河南省实验中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

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2023~2024学年河南省实验中学上期开学考试

高二数学试题卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A．     B．    C． D．

2．设复数Z满足，则等于（ ）

A． B．8          C．         D．

3．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是（    ）

A． B． C．相互独立 D．互斥

4．已知向量，在方向上的投影向量为，则（    ）

A．4 B．8 C． D．

5．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．截至2022年，中国人口总数为14.2亿人.第七次全国人口普查数据公布，我国育龄妇女总和生育率为1.3，低于国际公认的警戒线1.5，总和生育率为1.3可以简单地理解为每30年，中国的人口将减少一半，某军事专家根据国际形势和我国国土面积等因素得出，当我国人口总数低于五千万时，我国的国防兵力将出现问题.假设我国总和生育率为1.3保持不变，试根据以上材料，估计我国大约在（    ）年左右，国防兵力将出现问题.

A．2140 B．2170 C．2200 D．2230

7．在平面直角坐标系中，角的顶点是原点O，始边是x轴的非负半轴，，是角终边上一点，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数中占有非常重要的地位，它被誉为“数学中的天桥”，当时，eπi＋1＝0被称为数学上的“优美公式”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（    ）

A．|eix|＝1 B．cos x＝

C．cos x＝ D．e2i在复平面内对应的点位于第二象限

10．下列命题中，正确的是（    ）

A．若，则或 B．若，共线，则

C．若且，则 D．对于任意向量，，有

11．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．函数在上最大值为 B．函数的图象关于点对称

C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为

12．如图，在棱长为1的正方体中，M为边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（    ）

A．存在点，使得

B．过三点、、的正方体的截面面积为

C．四面体的内切球的表面积为

D．点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．数据1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的第90百分位数为      ．

14．下图，M是三棱锥的底面的重心．若，则      ．

15．把某校三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：

全班学生的标准差为          

16．对于二元函数，表示先关于y求最大值，再关于x求最小值.已知平面内非零向量，，，满足：，，记（m，，且，），则      .

四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知m为实数，复数的实部与虚部相等，其中i为虚数单位．

(1)求出m的值；

(2)若正数a，b满足，证明：．

18．在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，（）.

(1)若点，求的值；

(2)若，，求的值.

19．已知条件：①；②；③.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在中，角，，所对的边分别是，，，满足：______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

(1)求角的大小；

(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.

20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为的中点，平面，为的中点.

(1)证明：平面；

(2)证明：平面平面；

(3)求直线与平面所成角的正切值.

21．立德中学在端午节到来之际准备举办端午知识趣味竞赛，甲、乙两位同学组成“星队”参赛， 每轮活动由甲、乙各回答一道题， 已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是．在每轮活动中， 甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，其中．

(1)若在一轮比赛中“甲答对题目且乙答错题目”的概率为，求;

(2)在（1）的条件下，求“星队”在两轮活动中猜对 3个成语的概率．

22．已知函数（，）部分图象如下图所示.

(1)求函数的解析式，并写出单调递增区间；

(2)函数，若对任意，都有恒成立，求实数a取值范围.

数学参考答案

1．C

解析：由，

解得或，所以，

所以，所以.

故选：C

2．A

解析：解：因为，所以，

所以.

故选：A

3．C

解析：依题意，记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为，反面向上为，

则抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：，

事件A包含的结果有：，事件B包含的结果有：，

而事件A，事件B中有不同的结果，则事件A与事件B不互相包含，也不相等，故AB错误；

显然事件A，事件B都含有“”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，

因此，事件A与事件B不互斥，故D错误；

因为，则，

所以A与B相互独立，故C正确.

故选：C.

4．C

解析：由得，根据在方向上的投影向量为，可知在方向上的投影为，故根据数量积的几何意义，等于与在方向上的投影的乘积，故，

故选：C

5．A

解析：将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法：4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有种排法；

若2个0不相邻，则有种排法，

所以2个0相邻的概率为，

故选：A

6．B

解析：设个30年后，我国的总人口为千万人，由题意知，令，

解得，又，故，

又，符合题意的只有2170.

