专题2.4 特殊三角形（一）（轴对称、等腰三角形与逆命题（定理）十大题型）重难点题型-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）


专题2.4 特殊三角形（一）（轴对称、等腰三角形与逆命题（定理）十大题型）重难点题型
注意：该部分包含2.1节---2.5节的重难点题型
题型1 轴对称图形的性质与辨别
【方法技巧】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。
（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
1．（2022·重庆八中七年级期末）2022年北京冬奥会会徽“冬梦”以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿-条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解： A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选∶B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，熟记轴对称图形的定义是解题的关键．
2．（2022·河北承德·八年级期末）在下列给出的几何图形中，是轴对称图形的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：第1，2，3，5个图是轴对称图形，第4个不是轴对称图形，故选D
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
3．（2022·浙江金华·八年级阶段练习）下面所给的标志图中属于轴对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
4．（2022·河南新乡·七年级阶段练习）如图，与关于直线对称，若，，则（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【详解】解：与关于直线对称，≌，，
，．故选：C．
【点睛】本题考查轴对称，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2022·河南洛阳·七年级期末）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AC=A′C′，，BO=B′O，故A、C、D选项正确，
不一定成立，故B选项错误，所以，不一定正确的是B．故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
6．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，直线m，l相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.3．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（       ）


A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】连接OP1，OP2，P1P2，点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，即得OP1＝OP＝1.3，OP＝OP2＝1.3，根据OP1＋OP2＞P1P2，可知0＜P1P2＜2.6，即可得答案．
【详解】连接OP1，OP2，P1P2，如图：

∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝1.3，OP＝OP2＝1.3，
∵OP1＋OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜2.6，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握这两个性质是解题的关键．

题型2 轴对称性质的运用
方法技巧：常见应运用有：折叠（剪纸）、台球桌面、光的反射和镜面对称等问题。
折叠问题中，折痕就是图形的对称轴，折叠前后的图形关于对称轴对称。
1．（2022·河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）

A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】B
【分析】利用轴对称画图可得答案．
【详解】解：如图所示，
，
球最后落入的球袋是2号袋，故选：B．
【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形．
2．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．


【答案】40°##40度
【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∵，，，
∴，．故答案为：40．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．
3．（2022·无锡市积余实验学校八年级月考）小明站在河岸边看见水中的自己胸前球衣的号码是，则实际的号码为____．
【答案】12
【分析】画出轴对称图形得到实际的号码．
【详解】解：如图，根据轴对称图形，实际的号码应该是12．故答案是：12．

【点睛】本题考查轴对称图形，解题的关键是画出轴对称图形．
4．（2022·广西防城港·八年级期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若CD//BE，，则的度数是________．

【答案】##30度
【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠1=∠3=∠4=15°，进而得出∠2=30°．
【详解】解：如图，分别延长EB、DB到F，G，

由于纸带对边平行，∴∠1=∠4=15°，
∵纸带翻折，∴∠3=∠4=15°，∴∠DBF=∠3+∠4=30°，
∵CDBE，∴∠2=∠DBF=30°．故答案为：30°．
【点睛】本题考查平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，内错角相等．
6．（2022·浙江·浦江县第五中学一模）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】第一次翻折可得，EM=1，∠ADM=∠EDM=45°，第二次折叠，可得，，由∠DCN=45°，可得，则，再求的周长即可．
【详解】如图，

第一次折叠，如图②，
，，，
由折叠的性质，，，
第二次折叠，如图③，，，
，，，
，，，
的周长，故选：A．
【点睛】本题考查翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，对应两次翻折求出∠EDM=45°是解题的关键．

题型3 线段垂直平分线性质与判定及运用
【解题技巧】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
垂直平分线的性质判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点；外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等。
1．（2021·山东济南市·八年级期末）如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地．若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）

A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】A
【分析】依题意，对实际问题进行数学模型化处理，需要寻找一个点，到三点的距离相等；结合三角形垂直平分线的性质，即可求解．
【详解】由题，对建立货物中转仓到A、B、C三地距离相等；
进行数学模型转换为：在△ABC中找一点到三点距离相等；
依据三角形垂直平分线的性质，可知，三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个点的距离相等；
∴ 中转仓位于三边垂直平分线的交点；故选A．
【点睛】本题考查三角形垂直平分线、角平分线、高线、中线的性质，重点在掌握实际问题的数学模型化．
2．（2022·四川八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，用直尺和圆规在边AB上确定一点D，则∠ADC＝（　　）

A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】由图知虚线为的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出，再由三角形的内角和及外角的性质即可求解．
【详解】解：由图知虚线为的垂直平分线，，
，，
，故选：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和、三角形的外角的性质，解题的关键是：确定虚线为的垂直平分线．
3．（2022·内蒙古通辽·八年级期末）如图，，C为OB上的定点，M，N分别为射线OA、OB上的动点．当的值最小时，的度数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作点C关于OA的对称点E，作EN⊥OC交OA于点M，此时CM+MN=EM+MN=EN最短，进而根据∠AOB=35°，和直角三角形两个锐角互余即可求解．
【详解】解：如图：

