2022-2023学年福建省莆田市荔城区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省莆田市荔城区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在▱中，如果，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  为庆祝中国共产主义青年团建团周年，某校团委组织以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况：

数据，，，，的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，四边形的对角线，交于点，则不能判断四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.  已知一次函数的图象经过过一、二、四象限，那么，的取值范围是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7.  如图，正方形的边长为对角线，交于点，是延长线上一点，且则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，已知四边形是平行四边形，若、分别是、的平分线，，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知点，点，点是平面直角坐标系内一点，当最大时，点的坐标可以是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  若一直角三角形两直角边长分别为和，则斜边长为______．

12.  若二次根式有意义，则的值可以是______ 写出符合题意的一个的值即可

13.  如图所示，，分别是的边，的中点，若，则______．

14.  甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是______．

 

15.  如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是______ ．

16.  如图，矩形中，，，动点、分别从点、点出发沿方向，方向运动，速度为，动点、分别从点、点出发沿方向、方向运动，速度为，四个动点同时出发且若有一个点到达矩形顶点，则所有点都停止运动，在运动过程中，对四边形形状描述正确的是：______ 填写序号
一定是平行四边形；可能是矩形；不可能是菱形；不可能是正方形．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
已知，，，求的值．

19.  本小题分
如图，矩形的对角线，交于点，点，分别是，上的点，且，连接，．
求证：．

20.  本小题分
如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、求的长．

21.  本小题分
某校准备购进一批篮球和足球供训练使用，若购买个篮球和个足球共需花费元；若购买个篮球和个足球共需花费元．
求篮球和足球的单价各是多少元？
现学校拟购买篮球和足球共个，且篮球的数量不少于足球数量的，问：最多需花费多少元？

22.  本小题分
为了鼓励更多的学生参与社区志愿者服务，甲、乙两所学校举办了志愿服务团队选拔活动经过初选，两所学校各有名学生进入综合素质展示环节为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了名学生的综合素质展示成绩分为整数，并对数据成绩进行整理、描述和分析下面给出了部分信息：
甲学校学生成绩的频数分布直方图如图所示数据分成组：，，，，乙学校学生成绩的扇形统计图如下表所示数据分成组，其中组：，组：，组：：

在各校抽取的名学生中，甲学校学生、乙学校学生的综合素质展示成绩同为分，如果按照成绩从高到低进行排名成绩高的排名在前，请判断、在各自学校所抽取出来的名学生中的综合素质展示排名谁更靠前？并说明理由；
根据所学的知识对数据进行分析，你认为从哪个角度能更合理评估两所学校综合素质成绩的高低请简单说明理由并作出比较．

23.  本小题分
如图，中，．
请仅用无刻度的直尺和圆规在内求作点，使保留作图痕迹，不写作法；
在的条件下，延长交于点，若为中点且，求的面积．

24.  本小题分
如图，已知直线：分别交轴、轴的正半轴于、两点，直线：交轴负半轴于点．
求证：无论取何值，直线必过一定点；
点、分别为、延长线上的点，且、到轴的距离相等，当时．
试证明直线与直线互相垂直；
连接、，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

25.  本小题分
如图，在正方形中，为边上异于、的一个动点，将正方形沿折叠，点为点的对应点，延长，分别交直线于点，．

如图，将正方形沿再次折叠，点恰好与点重合．
求证：；
连接并延长交于点，分别记，，正方形的面积为，，，试探究，，之间的数量关系，并给出证明；
如图，连接，若正方形的边长为，设，的面积为，求关于的函数关系式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是最简二次根式，错误；
B、是最简二次根式，正确；
C、不是最简二次根式，错误；
D、不是最简二次根式，错误；
故选：．

本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义进行解答．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选D．
根据“平行四边形的对角相等”的性质推知，则易求．
本题考查的是平行四边形的性质．本题利用了平行四边形对角相等的性质求得的度数．
 

