线，由此可判断ABD正确；若B，B1，O，M四点共面，则M∈平面BB1O，显然不可能，故C错误．
4．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
二、 多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)5．(2022·重庆三模)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是( )A．AB1 B．A1CC．A1A D．AD1
对于A，当P为BC1的中点时，OP∥AB1，故A错误；对于B，因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1C，P∉平面AA1C1C，所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确；对于C，因为A1A⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面AA1C1C，所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确；对于D，因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确．
由题设可得直三棱柱，如图(1)．由直三棱柱的结构特征知，AM与A1C1是异面直线，故A正确；因为AA1⊥AC，BA⊥AC，且AA1∩BA＝A，则AC⊥平面AA1B1B，因为A1M⊂平面AA1B1B，所以AC⊥A1M，故B正确；由图(1)知，平面AB1C将三棱柱截成四棱锥B1ACC1A1和三棱锥B1ABC，一个五面体和一个四面体，故C错误；
三、 填空题(精准计算，整洁表达)7．已知点D，O分别为圆锥的顶点和底面圆心，△ABC为圆锥底面的内接正三角形，AD＝AB，则异面直线AD与BO所成角的余弦值为________．
如图，连接CD，BD，延长BO交AC于点E，取CD的中点F，连接EF，BF.因为△ABC为正三角形，且O为△ABC的外心，所以E为AC的中点，故EF∥AD，则∠BEF即为异面直线AD与BO所成的角．
8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为________．
如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．
9．(2022·莆田三模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是棱AD，C1D1，BC，A1B1的中点，则直线EF与CC1的位置关系是______，异面直线EF与GH所成角的余弦值是________．
如图，易知EF与CC1为异面直线．连接HF，取HF的中点O，连接OA，OC.因为HO∥GC且HO＝GC，所以四边形HOCG为平行四边形，所以HG∥OC.同理AO∥EF，所以异面直线EF与GH所成的角即为直线OA与OC所成的角(或其补角)．
11．如图，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；
(1) 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点矛盾，故直线EF与BD是异面直线．
11．如图，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(2) 若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
(2) 如图，取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以∠FEG或其补角即为异面直线EF与BD所成的角．
12．(2023·重庆11月调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝lnx＋x－1，则不等式f(x)＜0的解集为( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(0,1)
13．(2023·汕头期中)已知数列{an}中，a2＝4，am＋n＝am＋an，则a11＋a12＋a13＋…＋a19等于( )A．95 B．145 C．270 D．520
在等式am＋n＝am＋an中，令m＝1，可得an＋1＝an＋a1，则an＋1－an＝a1，所以数列{an}为等差数列，且该数列的首项和公差均为a1.
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