作点C关于OA的对称点E，过点E作EN⊥OC于点N，交OA于点M，
∴ME=MC，∴CM+MN=EM+MN=EN，
根据垂线段最短，EN最短，
∵∠AOB=35°，∠ENO=CFM=90°，
∴∠OMN=55°，∠OCF=55°，∴∠EMF=∠OMN=55°，
∴∠E=∠MCE=35°，∴∠OCM=∠OCF-∠MCE=20°．故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知直角三角形的两个锐角互余是解题关键．
4．（2022·湖南怀化市·八年级期末）如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB平分∠ABC．（3）求证：AE=EF．

【答案】见解析
【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可；
（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；
（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90-∠ABE =60再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案．
【详解】（1）如图，即为所求；

（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴AE=BE
∵∠A=30，∠ACB=90∴∠ABE=∠A=30，∠ABC=90-∠A=60
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60-30=30∴∠EBC=∠ABE∴EB平分∠ABC．
（3）证明：∵DE是AB的垂直平分线 ∴DE⊥AB∴∠DEB=90-∠ABE =60
∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30∴∠EFB=∠EBC∴BE=EF
又∵AE= BE∴AE=EF
【点睛】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．
5．（2021·石家庄九年级二模）如图，在中，D为BC中点，交的平分线AE于E，于F，交AC的延长线于G．

（1）求证：；（2）若，，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）连接BE、EC，证明即可；
（2）证明，则，继而求得的长
【详解】（1）证明：如图，连接BE、EC，

∵，D为BC中点，∴，
∵，，且AE平分，∴，
在和中，，（HL）∴．
（2）解：在和中，，
∴（HL），∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形全等的证明，全等三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．（2022·云南·初二期末）在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为6．（1）与的数量关系为 ．（2）求的长．（3）分别连接，，，若的周长为16，求的长．

【答案】（1）；（2）6；（3）5．
【分析】（1）根据垂直平分线的性质即可得；（2）先根据垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式、等量代换即可得；（3）先根据垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式可得，由此即可得出答案．
【解析】（1）因为的垂直平分线交于点，所以，故答案为：；
（2）因为是的垂直平分线，是的垂直平分线，所以，，
因为的周长为6，所以，所以；
（3）因为是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，所以，，
因为的周长为16，所以，
所以，所以．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的周长公式等知识点，掌握理解垂直平分线的性质是解题关键．

题型4 角平分线的运用
【解题技巧】角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
1．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（       ）

A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答．
【详解】根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．
故本题选A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解答本题的关键．
2．（2022·河北·围场满族蒙古族自治县中小学教研室八年级期末）如图，已知、的角平分线、相交于点P，，，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①平分；②；③；④．
其中结论正确的是（       ）

A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【分析】①过点P做PD⊥AC，根据AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明即可得出结论；②根据BP和CP都是角平分线，即可得到∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABC-（180°-∠PCN）=-∠ABC+∠PCN=-∠ABC+∠ACN，根据外角定理，可以得到∠BPC=-∠ABC+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC，即可得到结论；③由①可得，，故∠APC=∠MPN，根据∠PMB=∠PNB=90°，所以∠MPN=180°-∠ABC，代入得∠APC＝90°﹣∠ABC，即可得出结论；④由①可得，，故S△APM+S△CPN=S△APC，即可得出结论．
【详解】解：①过点P做PD⊥AC，如图所示：

∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE，∴PM=PD，
∵BP是∠ABC的角平分线，PN⊥BF，∴PM=PN，∴PD=PN，
∵PC=PC，∴，∴∠PCD=∠PCN，故①正确；
②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线以及三角形内角和为180°，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABC-（180°-∠PCN），
=-∠ABC+∠PCN=-∠ABC+∠CAN，
∵外角定理，∴∠BPC=-∠ABC+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC，故②正确；
③由①可得，，且，∴∠APC=∠MPN，
∵∠PMB=∠PNB=90°以及四边形内角和为360°，
∴∠MPN=180°-∠ABC，∴∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确；
③由①可得，，且，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④错误；则正确的有：①②③．故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线以及角度运算、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质以及严谨的推理是解决本题的关键．
3．（2022·广东汕头·八年级期末）如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则：：等于（     ）

A．：： B．：： C．：： D．：：
【答案】C
【分析】过点作于，于，于，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得：，依据三角形面积公式求比值即可得．
【详解】解：过点作于，于，于，

点是三条角平分线交点，
，
：：：：
，
故选：C．
【点睛】题目主要考查角平分线的性质及三角形面积公式，理解角平分线的性质是解题关键．
4．（2022·山东枣庄·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）