3.【答案】 

【解析】解：，不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选C．
由二次根式的加减运算可判断，，由二次根式的化简可判断，，从而可得答案．
本题考查的是二次根式的化简，二次根式的加减运算，掌握“二次根式的加减运算的运算法则”是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将数据从小到大排序：，，，，，
中位数为，
故选：．
根据中位数的定义即可得出答案．
本题考查了中位数，掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：．
利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过过一、二、四象限，
故，，
，，
故选：．
根据一次函数图象经过第一、二、四象限，则，，即可求解．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、二、四象限．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
正方形的边长为，
，
在中，
，
即，
解得，
，
，
在中，
．
故选：．
由正方形的性质得到，，根据勾股定理可求出，，再利用勾股定理即可求出的长度．
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，令时，则，
，
，
由图可得：不等式的解集为．
故选：．
先求出点坐标，再观察图象，利用一次函数与一元一次不等式的关系得出结论．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
、分别是、的平分线，
，，
，，
，，
．
故选：．
由四边形是平行四边形，若、分别是、的平分线，易得与是等腰三角形，继而求得，则可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得与是等腰三角形是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设直线的解析式为：，
将点，点代入得，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当、、不共线时，根据三角形的三边关系可得：，
当、、在一条直线上，且在的左侧或在的右侧时，最大，
当时，，
在直线上，但在的中间，不符合题意，
当时，，
在直线上，但在的中间，不符合题意，
当时，，
在直线上，且在的左侧，符合题意，
当时，，
不在直线上，不符合题，
当最大时，点的坐标可以是，
故选：．
先用待定系数法求出直线的解析式，再根据三角形的三边关系得到当、、在一条直线上，且在的左侧或在的右侧时，最大，逐项分析各个点即可得到答案．
本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的三边关系，解题的关键是得到当、、在一条直线上，且在的左侧或在的右侧时，最大．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．
【解答】
解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，
故斜边长，
故答案为．  

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：根据题意可得：，
解得：，
的值可以是，
故答案为：答案不唯一．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围，从而即可得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，分别是的边，的中点，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

14.【答案】乙 

【解析】解：根据图形可得：乙的成绩波动最小，数据最稳定，
则三人中成绩最稳定的是乙；
故答案为：乙．
根据方差的意义，数据波动越小，数据越稳定即可得出答案．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得，点关于直线的对称点是的中点，连接交与点，此时有最小值为，

四边形是菱形，，点，
，，
是等边三角形，
，
即的最小值是，
故答案为：．
根据题意得，点关于直线的对称点是的中点，连接交于点，此时有最小值，求出此时的最小值即可．
本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意画出图如图所示：
，
由题意可得：，，，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
同理可得：≌，
，
四边形是平行四边形，故正确，
假设时四边形是矩形，则，
，，
，
∽，
，
，，动点、分别从点、点出发沿方向，方向运动，速度为，动点、分别从点、点出发沿方向、方向运动，速度为，
，，，，
，
解得：，
，
当时，四边形是矩形，故正确，
假设时四边形是菱形，则，
，，
，
解得：，
当时，四边形是菱形，故错误，
假设时四边形是正方形，则，，
由和可得：，
此时无解，
四边形不可能是正方形，故正确，
综上所述：正确的是，
故答案为：．
由可证明≌和≌，得到和，从而得到四边形是平行四边形，即可判断，根据矩形的性质假设设时四边形是矩形，则，通过证明∽，，即，求解即可判断，假设时四边形是菱形，则，即，求解即可判断，假设时四边形是正方形，则，，由和可得，求解即可判断，从而得到答案．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后把各二次根式化简为最简二次根式，最后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，，
． 

【解析】先计算出和的值，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法计算可使运算更简捷，
 

19.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
又，
，
即，
又，
≌，
． 

【解析】由矩形的性质得出，则，证明≌，由全等三角形的性质可得出结论．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：在中，，，，
，
连接，

