陕西省咸阳市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

咸阳市2022～2023学年度第二学期期末教学质量调研检测

高一数学试题

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合间的交集运算求解即可.

【详解】因为，，

所以.

故选：B.

2. 在简单随机抽样中，关于其中一个个体被抽中的可能性，下列说法正确的是（    ）

A. 与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更大一些

B. 与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性更大一些

C. 与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等

D. 与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，各次抽取的可能性不一样

【答案】C

【解析】

【分析】根据简单随机抽样的概念即可得出答案.

【详解】在简单随机抽样中，总体中的每个个体在每次抽取时被抽到的可能性相同，

故选：C.

3. 已知两个单位向量的夹角是，则（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量模的运算法则运算求解即可.

【详解】解：因为两个单位向量的夹角是，

所以，.

故选：A

4. 已知一组数据按从小到大排列为1，1，2，2，3，3，4，5，7，7，8，10，则该组数据的25%分位数和中位数分别是（    ）

A. 3，9 B. 2，3.5 C. 9，3.5 D. 2，3

【答案】B

【解析】

【分析】分别求出该组数据的25%分位数和中位数即可求解.

【详解】这组数据供12个，%，

数据按从小到大排列为1，1，2，2，3，3，4，5，7，7，8，10，

第三位数是2，第四位数也是2，所以该组数据的25%分位数是，

第六位数是3，第七位数也是4，所以该组数据的中位数是，

故选：B.

5. 某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（    ）

A. 20 B. 40 C. 60 D. 88

【答案】C

【解析】

【分析】根据频率分布直方图计算出“优质苗”的占比,再乘以100可得结果

【详解】由频率分布直方图可知，“优质苗”的占比为，

因此，所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为.

故选：C.

6. 已知向量，，，则（    ）

A.  B.  C. 0 D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出和的坐标，然后利用向量的夹角公式求解即可.

【详解】因为，，，

所以，，

所以，

故选：C

7. 已知是偶函数，则（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

【详解】因为为偶函数，则，

又因为不恒为0，可得，即，

则，即，解得.

故选：D.

8. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】，，所以当时，成立，即充分性成立；当时， 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件，

故选：A

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列结论正确是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】BC

【解析】

【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.

【详解】A. 取特殊值，，，显然不满足结论；

B 由可知，，由不等式性质可得，结论正确；

C. 由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确；

D. 取，满足条件，显然不成立，结论错误.

故选：BC.

10. 下列选项中与的值不恒相等的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用诱导公式逐项化简，可得出合适的选项.

【详解】，，，.

故选：BCD.

11. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件“第一次为偶数”，“第二次为偶数”，“两次点数之和为偶数”，则（    ）

A.  B. 与对立

C. 与互斥 D.

【答案】AD

【解析】

【分析】列举出朝上一面的点数所有情况和事件所包含的情况，计算得到AD选项，再根据和判断出BC.

【详解】朝上一面的点数情况有，

，

，

共36种情况，

事件，第一次为偶数为情况为，

，共18种情况，

事件，第二次为偶数的情况为，

，共18种情况，

事件，两次点数之和为偶数的情况为，

，共18种情况，

A选项，，，A正确；

B选项，因为中含有的情况有，共9种情况，

故，所以与不对立，B错误；

C选项，所含情况为，

，共18种情况，

则含有情况为，

故，故与不互斥，C错误；

D选项，由B选项可知，，D正确.

故选：AD

12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ）

A. 体积为的球体

B. 所有棱长均为的四面体

C. 底面直径为，高为的圆柱体

D. 底面直径为，侧面积为的圆锥体

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.

【详解】对于选项A：由球体的体积公式得，所以球的半径，即球体的直径等于正方体的棱长，

所以恰好能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，

所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；

对于选项D：由于圆锥的底面直径为，侧面积为，

所以由圆锥的侧面积公式得，得母线长，

所以高为，即圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，

所以能够被整体放入正方体内，故D正确；

故选：ABD.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数______.

