2022-2023学年四川省达州市开江县新太中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省达州市开江县新太中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  若，则下列说法错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将多项式分解因式后正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，中，的垂直平分线交于，如果，，那么的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  要使分式有意义，那么的取值范围是(    )

A.  B. 且 C. 且 D.

6.  如图所示，由平移得到的三角形的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在平行四边形中，过点的直线，垂足为，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，已知函数和的图象相交于点，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若关于的方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，、分别是的边和的中点，为上任意一点，连接，将沿方向平移到的位置且在边上，已知的面积为，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  一个多边形的内角和与外角和的比是：，它的边数是______．

12.  如图，已知等边的边长为，为上一点，且，则的面积为______ ．

13.  如图方格纸中绕着点逆时针旋转______ 度，再向右平移______ 格可得到．

14.  若关于的不等式可化为，则的取值范围是______．

15.  观察下列按顺序排列的等式：，，，试猜想第个等式为正整数 ______ ，其化简后的结果为______ ．

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

16.  解方程：

 

17.  已知关于的不等式的解集是，求的值．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：；
因式分解：．

19.  本小题分
解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来

 

20.  本小题分
如图，在▱中，是的中点，连接并延长交的延长线于点．
求证：；
连接，若，求证：．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图：
将先向右平移个单位长度、再向下平移个单位长度，得到，画出；
与关于原点成中心对称，画出．

 

22.  本小题分
仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得

则
．
解得：，
另一个因式为，的值为
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．

23.  本小题分
某花农培育甲种樱花株，乙种樱花株，共需要成本元；培育甲种樱花株，乙种樱花株，共需成本元．
求甲、乙两种樱花每株成本分别为多少元？
据市场调研，株甲种樱花售价为元，株乙种樱花售价为元该花农决定在成本不超过元的前提下培育甲、乙两种樱花，若培育乙种樱花的株数是甲种樱花的倍还多株，那么要使总利润不少于元，花农有哪几种具体的培育方案？
求出选何种方案成本最少？

24.  本小题分
已知，如图，在平行四边形中，、相交于点，点、分别为、的中点，试证明：
，；
四边形是平行四边形；
如果、点分别在和的延长线上时，且满足，上述结论仍然成立吗？请说明理由．

25.  本小题分
已知，点是等边内的任一点，连接，，．
如图，已知，，将绕点按顺时针方向旋转得．
的度数是______
用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
设，．
当，满足什么关系时，有最小值？请在图中画出符合条件的图形，并说明理由；
若等边的边长为，直接写出的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：．
根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据不等式的基本性质对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了不等式的基本性质：不等式两边加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变．不等式两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】
解：、，根据不等式性质两边都加上，则，故A选项正确，不符合题意；
B、，根据不等式性质两边都乘以，，再根据不等式性质两边同时加上，则，故B选项正确，不符合题意；
C、，根据不等式性质两边都减去，则，故C选项错误，符合题意；
D、根据不等式性质两边都乘，则，即，选项正确，不符合题意．
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：
．
故选：．
利用十字相乘法进行因式分解即可，
本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
 

4.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长，
而，，
的周长是．
故选：．
由于的垂直平分线交于，所以，而的周长，而，，由此即可求出的周长．
此题主要考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式有意义的条件：分母不为，掌握不等式的解法是解题的关键．
根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求解即可．
【解答】
解：，
，
，
，
分式有意义，的取值范围，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平移的性质，要注意平移不改变图形的形状、大小和方向，注意结合图形解题的思想，难度适中．
根据平移的性质，结合图形直接求得结果．
【解答】
解：平移变换不改变图形的形状、大小和方向，
因此由平移得到的三角形有个．  

7.【答案】 

【解析】解：在平行四边形中，过点的直线，
，
，
，

四边形是平行四边形，
，
．
故选：．
设于相交于点，利用直角三角形两锐角互余即可求出的度数，再利用平行四边形的性质：即两对边平行即可得到内错角相等和对顶角相等，即可求出的度数．
此题主要考查了平行四边形的性质和对顶角相等，根据题意得出和的对顶角相等是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：把代入得，解得，则，
根据图象得，当时，．
故选：．
先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后利用函数图象，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

9.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
故选D．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出的值，代入整式方程计算即可求出的值．
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：、分别是的边和的中点，
，，
∽，相似比为：，
的面积为，
的面积为，
由平移的性质可知，的面积的面积，
图中阴影部分的面积为，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，得到∽，根据相似三角形的性质和平移的性质计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理和相似三角形的性质以及平移的性质，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半、把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
 

11.【答案】 

【解析】解：一个多边形的内角和与外角和的比是：，
这个多边形的内角和为，
设这个多边形的边数是，
则，
解得：，
即边数为，
故答案为：．
设这个多边形的边数是，先求出多边形的内角和，再根据内角和公式得出关于的方程，求出方程的解即可．
本题考查了多边形的内角和公式和多边形的外角和定理，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于，边数为的多边形的内角和公式为．
 