垂直平分，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
． 

【解析】由勾股定理先求出，连接，根据中垂线的性质设，知，在中由列出关于的方程，解之可得答案．
本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理及线段中垂线的性质．
 

21.【答案】解：设一个篮球和一个足球的售价各是元、元，
根据题意得：，
得：．
答：一个篮球的售价是元，一个足球的售价是元．
设购进足球个，则购进篮球个，总花费为，
根据题意可得，，
解得，，
，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，即元．
最多需花费元． 

【解析】设一个篮球和一个足球的售价各是元、元，根据题意列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
设购进足球个，则购进篮球个，总花费为，根据题意列出相应的不等式和一次函数，然后根据一次函数的性质解答本题．
本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，利用方程的思想和不等式的性质解答．
 

22.【答案】解：乙校学生的排名靠前．
理由如下：甲校名学生成绩的中位数在分以上，而乙校学生成绩的中位数低于，
因此乙校学生的排名靠前；
根据以上信息，推断甲学校的综合素质成绩更高，理由为：与乙校相比，甲校的中位数更高，
说明甲校综合素质成绩高的学生更多，甲校分以上为人，
乙校分以上为人，
与乙校相比较，甲校优秀人数较多，
从中位数的角度推断甲学校的综合素质成绩更高． 

【解析】根据名学生成绩的中位数进行判断即可；
从中位数来进行分析即可得到结论．
此题考查了频数分布直方图和扇形统计图，中位数等知识，利用中位数进行数据分析是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，点即为所求，

由可得，

，
，
为中点且，，
，
，，
是等边三角形，，
，
，
，
的面积为． 

【解析】先作的垂直平分线，再以的中点为圆心，为半径画圆，再以点为圆心，为半径画圆，交于点，连接、；
由易得，由直角三角形斜边中线的性质可得，证明是等边三角形，可得，根据勾股定理求出的长度，即可计算的面积．
本题考查了尺规作图，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，综合运用以上知识是解题的关键．
 

24.【答案】证明：直线：，
无论取何值，时，，
无论取何值，直线一定过定点；
解：直线：分别交轴、轴的正半轴于、两点，
令，则，
解得：，
令，则，且，
，，
，，
把代入直线：得，，
，
，
直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
，
，
，，
，
，
∽，
，
在中，，
，
即，
，
即直线与直线垂直；
不是定值，理由如下：
如图，过点作轴于，过点作轴于，则，

点、分别为、延长线上的点，且、到轴的距离相等，
设，则，且，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
∽，
，
，
随的变化而变化，
即不是定值． 

【解析】由得到无论取何值，时，，则无论取何值，直线一定过定点；
先由直线：分别交轴、轴的正半轴于、两点，得到，，且，进一步得到，，再根据，得到，写出直线的解析式为：，并求出，从而得到，计算得到，从而证明∽，得到，最后根据在中，，得到，即，即可得证；
如图，过点作轴于，过点作轴于，则，先根据点、分别为、延长线上的点，且、到轴的距离相等，设，则，且，，，再依次证明∽，，∽，，最后计算即可得到答案．
本题主要考查了一次函数的几何应用，求点到坐标轴的距离，相似三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质及相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图设，交于点，，交于点，

由折叠的性质可知，，，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，；
如图过点作，交正方形的两于点，，

由正方形的性质可知，，，
，，
由折叠的性质可知，，
，
和等高，
和面积相等，
由结论和可得四边形是平行四边形，
，
，
，
；
如图，连接，设，则，

由折叠的性质可知，，，
直角中由勾股定理可得，
，
直角中由勾股定理可得，
直角中由勾股定理可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】设，交于点，，交于点，利用折叠的性质由，求得，再由矩形的判定和性质即可证明；由折叠的性质可得，于是和面积相等，再由平行四边形的判定和性质求得，得到以及的表达式即可解答；
连接，设，则，由折叠的性质可得和，在直角中由勾股定理求得，于是可得，然后在直角和直角中利用勾股定理建立方程求得的表达式即可解答．
本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理是解题关键．