A．15 B．7.5 C．8 D．9
【答案】B
【分析】过点D作DE⊥BC于点E．根据BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD⊥AB．得出AD=DE=3．然后利用三角形面积S△BCD=BC•DE=7.5即可．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，

∵∠A=90°，
∴AD⊥AB，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD⊥AB，
∴AD=DE=3，
又∵BC=5，
∴S△BCD=BC•DE=×5×3=7.5．
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形面积，掌握角平分线性质，三角形面积是解题关键．
5．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据证明得到，进一步可得结论．
【详解】解：（1）如图，为所作的平分线；

（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在和中
∵
∴，
∴
又∵
∴，
∴
【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到．
6．（2020·湖南长沙·中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知： 求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．

请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
①     ② ③     ④
（2）请你证明OC为的平分线．
【答案】（1）①；（2）证明见解析
【分析】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由“SSS”可以证得△EOC≌△DOC；
（2）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线．
【详解】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线；
故答案为：①；
（2）如图，

连接MC、NC．
根据作图的过程知，
在△MOC与△NOC中，
，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∠AOC=∠BOC，
∴OC为的平分线．
【点睛】本题考查了作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．

题型5 等腰三角形的性质与判定
【解题技巧】掌握等腰三角形的性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。
3）有两条边相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
1．（2022年江苏省苏州市中考数学真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3
∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．
故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
2．（陕西省西安市高新一中2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题）如图，中，于点D，于点E，于点F，，则的长为（       ）


A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质可得CD=BD，从而得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴CD=BD，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，∴DE=4．故选：C
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（陕西省榆林市高新区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）习题课上， 张老师和同学们一起探究一个问题∶ “如图， 在 中， 分别 是 上的点， 与 相交于点 ， 添加下列哪个条件能判定 是等腰三角形？"请你判断正确的条件应为（          ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】添加，，∠BEO=∠BOE，不能判断三角形全等，故A，B，D选项不正确，
若添加条件：∠BEO=∠CDO
∵在△EBO和△DCO中，
，∴△EBO≌△DCO（AAS），∴∠EBO=∠DCO，
∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；故选C
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，掌握以上知识是解题的关键，
4．（陕西省西安市西安交通大学附属中学2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________．
【答案】100°，70°，40°或者10°
【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．
【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，

∵BD=CD，∠B=20°，
∴∠B=∠DCB=20°，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，
（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，
∴∠A=∠ACD=70°；
（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，
∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；
（3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；
第二种请况：BC=CD时，如图，

∵∠B=20°，BC=CD，
∴∠B=∠BDC=20°，
∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，
∵△ADC是等腰三角形，
∴有∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠A=10°；
第三种情况：BC=BD时，如图，

∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，
∵△ADC是等腰三角形，
∴有∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠A=40°；
综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，
故答案为：70°，100°，40°，10°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．
5．（陕西省咸阳市武功县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，E为的外角平分线上的一点，AE//BC，．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求CE的长．

【答案】(1)证明见解析(2)4
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）先根据三角形全等的判定证出，再根据全等三角形的性质即可得．
（1）证明：∵AE//BC，，，
为的外角平分线上的一点，，
，，是等腰三角形．
（2）解：由（1）已得：，，
在和中，，
，，，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
6．（四川省广元市剑阁县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，延长BF交AC于E．
(1)求证：△FBD≌△ACD；(2)求证：△ABC是等腰三角形；(3)求证：CEBF．

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的直角边相等可得BD=CD，再利用“边角边”证明△FBD和△ACD全等即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCA，再根据∠DCA+∠A=90°推出∠DBF+∠A=90°，然后求出∠AEB=90°，再利用“角边角”证明△ABE和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CB，从而得证；（3）根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，AE=CE，然后求出CE=BF．
（1）在等腰Rt△DBC中，BD=CD，
∵∠BDC=90°，∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵在△FBD和△ACD中，，∴△FBD≌△ACD（SAS）；
（2）∵△FBD≌△ACD，∴∠DBF=∠DCA，
∵∠ADC=90°，∴∠DCA+∠A=90°，∴∠DBF+∠A=90°，
∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°，
∵BF平分∠DBC，∴∠ABF=∠CBF，
∵在△ABE和△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AB=CB，∴△ABC是等腰三角形；
（3）∵△FBD≌△ACD，∴BF=AC，
∵△ABE≌△CBE，∴AE=CE=，∴CE=BF．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，等边对等角的性质，综合题但难度不大，熟记各性质是解题的关键．

题型7 等边三角形的性质与判定
【解题技巧】掌握等边三角形的性质与判定：
1）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
2）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
3）三个角都相等的三角形是等边三角形。
4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
1．（河南省周口市西华县2021-2022学年八年级上学期期中数学试题）如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【分析】利用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CGD＋∠CDG，∴∠CGD＋∠CDG＝60°，
∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°，
∵∠CDG＝∠DFE＋∠E，∴∠DFE＋∠E＝30°，
∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°，故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角和三角形的外角性质，利用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键．
2．（陕西省安康市紫阳县2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题（A卷））如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（       ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=CD(三线合一)
∴DC=cm，
∵∠E = 30°
∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°
∴∠CDE=∠E
所以CD=CE=2cm
故选：B．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所
对的直角边等于斜边的一半．
3．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）（多选题）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、，作直线，且与相交于点．则下列说法正确的是（       ）