12.【答案】 

【解析】解：过作于，过作于，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过作于，过作于，求得，解直角三角形得到，求得，于是得到结论．
本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

13.【答案】； 

【解析】解：根据图象，绕着点逆时针方向旋转与形状相同，向右平移格就可以与重合．
故答案为：，．
观察图象可知，先把绕着点逆时针方向旋转，然后再向右平移即可得到．
本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到了旋转变换与平移变换．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
依据不等式的性质解答即可．
【解答】
解：不等式可化为，
，
解得：．
故答案为．  

15.【答案】； 

【解析】解：，
，
，

第个等式，
其化简后的结果为．
故答案为：，．
根据题意可知，，，由此得出第个等式为正整数，进一步化简求得答案即可．
此题考查数字的变化规律，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
 

16.【答案】解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
将代入，
所以原分式方程的解为；

方程两边都乘以，得：，
解得：，
检验：把代入，
所以，是原分式方程的解． 

【解析】方程两边都乘以，化分式方程为整式方程，解整式方程得出的值，再检验即可得；
方程两边都乘以，化分式方程为整式方程，解整式方程得出的值，再检验即可得
本题主要考查解分式方程，解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．
 

17.【答案】解：原不等式可化为：，
即，
又因原不等式的解集为，
则，，
比较得：，即，
解得：舍去．
故满足条件的不存在． 

【解析】不等式组整理后，结合不等式的性质，根据解集是，确定的范围，且，解得，故满足条件的不存在．
此题考查了不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：


；


． 

【解析】先根据分式次除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可；
先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
本题考查了分式的乘除法和因式分解，能正确根据分式的乘除法法则进行计算是解的关键，能熟记因式分解的方法是解的关键．
 

19.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在与中，
，
≌，
；

，，
，
≌，
，
． 

【解析】由在▱中，是的中点，利用，即可判定≌，继而证得结论；
由，，可得，又由≌，可得，然后利用三线合一，证得结论．
此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

21.【答案】解：如图即为所求；
如图即为所求．
 

【解析】本题考查了作图旋转变换，平移变换，找出对应点的位置是解题关键．
根据点平移的规律得到，，，然后描点连线即可；
根据关于原点对称的点的坐标特征得到，，，然后描点连线即可．
 

22.【答案】解：设另一个因式为，得

则

解得：，
故另一个因式为，的值为． 

【解析】根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式的二次项系数是，因式是的一次项系数也是，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子的二次项系数是，因式是的一次项系数是，则另一个因式的一次项系数一定是，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
 

23.【答案】解：设甲、乙两种樱花每株成本分别为，元，
则：，
解得：，
故甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元．
解：设培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株，
则：，
解得：，
培育方案为：
培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株；
培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株；
培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株；
在的前提下，设成本为，
则，
因为，故随着的增大而增大，
为整数，
则当时，，
故培育甲种樱花株，培育乙种樱花株，可使成本最少． 

【解析】根据题意建立相应的二元一次方程组即可求解；
根据题意建立相应的不等式组即可求解；
建立成本与培育甲种樱花株数的关系即可求解．
本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数等在实际问题中的应用．根据题意列出正确的方程组、不等式组、函数解析式是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，是平行四边形中的对角线，是交点，
，．

，点、分别为、的中点，
，
，
四边形是平行四边形．

结论仍然成立．
理由：，，
，
，
四边形是平行四边形．
所以结论仍然成立． 

【解析】平行四边形的对角线互相平分，从而可得到结论．
对角线互相平分的四边形是平行四边形，根据这个判定定理可证明．
仍然成立的，仍旧根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明．
本题考查平行四边形的判定和性质，对角线互相平分的四边形是平行四边形以及全等三角形的判定和性质．
 

25.【答案】

线段，，之间的数量关系是．
如图，连接．
绕点按顺时针方向旋转得，
≌，．
，，．
是等边三角形，
，，
，，
，
，．
．
在中，，
．
．
如图，当时，有最小值．
作图如图，
如图，将绕点按顺时针方向旋转得，连接．
≌，．
，，，
．
 是等边三角形．
，．
，
．
．
四点，，，共线．
时值最小；
当等边的边长为时，的最小值． 

【解析】

解：，，
，
由旋转的性质可知，，，
，
故答案为：；
见答案
见答案
【分析】
根据旋转变换的性质、四边形内角和为计算即可；
连接，根据勾股定理解答；
将绕点按顺时针方向旋转得，连接，根据等边三角形的性质解答；
根据等边三角形的性质计算．
本题考查的是等边三角形的性质、旋转变换的性质，掌握等边三角形的三个角是、三条边相等是解题的关键．