数学九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程导学案

课题：平均变化率与一元二次方程

【学习目标】

1．通过平均变化率问题，学会将实际应用问题转化为数学问题．

2．根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．

【学习重点】

建立一元二次方程解决平均增长率问题．

【学习难点】

探究增长率问题中的等量关系．

一、情景导入　感受新知

两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

本节课我们学习增长率问题．(板书课题)

二、自学互研　生成新知

阅读教材P19～P20探究2，完成下列问题：

①下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？

下降率是下降额与原成本的比值；下降率＝×100%.

②如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变为5000(1－x)，再次下降后的成本变为5000(1－x)2．(用代数式表示)

③设甲种药品成本平均每年的下降率为x，由等量关系终成本＝原成本×(1－下降率)2，可得方程5000(1－x)2＝3000，解这个方程，得到方程的两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？为什么？

应选择x1＝0.225.因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数．

④设乙种药品成本平均每年的下降率为y，则由等量关系终成本＝原成本×(1－下降率)2，可得方程6000(1－y)2＝3600．

⑤成本下降额较大的药品，它的成本下降率也一定较大吗？

成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定大．

⑥解决下面的问题，它与探究2有什么不同？

某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率．

解：设总产值的年平均增长率为x.

依题意100(1＋x)2＝121，

解得：x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)，

∴年平均增长率为10%.

与探究2相比，一个是计算增长率，一个是计算下降率．

归纳：解决增长率与降低率问题的公式：a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．

师生活动：

①明了学情：观察学生能否顺利地把平均变化率问题转化为数学问题，并建立增长率模型列方程求解．

②差异指导：从寻找等量关系、列方程到解方程并解答等方面对学困生进行指导．

③生生互助：小组内互相交流、研讨，并相互改正．

三、典例剖析　运用新知

范例：某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．

解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得

400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6

解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).

答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.

仿例：某工厂2015年年初投资100万元生产某种新产品，2015年年底将获得的利润与年初的投资之和作为2016年年初的投资，到2016年年底，两年共获利润56万元，已知2016年的年利润率比2015年的年利润率多10个百分点，求2016年的年利润率是多少？

解：设2015年的年利润率为x，根据题意得，100x＋(100x＋100)(x＋10%)＝56，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.3(不合题意，舍去)，∴2016年年利润率20%＋10%＝30%.

师生活动：

①明了学情：观察了解学生对解决平均增长(降低)率问题掌握情况．

②差异指导：根据观察适时个别或分类点拨．

③生生互助：小组间合作、交流，形成共识．

四、课堂小结　回顾新知

①平均增长(或降低)率问题公式：a(1±x)n＝b.

②连续两次下降，求下降率的数学模型，以及连续两次增长，求增长率的数学模型．

五、检测反馈　落实新知

1．某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x，列方程为(　B　)

A．500(1＋2x)＝720　　　B．500(1＋x)2＝720

C．500(1＋x2)＝720    D．720(1＋x)2＝500

2．受全球金融危机的影响，2008年某家电商场的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为(　A　)

A．10%　　B．20%　　C．19%　　D．25%

3．某种药品原售价为125元/盒，连续两次降价后售价为80元/盒．假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率．

解：设这种药品每次降价的百分率为x.

由题意125(1－x)2＝80.

解得：x1＝0.2，x2＝1.8(舍去).

答：这种药品每次降价的百分率为20%.

六、课后作业　巩固新知

(见学生用书)