A．是等边三角形 B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质一一判断即可．
【详解】解：由作图可知：AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，故A选项正确
∵等边三角形三线合一，
由作图知，CD是线段AB的垂直平分线，
∴，故B选项正确，
∴，，故C选项正确，D选项错误．
故选：ABC．
【点睛】此题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．（河北省廊坊市大城县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（       ）
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】如图，连接AC，由△ABD是等边三角形得AB=AD，从而得点A、CD都在线段BD的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，即可判断②正确，三角形的外角性质得∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，从而判断③错误，先找到CE=AE，又由△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，得AD=AB=8，EF=DE=2，从而有CF=CE-EF=4，即可判断④正确．
【详解】解：如图，连接AC，

∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，
∵，∴点A、C都在线段BD的垂直平分线上，
∴连接AC，则AC垂直平分线段BD，故①正确，
∵，∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，
∴△DEF是等边三角形，故②正确，
∵BC=BD，，∴∠CDB=∠CBD=40°，
∵∠DFE=60°，∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③错误，
∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°，∴∠CAB=∠CAD=30°，
∵AB//CE，∴∠ACE=∠CAB=∠CAD，∴CE=AE，
∵△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，∴AD=AB=8，EF=DE=2，
∴CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=8-2-2=4，故④正确，故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
5．（2022年湖南省怀化市中考数学真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．

(1)求证：MP=NP；(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
【答案】(1)见详解；(2)0.5a．
【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可；
（2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．
(1)如下图所示，过点M作MQCN，

∵为等边三角形，MQCN，
∴，则AM=AQ，且∠A=60°，
∴为等边三角形，则MQ=AM=CN，
又∵MQCN，∴∠QMP=∠CNP，
在，
∴，   则MP=NP；
(2)∵为等边三角形，且MH⊥AC，∴AH=HQ，   
又由（1）得，，则PQ=PC，
∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（江西省景德镇市乐平市2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，在中，，于点D，于点E．AD交B于点F，点G为BC边的中点，作交直线FG于点H．

(1)如图1，当，时，______，______．(2)如图2，当时，试探索AF与BH的数量关系，并证明．(3)如图3，当时，（2）中AF与BH的数量关系______成立（填“仍然”或“不再”）．请说明理由．
【答案】(1)3；3(2)BH＝CF，见解析(3)仍然，见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AF＝CF＝BF＝3，再说明BF＝BH，可得答案；
（2）连接CF，首先利用ASA证明△ADC≌△BDF，得DF＝DC，则∠DCF＝45°，再证明△CGF≌△BGH，得BH＝CF，从而证明结论；
（3）连接CF，先证明CFBH，得到∠H＝∠CFG，再证明△CGF≌△BGH（AAS），从而解决问题．
（1）解：如图1，∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∠CBE＝30°，∴AF＝CF＝3，
∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，∴∠HBC＝∠ABH－∠ABC＝30°，
∵AD⊥BC，∴∠BDH＝∠BDF＝90°，AD垂直平分BC，
∴∠H＝90°－∠HBC＝60°，∠BFH＝90°－∠CBE＝60°，BF＝CF＝AF＝3，
∴∠H＝∠BFH＝60°，∴BH＝BF，∴BF＝BH＝CF＝3，故答案为：3，3；

（2）AF＝BH，理由如下：连接CF，如图2，
∵∠ABD＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADC＝∠BDF＝90°，
∵BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BDF＝∠ADC＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，∴∠EAF＝∠DBF，∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴DF＝DC，∴∠DCF＝45°，∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，
∴∠HBG＝∠ABH －∠ABD＝45°，∴∠HBG＝∠FCD，
∵点G为BC边的中点，∴CG＝BG，
∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（ASA），∴BH＝CF，
∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，∴AF＝BH；

（3）仍然，证明如下：连接CF，如图3，
∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E．由三角形三条高交于一点，得CF⊥AB．
∵BH⊥AB，∴CFBH．∴∠H＝∠CFG，
∵点G为BC边的中点，∴CG＝BG，
∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（AAS），∴BH＝CF，
∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，∴AF＝BH；故答案为：仍然．

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、证明△CGF≌△BGH是解题的关键．
题型8 轴对称作图
1．（2022·湖南·中考模拟）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上．
（1）B点关于y轴的对称点坐标为 ；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为 ．