【答案】

【解析】

【分析】先对复数化简，然后由虚部和实部互为相反数列方程可求出

【详解】（），

因为复数的虚部与实部互为相反数，所以，得，

故答案为：

14. 若甲、乙、丙在10分钟之内独立复原魔方的概率分别0.7，0.6，0.5，则甲、乙、丙至少有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据题意利用独立事件和对事件概率公式求解即可

【详解】记事件分别为甲、乙、丙在10分钟之内独立复原魔方，则

，

所以甲、乙、丙至少有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为

，

故答案为：

15. 如图所示，在正方体中，E、F分别是AB、AD的中点，则异面直线与EF所成的角的大小为_________.

【答案】##

【解析】

【分析】连接，根据正方体的性质可得：（或其补角）即为所求，进而求解即可.

【详解】如图，连接，则，

故（或其补角）即为所求，

又，所以，

故答案为：.

16. 已如点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的一个坐标可以是______.

【答案】或或

【解析】

【分析】分三种情况①；②；③，利用平行四边形一组对边平行且相等借助向量相等即可求解.

【详解】如图所示，设点，以为顶点的平行四边形可以有三种情况：

①若四边形为时，

因为，可得，

由，可得，解得，即；

②若四边为，

因为，可得，

由，可得，解得，即；

③若四边形为时，

因为，可得，

由，可得，解得，即.

综上可得，点的坐标为或或.

四、解答题（本题井6小题、共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）若函数，求的零点.

【答案】（1）   

（2）零点为.

【解析】

【分析】（1）根据函数有意义，建立不等式组，求解即可；

（2）令，得，解方程即可．

【小问1详解】

由题意得，解得.

所以的定义域为.

【小问2详解】

令

，解得，

故的零点为.

18. 已知函数.

（1）求函数图像的对称中心；

（2）求函数图像的单调递减区间.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据余弦函数的性质求对称中心；

（2）根据余弦函数的性质求单调递减区间.

【小问1详解】

令，解得，

所以函数图像的对称中心为.

【小问2详解】

令，

解得，

所以函数图像的单调递减区间为.

19. 如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.

（1）求此人到达当日该市空气重度污染的概率；

（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据空气质量指数趋势图，明确空气质量重度污染的天数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.

（2）明确此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的事件等价于此人在4日或5日或7日或8日到达，由此可求得答案.

【小问1详解】

由图看出，1日至13日这13天时间内，空气质量重度污染的是5日、8日共2天，

故此人到达当日该市空气重度污染的概率为.

【小问2详解】

此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况为，，，，，，，，，，，，，共13种情况，

其中只有1天空气重度污染的是，，，，共4种情况，

故此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.

20. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：

记，记的样本平均数为，样本方差为．

（1）求，；

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）

【答案】（1），；   

（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

【解析】

【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出，再得到所有的值，最后计算出方差即可；

（2）根据公式计算出的值，和比较大小即可.

【小问1详解】

，

，

，

的值分别为: ，

故

【小问2详解】

由（1）知:，，故有,

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

21. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，.

（1）求；

（2）若，求面积的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

分析】（1）根据题意利用正项定理边化角，结合三角恒等变换分析运算；

（2）根据余弦定理结合基本不等式可得，进而可求面积.

【小问1详解】

因为，

由正弦定理得，

则，所以.

又因为，则，

可得，即.

【小问2详解】

由（1）知，可得A为锐角，，

由余弦定理可知，

因为，则，

可得，当且仅当时等号成立，

解得，

所以，即面积的最大值为.

22. 如图，是直角梯形底边的中点，，，，将沿折起形成四棱锥.

（1）求证：平面；

（2）若二面角为，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的判定推理作答.

（2）由（1）可得，取，的中点，作出二面角的平面角，再在直角三角形中计算作答.

【小问1详解】

在直角梯形中，，且，，

则四边形为正方形，即，，

在四棱锥中，，，平面，

所以平面.

【小问2详解】

由（1）知为二面角的平面角，即，又，则为等边三角形，

设的中点为，的中点为，连接，如图，

从而，，则，又，平面，

于是平面，又平面，则有，

因此为所求二面角的平面角，而平面，从而平面，

而平面，则，设原直角梯形中，令，

则折叠后的四棱锥中，，从而，

于是在中，，

即二面角的余弦值为.