专题2.10 巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大题型】-2022-2023学年七年级数学上册举一反三系列（苏科版）

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专题2.10 巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大题型】【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc9285" 【题型1 归类法】  PAGEREF _Toc9285 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc27198" 【题型2 凑整法】  PAGEREF _Toc27198 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc30854" 【题型3 逆向法】  PAGEREF _Toc30854 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc8638" 【题型4 拆项法】  PAGEREF _Toc8638 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc3031" 【题型5 组合法】  PAGEREF _Toc3031 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc13946" 【题型6 裂项相消法】  PAGEREF _Toc13946 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc27960" 【题型7 倒数求值法】  PAGEREF _Toc27960 \h 11【知识点1 归类法】运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等.【题型1 归类法】【例1】（2022春•普陀区校级期中）计算：8+（﹣114）﹣5﹣（−34）．【分析】根据加法交换律、加法结合律，求出算式的值即可．【解答】解：8+（﹣114）﹣5﹣（−34）＝（8﹣5）+[（﹣114）﹣（−34）]＝3+（−12）＝212．【变式1-1】（2022春•徐汇区校级期中）计算：−223+21112+614−313．【分析】利用有理数的加减混合运算，进行计算即可．【解答】解：原式=(−223−313)+21112+614=−6+614+21112 =14+21112 =316．【变式1-2】（2022秋•青浦区期中）计算：219+0.3−129+710．【分析】运用加法交换律和结合律计算．【解答】解：原式＝219+310−129+710＝（219−129）+（310+710）=89+1＝189．【变式1-3】（2022秋•和平区校级月考）计算：（1）−(−3712)+(−114)+(−2712)+(+1.25)−418；（2）﹣556+(−923)+1734+(−312)．【分析】（1）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可；（2）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可．【解答】解：（1）−(−3712)+(−114)+(−2712)+(+1.25)−418＝3712−114−2712+114−418＝（3712−2712）+（﹣114+114）﹣418＝1﹣418=−258；（2）﹣556+(−923)+1734+(−312)＝（﹣556−923）+（1734−312）＝﹣1512+1414＝﹣114．【知识点2 凑整法】将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消.【题型2 凑整法】【例2】（2022秋•普陀区期末）计算：3.43﹣225+6.57﹣535．【分析】先运用加法的交换结合律进行简便计算，再进行最后的减法运算．【解答】解：3.43﹣225+6.57﹣535＝（3.43+6.57）﹣（225+535）＝10﹣8＝2．【变式2-1】（2022秋•济南期末）计算：（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）．【分析】根据有理数加减法放入法则进行计算即可．【解答】解：原式＝（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）+2.5＝[（﹣3.2）+（﹣16.8）]+（12.5+2.5）＝﹣20+15＝﹣5．【变式2-2】（2022秋•上蔡县月考）计算：（1）225+217+（﹣517）﹣（﹣535）．（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18．【分析】（1）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可；（2）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可．【解答】解：（1）225+217+（﹣517）﹣（﹣535）＝225+217−517+535＝（225+535）+（217−517）＝8﹣3＝5；（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18＝3.75﹣5.18+2.25+5.18＝（3.75+2.25）+（5.18﹣5.18）＝6．【变式2-3】（2022秋•石景山区校级期中）计算：（﹣12.7）﹣（﹣525）﹣87.3+335．【分析】根据有理数的加减法法则进行计算即可得出结果．【解答】解：(−12.7)−(−525)−87.3+335=−12.7+525−87.3+335 ＝（﹣12.7﹣87.3）+（525+335）＝﹣100+9＝﹣91．【知识点3 逆向法】主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更加简单.【题型3 逆向法】【例3】（2022秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算−29×(−92)+(−29)×3435+29×2335．【分析】先根据同号得正异号得负进行符号运算，然后逆运用乘法分配律，提取29，并利用加法结合律计算，最后进行有理数的乘法运算即可得解．【解答】解：−29×（﹣92）+（−29）×3435+29×2335，=29×92−29×3435+29×2335，=29×（92﹣3435+2335），=29×（92﹣11），=29×81，＝18．【变式3-1】（2022秋•兰山区月考）25×34−25×12+25×（−14）【分析】逆运用乘法分配律进行计算即可得解．【解答】解：25×34−25×12+25×（−14）＝25×（34−12−14）＝25×0＝0．【变式3-2】（2022秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算：（1）（﹣9）×31829−（﹣8）×（﹣31829）﹣（﹣16）×31829；（2）997172×（﹣36）．【分析】（1）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝31829×（﹣9﹣8+16）＝31829×（﹣1）＝﹣31829；（2）原式＝（100−172）×（﹣36）＝100×（﹣36）−172×（﹣36）＝﹣3600+12＝﹣359912．