【答案】（1）（﹣3，2）； （2）作图见解析（3）（﹣2，3）
【分析】（1）关于y轴对称的点坐标是纵坐标相同，横坐标互为相反数
（2）分别将三个顶点A、O、B，向左方向平移三个单位，然后连线
（3）左平移三个单位的坐标变化规律是纵坐标不变，横坐标减3
【详解】解：（1）因为B的坐标是（3，2），
所以B关于y轴对称的点的坐标是（-3，2）
（2）将A向左移三个格得到A1，O向左平移三个单位得到O1，B向左平移三个单位得到B1，再连线得到△A1O1B1

（3）因为A的坐标是（1，3），左平移三个单位的坐标变化规律是纵坐标不变，横坐标减3，
所以A1是（-2，3）．
【点睛】本题考查了关于y轴对称点坐标规律及图形平移后点的坐标规律．
2．（2022·云南·三模）在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上．

（1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）作出关于对称的，并写出点的坐标．
【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析，
【分析】（1）作点A、B、C关于x轴的对称点、、，得到，再写出的坐标；
（2）作点A、B、C关于y轴的对称点、、，得到，再写出的坐标．
【详解】解：（1）如图所示，；

（2）如图所示，．

【点睛】本题考查轴对称图形和点坐标，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中画轴对称图形的方法．
3．（2022·浙江宁波·模拟预测）在下面的方格纸中，的三个顶点都在格点上，
（1）在图1中画出与成关于BC成轴对称的格点三角形；
（2）在图2的格点中标出使与面积相等的点D的位置（除点C外）

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）找到A点关于BC的对称点A＇，顺次连接即可；
（2）根据等底等高的三角形面积相等找点即可．
【详解】（1）如图，△A＇BC就是所求的图形．

（2）如图：D1、D2、D3、D4就是所求的点．

【点睛】本题考查的是网格作图，掌握轴对称的性质及等底等高的三角形面积相等是关键．
4．（2022·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，其中，点、、的坐标分别为、、.

（1）作关于直线对称的，其中，点、、的对应点分别为、、（不要求写作法）。（2）写出点、、的坐标.
【答案】（1）见解析   （2）（０，１） （2，5）   （3，2）
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出点A1、B1、C1的坐标即可．
【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示；

（2）A1（0，1），B1（2，5），C1（3，2）．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
5．（2022·山东济南·七年级期末）（1）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
②在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；
③求△ABC的面积．

（2）如图是5×5的正方形网格，请以DE为一边作两个位置不同的格点三角形(三角形的顶点在网格的交点上)，使所作的三角形(△DEB1、△EDB2)与△ABC全等．
【答案】（1）①画图见解析，②画图见解析，③；（2）画图见解析
【分析】（1）①根据轴对称的性质即可画出△A'B'C'； ②连接交直线l于点P，即可使得△APC的周长最小；③利用长方形的面积减去周围三角形的面积即可；
（2）把向右边平移两个单位，再向下平移3个单位，得 再把沿直线DE对折得到，从而可得答案．
【详解】解：（1）①：如图，△A'B'C'即为所求；

②如图，点P即为所求；
③△ABC的面积=．
（2）如图，是所作的三角形，

【点睛】本题考查的是平移的作图，轴对称的作图，三角形的面积的计算，全等三角形的概念，利用平移与轴对称的性质作图是解本题的关键．
6．（2022·陕西安康·八年级期末）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1），

(1)请以y轴为对称轴，画出与△对称的△，并直接写出点、、的坐标；
(2)点（a+1，b-1）与点C关于x轴对称，则____________， ____________．
【答案】(1)图见解析，A1(-1，-4)，B1（-5，-4），C1（-4，-1）(2)，
【分析】（1）先得到△ABC关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可；
（2）由关于x轴对称两点横坐标相等，纵坐标互为相反，即可求得a，b的值
(1)解：△如下图，A1（－1，－4）、B1（－5，－4）、C1（－4，－1）；

(2)∵P（a+1，b-1）与点C（4，-1）关于x轴对称，
∴，解得：，
【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，解题的关键是要注意：先找到图形的关键点，分别把这几个点轴对称，在顺次连接对应点即可得到所求图形．

题型9 等腰三角形与全等三角形综合题
1．（2021·重庆南开中学八年级期末）如图，在锐角△ABC中，点D在线段CA的延长线上，BC边的垂直平分线分别交AB边于点E，交∠BAC的平分线于点M，交BAD的平分线于点N，过点C作AM的垂线分别交AM于点F，交MN于点O，过点O作OG⊥AB于点G，点G恰为AB边的中点，过点A作AI⊥BC于点I，交OC于点H，连接OA、OB，则下列结论中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正确的是________．（填序号）

