2024年新高考数学第一轮复习课件：第35讲　直线、平面垂直的判定与性质

这是一份2024年新高考数学第一轮复习课件：第35讲　直线、平面垂直的判定与性质，共26页。PPT课件主要包含了答案D，答案AD，答案AC等内容，欢迎下载使用。

2．(2022·常州三模)已知直线m，n是平面α的两条斜线，若m，n为不垂直的异面直线，则m，n在平面α内的射影m′，n′(　　)A．不可能平行，也不可能垂直B．可能平行，但不可能垂直C．可能垂直，但不可能平行D．可能平行，也可能垂直
　　　 　如图(1)，在正方体中，即AD1为m，EF为n，底面ABCD为平面α，则m，n在平面α内的射影AD和DF垂直；
如图(2)，在正方体中，即AD1为m，BG为n，底面ABCD为平面α，则m，n在平面α内的射影AD和BC平行．综上，m，n在平面α内的射影m′，n′可能平行，也可能垂直．
3．(2022·邢台期末)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，下列说法正确的是(　　)A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m∥nC．若m∥α，m⊥β，则α⊥βD．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n
　　　 　对于A，m∥α，n∥α，m与n可以平行、异面或相交，故A错误；对于B，因为α∥β，m⊥α，所以m⊥β，又n∥β，所以m⊥n，故B错误；对于C，由m∥α，则存在直线l⊂α，使得m∥l，又m⊥β，所以l⊥β，且l⊂α，所以α⊥β，故C正确；对于D，因为α⊥β，可设α∩β＝l，则当m∥l，n∥l时，可得到m∥α，n∥β，但此时m∥n，故D错误．
4．如图，在三棱锥P-ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是(　　)A．BC⊥平面APCB．AP⊥PC，AP⊥PBC．PC⊥BC，平面APC⊥平面BPCD．BC⊥PC，AB⊥BC
　　　 　因为BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以BC⊥AP，故A可以证明；因为AP⊥PC，AP⊥PB，PC∩PB＝P，PC，PB⊂平面BPC，所以AP⊥平面BPC，因为BC⊂平面BPC，所以BC⊥AP，故B可以证明；因为平面APC⊥平面BPC，平面APC∩平面BPC＝PC，PC⊥BC，由面面垂直的性质定理知BC⊥平面APC.又AP⊂平面APC，所以BC⊥AP，故C可以证明；由D选项BC⊥PC，AB⊥BC并不能推出AP⊥BC.
二、 多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)5．(2022·抚顺一模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E为AD1的中点，F为BD的中点，则(　 　)A．EF∥CD1B．EF⊥AD1C．EF∥平面BCC1B1D．EF⊥平面AB1C1D
　　　 　如图，对于A，连接AC，D1C，因为F为AC的中点，所以EF∥CD1，故A正确；对于B，连接FD1，在△AFD1中，因为AF≠FD1，E为AD1的中点，所以EF和AD1不垂直，故B错误；对于C，由EF和平面AA1D1D相交，而平面AA1D1D∥平面BB1C1C，则EF和平面BB1C1C相交，故C错误；
对于D，因为D1C⊥DC1，D1C⊥AD，AD∩DC1＝D，所以D1C⊥平面AB1C1D，又EF∥D1C，所以EF⊥平面AB1C1D，故D正确．
6．(2022·厦门二模)设四棱台ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AA1⊥平面ABCD，则(　　)A．直线AD与直线B1D1所成的角为45°B．直线AA1与直线CC1异面C．平面ABB1A1⊥平面ADD1A1D．CA1⊥AD
　　　 　如图，连接BD，则BD∥B1D1，所以直线AD与BD所成的角即为直线AD与直线B1D1所成的角．在正方形ABCD中，∠ADB＝45°，则直线AD与直线B1D1所成的角为45°，故A正确；
由于棱台的每条侧棱延长后会交于同一点，所以直线AA1与直线CC1是相交直线，故B错误；由AA1⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，故AA1⊥AB.又AB⊥AD，AA1∩AD＝A，AA1，AD⊂平面ADD1A，故AB⊥平面ADD1A1，而AB⊂平面ABB1A1，则平面ABB1A1⊥平面ADD1A1，故C正确；连接AC，由题意知AC⊥BD，而AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，故BD⊥AA1.又AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C.因为CA1⊂平面AA1C，所以BD⊥CA1.而AD∩BD＝D，AD，BD⊂平面ABCD，所以AD不可能垂直于CA1，故D错误．
三、 填空题(精准计算，整洁表达)7．已知α，β，γ是两两互相垂直的三个平面，它们交于点O，若空间中一点P到平面α，β，γ的距离分别是2 cm,3 cm，6 cm，则点P到点O的距离为_____cm.
8．(2023·常州期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则直线AH与平面DCC1D1所成角的正弦值为________．
　　　 　如图，因为CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD.
又因为底面ABCD是正方形，所以CA⊥BD.因为CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面CC1A，所以BD⊥平面CC1A.而AC1⊂平面CC1A，因此AC1⊥BD.同理AC1⊥A1D，因为BD∩A1D＝D，BD，A1D⊂平面A1BD，所以AC1⊥平面A1BD.而AH⊥平面A1BD，即A，C1，H在一条直线上，因此AC1与平面CDD1C1所成的角与AH与平面CDD1C1所成的角相等．
9．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.若要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
四、 解答题(让规范成为一种习惯)10．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CC1＝C1B1＝B1B＝1，平面BCC1B1⊥平面ABC.(1) 求证：平面BCC1B1⊥平面ACC1A1；
　　　 　(1) 因为平面BCC1B1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC为平面BCC1B1与平面ABC的交线，所以AC⊥平面BCC1B1，因为BC1⊂平面BCC1B1，所以AC⊥BC1.
如图，取BC的中点D，连接C1D，因为BC＝2，所以BD＝C1B1＝B1B＝1，又BD∥B1C1，所以四边形BDC1B1为菱形，所以C1D＝CD＝BD＝1，所以BC1⊥CC1.因为AC，CC1⊂平面ACC1A1，AC∩CC1＝C，所以BC1⊥平面ACC1A1.因为BC1⊂平面BCC1B1，所以平面BCC1B1⊥平面ACC1A1.
10．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CC1＝C1B1＝B1B＝1，平面BCC1B1⊥平面ABC.(2) 求四面体CAA1B1的体积．
11．(2023·苏州期中)如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC.(1) 求证：平面PAC⊥平面PBC；
　　　 　(1) 因为PA⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，所以PA⊥BC.又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC.因为PA，AC⊂平面PAC，且PA，AC相交于点A，所以BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.
11．(2023·苏州期中)如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC.(2) 若AC＝BC＝PA，M是PB的中点，记AM与底面ABC所成的角为α，AM与平面PBC所成的角为β，试研究α与β的等量关系．
　　　 　(2) 如图，取AB的中点N，连接MN，由于M是PB的中点，可得MN∥PA.
由(1)知BC⊥平面PAC，AH⊂平面PAC，所以BC⊥AH.又因为PC，BC⊂平面PBC，PC，BC相交于点C，所以AH⊥平面PBC，所以∠AMH就是直线AM与平面PBC所成的角β.