【变式3-3】（2022秋•红谷滩区校级期中）简便计算（﹣48）×0.125+48×118+(−48)×54【分析】利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；【解答】解：（﹣48）×0.125+48×118+(−48)×54＝48×（−18+118−108）＝0.【知识点4 拆项法】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.【题型4 拆项法】【例4】（2022秋•安陆市期中）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”计算：﹣556+(−923)+1734+(−312)．解：原式=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56)+(−23)+34+(−12)]=0+(−114)=(−114)启发应用用上面的方法完成下列计算：(−3310)+(−112)+235−(212)【分析】将原式利用“拆项法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−310−12+35−12），再根据有理数的加减运算法则计算可得．【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−310−12+35−12）＝﹣4+（−710）＝﹣4710．【变式4-1】（2022秋•铁西区期末）计算：1.5﹣（﹣414）+3.75﹣（+812）．【分析】根据有理数的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝1+12+4+14+3+34−8−12＝﹣7+8＝1．【变式4-2】（2022秋•浦东新区期中）计算：513−216+14．【分析】可按法则从左往右算求出结果；亦可把带分数写成整数与分数和的形式，再利用加法的交换律和结合律，把整数与分数分别相加．【解答】解：原式＝5+13−2−16+14（5﹣2）+（13−16+14）＝3+（412−212+312）＝3+512＝3512．【变式4-3】（2022秋•凉山州期末）：(−202127)+(−202247)+4044+(−17)．【分析】写成几个整数的和以及几个分数的和即可．【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（−27）]+[（﹣2022）+（−47）]+4044+（−17）＝（﹣2021﹣2022+4044）+（−27−47−17）＝1+（﹣1）＝0．【知识点5 组合法】找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目.【题型5 组合法】【例5】（2022秋•南开区期中）计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝　﹣50　．【分析】根据结合律，可得答案．【解答】解：原式＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…（﹣97+98）]﹣99=1+1+1+⋯+1︷49−99＝49﹣99＝﹣50，故答案为：﹣50．【变式5-1】（2022秋•襄汾县期中）计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016【分析】根据每四项运算结果可知，每四项结果为﹣4，2016÷4＝504，正好为4的倍数，从而得出结论．【解答】解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四项结果为﹣4，2016÷4＝504，∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×504＝﹣2016．【变式5-2】（2022秋•工业园区月考）计算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值为（　　）A．50 B．﹣50 C．101 D．﹣101【分析】原式两项两项合并正好得50个（﹣1），最后计算结果即可．【解答】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+（4﹣5）+⋯+（99﹣100）=−1−1−1⋯−1︷50 ＝﹣50，故选：B．【变式5-3】（2022秋•工业园区月考）计算：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99；（2）|1102−1101|+|1103−1102|﹣|1103−1101|．【分析】（1）两个一组计算，再相加即可求解；（2）先计算绝对值，再抵消计算即可求解．【解答】解：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99＝（﹣2）+（﹣2）+…+（﹣2）＝﹣2×25＝﹣50；（2）|1102−1101|+|1103−1102|﹣|1103−1101|=1101−1102+1102−1103+1103−1101 ＝0．【知识点6 裂项相消法】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.【题型6 裂项相消法】【例6】（2022秋•嘉定区期末）【阅读材料】问题：如何计算11×2+12×3+13×4+⋯+119×20呢？小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这题的计算．他们的解法如下：解：原式=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(119−120)=1−120=1920 根据阅读材料，请你完成下列问题：（1）计算：21×3+23×5+25×7+⋯+221×23；（2）直接写出结果：13+115+135+163+199=　511　；（不需要计算过程）（3）计算：11×5+15×9+19×13+⋯+12017×2021．【分析】（1）将原式裂项，再两两抵消计算可得；（2）原式利用1(2n−1)(2n+1)=12（12n−1−12n+1）裂项求和即可得；（3）利用相同的方法裂项计算可得．【解答】解：（1）原式=(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(121−123)=1−123=2223；（2）原式=12×[（1−13）+（13−15）+（15−17）+（17−19）+（19−111）]=12×（1−111）=511，故答案为：511；（3）原式=14×[(1−15)+(15−19)+(19−113)+⋯+(12017−12021)]=14×(1−12021)=5052021【变式6-1】（2022秋•遂宁期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：先观察下列等式：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14⋯19×10=19−110将以上等式两边分别相加得：11×2+12×3+13×4+⋯+19×10=+(12−13)+(13−14)+⋯+(19−110)=12−13+13−14+⋯+19−110=1−110=910然后用你发现的规律解答下列问题：（1）猜想并写出：1n(n−1)=　1n−1−1n　；（2）直接写出下列各式的计算结果：①11×2+12×3+13×4+⋯+12010×2011=　20102011　；②11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=　nn+1　；（3）探究并计算：12×4+14×6+16×8+⋯+12012×2014．