【答案】（1）（2）（4）（5）
【分析】（1）使用角平分线的性质即可；（2）根据AB和BC的垂直平分线OG和MN可以得到OA=OB=OC，进而得到三组相等的角，再进行等量代换即可；（4）在和中，易得和公共边AH，再通过角度的计算和等量代换可以得到，即可证明；（5）根据垂直平分线的性质和（4）中的全等三角形可得BO=AH，通过角度的计算和等量代换可以证明和，进而可通过证明得到BE=AC，再进行等量代换即可；（3）易得OH=2OF，根据分析无法证明OF=OG，故可判断该项不符合题意．
【详解】解：（1）∵AM平分，AN平分，∴，．
∴．
又∵根据图示可得，∴．故（1）符合题意．
（2）∵G为AB中点，且，MN垂直平分BC，
∴OA=OB=OC，．
∴，，，．
∴，．
又∵，∴．
∴．∴．
∴．∴．
∴．故（2）符合题意．
（4）如图所示，延长CO交AB于点J．

∵OB=OC，MN垂直平分BC，∴，．
又∵，，，
∴．
∵，∴．
∴．∴．
∴．∴．
又∵，，∴．∴．∴．
∵AM平分，，∴，．
又∵，，
∴．∴．
又∵，∴．
∴．∴．
在和中，∵∴．故（4）符合题意．
（5）∵，，∴．
又∵，，∴，．
∴，．∴．
∵，∴OA=HA．又∵OA=OB，∴BO=AH．
∵，，，∴．
又∵，∴．∴．
在和中，∵∴．∴BE=AC．∴AE+AC=AE+BE=AB．
∵G为AB中点，∴AB=2AG．∴AE+AC=2AG．故（5）符合题意．
（3）∵，∴FO=FH．∴OH=2OF．
∵，，∴．
∵无法证明AF=AG和和，
∴无法证明．∴OF和OG可能相等，也可能不相等．
∴OH与2OG不一定相等．故（3）不符合题意．故答案为：（1）（2）（4）（5）．
【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键，特别注意等量代换的使用．
2．（2021·四川八年级期末）如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．

（1）求证：；（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OF=OG+OA，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，理由含30°角的直角三角形的性质可得OC=2OD，进而可证明结论；（2）理由ASA证明△CGB≌△CGF即可证明结论；
（3）连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，可证得△OMG是等边三角形，进而可利用ASA证明△GMF≌△GOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可说明猜想的正确性．
【详解】解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，∴OA=OC，
在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，∴OC=2OD，∴OA=2OD；
（2）证明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∴BG=CG，∴∠GCB=∠GBC，
∵CG平分∠BCE，∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，∴∠BGC=150°，
∵∠BGF=60°，∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，∴∠BGC=∠FGC，
在△CGB和△CGF中，，∴△CGB≌△CGF（ASA），∴GB=GF；
（3）解：OF=OG+OA．理由如下：连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，

∵CA=CB，CE⊥AB，∴AE=BE，∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，
∵OM=OG，∴△OMG是等边三角形，∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，
∵∠BGF=60°，∴∠BGF=∠MGO，∴∠MGF=∠OGB，
∵∠GMF=120°，∴∠GMF=∠GOB，
在△GMF和△GOB中，，∴△GMF≌△GOB（ASA），
∴MF=OB，∴MF=OA，∵OF=OM+MF，∴OF=OG+OA．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含30° 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．
3．（2021·山东济南市·八年级期末）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH∠BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段A延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

【答案】（1）1；（2）见解析；（3）不改变，
【分析】（1）证△OAP≌△OBC（ASA），即可得出OP=OC=1；（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，证△COM≌△PON（AAS），得出OM=ON．得出HO平分∠CHA，即可得出结论；
（3）连接OD，由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD，则∠OAD=45°，证出∠DAN=∠MOD．证△ODM≌△ADN（ASA），得S△ODM=S△ADN，进而得出答案．
【详解】解：（1）∵BO⊥AC，AH⊥BC，∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，
∴∠OAP+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，，
∴△OAP≌△OBC（ASA），∴OP＝OC＝1；
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示：

在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
在△COM与△PON中，，∴△COM≌△PON（AAS），∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，∴HO平分∠CHA，∴∠OHP=∠AHC＝45°；
（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于．理由如下：
连接OD，如图2所示：

∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，∴∠DAN＝135°＝∠DOM．
∵MD⊥ND，即∠MDN＝90°，∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．
在△ODM和△ADN中，，∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN，∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD=S△AOB=×AO•BO=××3×3=．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
4．（2021·江苏景山中学八年级期末）（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是　 　；BE＋BF与的BC数量关系是　 　；（写出结论即可，不必证明）

（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE＋BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是　 　．（直接写出结论即可）
【答案】（1）DE=DF，BE+BF=BC；（2）DE=DF，BE+BF=BC；（3）DE=DF，BF-BE=BC
【分析】（1）点与点重合，即，因为，所以可得出三者之间的关系；
（2）过作交于点，证明，DE=DF，ME=CF，即可得到结果；
（3）取中点，连接，证明△END≌△FCD，得到DE=DF，从而判断BE、BF、BC的关系．
【详解】解：（1）等边中，点为的中点，，
，，；
（2）；．过作交于点，

则，，是等边三角形，
则，，则，即：，
在和中，，，
，，∴；
（3）取中点，连接，如图所示
，，，
，，
，，．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．
5．（2021·南师附中树人学校九年级月考）如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，则称△DEF是△ABC的内接三角形．
（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF是△ABC的内接 　 　．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或等边三角形 D．直角三角形
（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）（3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我们以点D为角的顶点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC于点F．
我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重合．在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果存在某个时刻正好DE＝DF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）．理由：　 　是等边三角形．
②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边三角形DBF′和DCF″．连接FF'，FF″，证明：FF'+FF″＝BC．
③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出△ABC的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）B；（2）见解析；（3）①有一个角是60°的等腰三角形；②见解析；③见解析
【分析】（1）通过已知条件判断三角形全等即可；（2）过三点作对边的垂线即可；
（3）①运用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这一定理即可；
②通过证明三角形全等得到BE＝F′F和EC＝FF″，即可证明FF'+FF″＝BC；
③运用②的结论，确定等边三角形一个点F，再通过截取确定点E，即可作出所求三角形．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵AD＝BE＝CF，∴AB﹣AD＝BC﹣BE＝AC﹣CF，∴BD＝CE＝AF，
在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝ED，
在△ADF和△CFE中，，∴△ADF≌△CFE（SAS），
∴DF＝EF，∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形，故答案为：B；
（2）如图所示，△ABC的边长最小的内接等边△DEF即为所求；

（3）①∵DE＝DF，∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
故答案为：有一个角是60°的等腰三角形；
②连接FF′和FF″，∵△DBF′、△DEF、△DCF″都是等边三角形，
∴DB＝DF′，DE＝DF，DC＝DF″，∠BDF′＝∠EDF＝∠CDF″＝60°，
∴∠BDE＝∠F′DF，∠EDC＝∠FDF″，
在△DBE和△DF′F中，，∴△DBE≌△DF′F（SAS），∴BE＝F′F，
在△DEC和△DFF″中，，∴△DEC≌△DFF″（SAS），∴EC＝FF″，
∴BC＝BE+EC＝F′F+FF″，即FF'+FF″＝BC；

③以BD为边作等边△BDF′，以CD为边作等边△CDF″，连接F′F″交AC于点F，连接DF，
在BC上截取BE＝F′F，连接DE，DF，△DEF即为所求．

【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及尺规作图，构造全等三角形是解题的关键．
6．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，M为AC中点，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE、DE、ME．（1）求证：CD＋CE＝CA；
（2）求出点M到CE所在直线的距离；（3）当ME＝时，求CE的值．

【答案】（1）见解析；（2） ；（3）或；
【分析】（1）依据可证明，可得，即可；
（2）过点作，由（1）知，利用直角三角形的性质，即可求解；
（3）过点作，讨论点，在线段上还是的延长线上，通过直角三角形的性质，即可求解；
【详解】（1）由题知，为等边三角形，∴；
又，逆时针旋转；由旋转的性质可知：；，∴；
在和中，，∴ ，∴
∴∴；
（2）过点作，

由（1）知，∴，
又为的中点，∴；在中，，∴ ；
∴ ；∴ ；∴到所在直线的距离为；
（3）过点作，

由（2）知，，；在中，，；∴ ；
当点落在线段上时，；
当点落在线段的延长线时，；∴的值为或；
【点睛】本题主要考查全等三角形证明、等边三角形和直角三角形的性质，关键在寻找相关条件作辅助线；
7．（2021·四川）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，分别以AB，AC为边向三角形外作等边△ABD和等边△ACE，解答下列各题，并要求标注推导理由：（1）如图1，求证：AD∥BC；（2）如图2，连接CD、BE，求证：DC＝BE；（3）如图3，若∠ACB=90°，连接DE，交AB于点F，求证：DF＝EF．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行证明即可；（2）由等边三角形的性质得∠DAB=∠EAC=60°,AD=AB，AE=AC，运用SAS证明△ADC≌△ABE即可得到结论；
（3）作DG//AE，证明得DG=AC，再根据AAS证明即可得到．
【详解】解：（1）证明：∵△ABD是等边三角形（已知）
∴∠ADB=∠ABD=60°(等边三角形每个内角都相等，都等于60°)
∵∠ABC=60°(已知)∴∠ABD+∠ABC=120°∴∠ADB+∠DBC=180°
∴AD//BC(同旁内角互补，两直线平行)
（2）∵△ABD，△ACE是等边三角形（已知）
∴∠DAB=∠EAC=60°(等边三角形每个内角都相等，都等于60°)
AD=AB，AC=AE（等边三角形，三条边相等）
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠CAB（等式的性质）
∴∠BAC=∠EAD∴△ADC≌△ABE(SAS)∴DC=BE（全等三角形对应边相等）
（3）如图，作DG//AE，交AB于点G，