【分析】（1）观察上述式子，发现拆项规律，写出即可；（2）利用得出的规律化简所求式子，计算即可得到结果；（3）根据得出的规律将原式变形，计算即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：1n(n−1)=1n−1−1n；（2）①原式＝1−12+12−13+⋯+12010−12011=1−12011=20102011；②原式＝1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1；（3）原式=12×（12−14+14−16+⋯+12012−12014）=12×（12−12014）=5032014．故答案为：（1）1n(n−1)=1n−1−1n；（2）①20102011；②nn+1【变式6-2】（2022秋•虹口区期末）先阅读，再答题23=3−11×3=1−13，215=5−33×5=13−15，235=7−55×7=15−17，263=9−77×9=17−19⋯⋯ 根据你发现的规律，试写出（1）299=1()−1()；（2）2n(n+2)=　1n−1n+2　；计算：23+215+235+263+299+2143+2195．【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的结果；（2）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果；（3）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果．【解答】解：（1）299=19−111；（2）2n(n+2)=1n−1n+2；23+215+235+263+299+2143+2195 ＝1−13+13−15+15−17+17−19+19−111+111−113+113−115＝1−115=1415．故答案为：19−111；1n−1n+2．【变式6-3】（2022秋•高安市期中）阅读下面的文字，完成解答过程．（1）11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，则12007×2008=　12007−12008　，并且用含有n的式子表示发现的规律．（2）根据上述方法计算：11×3+13×5+15×7+⋯+12005×2007．（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：1n(n+k)=　1k（1n−1n+k）　（其中n，k均为正整数），并计算11×4+14×7+17×10+⋯+12005×2008．【分析】（1）根据题中给出的列子可直接得出结论；（2）分别计算出11×3，13×5，15×7的值，再进行计算即可；（3）根据（1）、（2）的结论找出规律，并进行计算即可．【解答】解：（1）∵11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，∴12007×2008=12007−12008．故答案为：12007−12008；（2）∵11×3=13=12（1−13），13×5=115=12（13−15），15×7=135=12（15−17），∴11×3+13×5+15×7+⋯+12005×2007=12（1−13+13−15+15−17+⋯+12005−12007）=12（1−12007）=10032007．故答案为：10032007；（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：1n(n+k)=1k（1n−1n+k）．11×4+14×7+17×10+⋯+12005×2008=13（1−14+14−17+17−110+⋯+12005−12008）=6692008．故答案为：1k（1n−1n+k）．【题型7 倒数求值法】【例7】（2022秋•城厢区校级月考）先阅读理解，再回答问题计算：(−130)÷(23−110+16−25)．解：（方法一）原式＝(−130)÷[(23+16)+(−110−25)]=(−130)÷(56−12)=−130×3=−110 （方法二）原式的倒数为(23−110+16−25)÷(−130)=(23−110+16−25)×(−30)＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10．故原式=−110．请阅读上述材料，选择合适的方法计算：−154÷(16⋅527+23−29)．【分析】首先应用乘法分配律，求出原式的倒数是多少；然后用1除以原式的倒数，求出算式的值是多少即可．【解答】解：原式的倒数为：（16×527+23−29）÷（−154）＝（16×527+23−29）×（﹣54）=−53−36+12=−773 ∴原式=−377．【变式7-1】（2022秋•南开区期中）（−120）÷（−14−25+910−32）．【分析】先求所求式子的倒数，然后计算即可．【解答】解：原式的倒数是（−14−25+910−32）÷（−120）＝（−14−25+910−32）×（﹣20）=−14×（﹣20）−25×（﹣20）+910×（﹣20）−32×（﹣20）＝5+8+（﹣18）+30＝25，故原式=125．【变式7-2】（2022秋•宽城县期末）阅读下列材料：计算：124÷(13−14+112)，解法一：原式=124÷13−124÷14+124÷112=124×3−124×4+124×12=1124．解法二：原式=124÷(13−14+112)=124÷212=124×6=14．解法三：原式的倒数=(13−14+112)÷124=(13−14+112)×24=13×24−14×24+112×24=4．所以原式=14．（1）上述得到的结果不同，你认为解法 　一　是错误的；（2）计算：(12−14+16)×36=　15　；（3）请你选择合适的解法计算：(−1210)÷(37+215−310−521)．【分析】（1）有理理数的除法没有分配律，据此可判断；（2）利用乘法的分配律进行求解即可；（3）仿照解法三进行解答即可．【解答】解：（1）除法没有分配律，故解法一错误，故答案为：一；（2）(12−14+16)×36=12×36−14×36+16×36＝18﹣9+6＝15，故答案为：15；（3）原式的倒数＝（37+215−310−521）÷（−1210）＝（37+215−310−521）×（﹣210）=37×（﹣210）+215×（﹣210）−310×（﹣210）−521×（﹣210）＝﹣90﹣28+63+50＝﹣5，∴(−1210)÷(37+215−310−521)=−15．【变式7-3】（2022秋•怀安县期末）先计算，再阅读材料，解决问题：（1）计算：（14+16−12）×12（2）选择合适的方法计算：（−142）÷（16−314+23−27）【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题；（2）先求出原式倒数，再可以求出所求式子的值．【解答】解：（1）(14+16−12)×12=14×12+16×12−12×12 ＝3+2﹣6＝﹣1；（2）原式的倒数是：(16−314+23−27)÷(−142) =(16−314+23−27)×(−42) =16×(−42)−314×(−42)+23×(−42)−27×(−42) ＝﹣7+9﹣28+12＝﹣14，故原式=−114．