∵∠ABC=60°,∠ACB=90°（已知）∴∠BAC=30°(直角三角形两锐角互余)
∴∴∠DGA=∠FAE=90°(两直线平行，内错角相等)
∴∠DGB=90°（补角的定义）
在△DBG和△ABC中 ∴△DBG≌△ABC(AAS)∴DG=AC
∵△AEC是等边三角形（已知）∴AE=CE（等边三角形的性质）∴DG=AE（等量代换）
∵∠DFG=∠EFA(对顶角相等)又∠DGF=∠EAF(已证)∴△DGF≌△EAF(AAS)
∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质和判定是关键．
8．（2021·山东八年级期末）已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在射线BF上，连接CE．
（1）如图1，BD与CE是否相等？请说明理由；（2）如图1，求∠BCE的度数；（3）如图2，当D在BC延长线上时，连接BE，△ABE、△CDE与△ADE的面积有怎样的关系？并说明理由．

【答案】（1）BD=CE，理由见解析；（2）∠BCE=120°；（3）S△ABE+S△CDE=S△ADE；理由见解析．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，根据角的和差关系可得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可得结论；
（2）根据等边三角形的性质可得∠B=∠ACB=60°，根据全等三角形的性质可得∠ACE=∠B=60°，根据角的和差关系即可得答案；（3）根据角的和差关系可得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证明△ABD≌△ACE，可得S△ABD=S△ACE，可得∠ABC=∠ACE=60°，根据平角定义可得∠ECD=60°，可得AB//CE，根据平行线间的距离相等可得S△ABE=S△ABC，根据图形面积的和差关系即可得出S△ADE=S△ABE+S△CDE．
【详解】（1）BD=CE，理由如下：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，∠CAE+∠DAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．
（2）△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，
∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠B=60°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°．
（3）S△ABE+S△CDE=S△ADE，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，
∴S△ABD=S△ACE，∠ABC=∠ACE=60°，∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60°，
∴∠ABC=∠ECD，∴AB//CE，∴S△ABE=S△ABC，
∵S△ACE+S△CDE=S△ADE+S△ACD，∴S△ABD+S△CDE=S△ADE+S△ACD，
∴S△ABC+S△ACD+S△CDE=S△ADE+S△ACD，∴S△ABE+S△CDE=S△ADE．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定是解题关键．

题型10. 逆命题与逆定理的相关概念
1．（2022•道外区八年级期末）下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应八年级角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据全等三角形的性质和判定进行判断即可．
【解析①形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，原命题是假命题；
②在两个全等的三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边，原命题是假命题；
③全等三角形的对应边相等，是真命题；
④全等三角形对应边上的高相等，是真命题；故选：B．
2．（2022•江宁区八年级月考）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②等角的余角相等；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】用平行线的判定、互余的定义、直角的定义及对顶角的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解析①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，符合题意；
②等角的余角相等的逆命题为余角相等的两个角相等，正确，是真命题，符合题意；
③直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，错误，为假命题，不符合题意；
④相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，正确，为真命题，符合题意，
真命题有3个，故选：C．
3．（2022•越秀区八年级期中）下列命题的逆命题不成立的是（　　）
A．两条直线平行，同旁内角互补
B．全等三角形的对应边相等
C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【分析】先写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定定理、全等三角形的判定定理、绝对值的性质、线段垂直平分线的判定定理判断即可．
【解析A、两条直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，成立，不符合题意；
B、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，成立，不符合题意；
C、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不成立，符合题意；
D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上，成立，不符合题意；故选：C．
4．（2022•锦江区八年级期中）已知下列命题：①四边形是多边形；②对顶角相等；③两直线平行，内错角相等；④如果ab＝0，那么a＝0，b＝0；则原命题和逆命题均为真命题的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据多边形的概念、对顶角的概念、平行线的判定和性质、有理数的乘法法则判断即可．
【解析①四边形是多边形的逆命题是多边形是四边形，原命题是真命题，逆命题是假命题；
②对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，原命题是真命题，逆命题是假命题；
③两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，原命题是真命题，逆命题是真命题；④如果ab＝0，那么a＝0，b＝0的逆命题是如果a＝0，b＝0，那么ab＝0，原命题是假命题，逆命题是真命题；故选：A．
5．（2022•定西期末）把命题“实数是无理数”改写成“如果…，那么…”的形式为 　 　．
【分析】先分清命题“实数是无理数”的题设与结论，然后写成“如果…那么…”的形式．
【解析如果一个数是实数，那么这个数是无理数．
故答案为：如果一个数是实数，那么这个数是无理数．
6．（2022•贺兰县八年级期中）写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．
【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据四边形内角和是360°、对顶角相等证明即可．
【解析命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．
原命题是假命题．
反例：如图1，∠CAB 的两边与∠CDB的两边分别垂直，但∠CAB+∠CDB＝180°，∠CAB与∠CDB不一定相等；
逆命题是假命题．
反例：如解图2，∠AOC＝∠BOD，但AB与CD不一定垂直．