故选：B.

7．A

解析：因是角终边上一点，，即点P在第二象限，

则，

因，于是得是钝角，解得，

所以.

故选：A

8．A

解析：，

因为，所以，

又因为函数在内恰有个最值点和4个零点，

由图像得：，解得：，

所以实数的取值范围是.

故选：A

9．ABD

解析：因为eix＝cos x＋isin x，所以|e ix|＝，故A正确；

因为eix＝cos x＋isin x，所以，则cos x＝ ，故B正确C错误；

因为，，所以e2i在复平面内对应的点位于第二象限，故D正确.

故选：ABD

10．BD

解析：对于A，可得或或，A错误；

对于B，若，共线同向，，

若，共线反向，，

所以，共线，则，B正确；

对于C，取两两夹角等于，且模长相等的，

则有，但，C错误；

对于D，因为，且，

所以，D正确，

故选:BD.

11．BD

解析：对于A，当时，，，最大值为2，A错误；

对于B，因为，则函数的图象关于点对称，B正确；

对于C，当时，，函数在上不单调，则在上不单调，C错误；

对于D，函数的最小正周期，D正确.

故选：BD.

12．BC

解析：对于A，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，；

若，则，即，与题意矛盾，所以A错误；

对于B，取中点，连接，因为，

所以可得、、、四点共面，

所以过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形，

，

过点作，所以，

所以梯形的高为，

所以，，故B正确；

对于C，如下图知：四面体的体积为正方体体积减去四个三棱锥的体积，

可知四面体是棱长为的正四面体，

取的外心，连接，则平面，

则，则，所以，

所以四面体的高，

设四面体的侧面积为，其内切球的半径为，球心为，

，

即，，所以C正确；

对于D，，，∵，∴，

即，可得轨迹为圆：，

所以，圆心，，又，

所以，轨迹为圆：被四边形截得的4段圆弧，

所以D错误；

故选：BC.

13．9.5＃

解析：∵％＝9，

∴第90百分位数就是第9项和第10项的数值平均数，即，

∴第90百分位数为9.5．

故答案为：9.5.

14．1

解析：方法一：由于M是三棱锥的底面的重心，连接AM，

所以，

则，

所以．

方法二：因为M与A，B，C四点共面，所以．

故答案为：1

15．

解析：设第一组20名学生的成绩为，标准差为，

第二组20名学生的成绩为，标准差为，

全班40名学生的平均成绩为，标准差为s，

由题意知，，

得=，

，

所以

，

得.

故答案为：

16．2

解析：记，，，则表示在上的投影恰为在上的投影的两倍，即射线的斜率为.

设，，，

记，，则，，

所以.

先让m不变，n变化，即点D固定，点E变化，那么，其中，接着再让m变化，即点D变化，求的最小值.

因为，当且仅当时取得等号.

综上，.

故答案为：2

17．(1)；

(2)证明见解析.

解析：（1）由题意得：

∵复数z的实部与虚部相等

∴，∴；

（2）证明：由（1）得：，

法1：∵，∴，

由柯西不等式得：，

当且仅当，即：时等号成立，

∴.

法2：要想证明成立，

只需证明成立，

即证明成立，

∵，∴，

即证明成立，

由基本不等式得：，

当且仅当时等号成立，

所以，命题得证．

18．(1)；

(2).

解析：（1）由点,得，，所以.                                   

所以；

（2）,，

,

,得，                                    

又因为，所以，

那么.

19．(1)

(2)

解析：（1）选择条件①：

，

所以，于是，又，所以.

选择条件②：

因为，

解得，又，所以.

选择条件③：

则，

由正弦定理得：，

即，

整理得：，

由得：，又，所以.

（2）由（1）知，，为锐角三角形，所以，

由正弦定理，得，，

于是，

化简得，，

因为,所以，所以，

，

故的取值范围为.

20．(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3).

解析：（1）如图所示，连接，

因为为平行四边形，是中点，

所以是平行四边形的对角线，所以是中点，

又因为是中点，所以是中位线，所以，

因为平面，平面，所以平面.

（2）因为平面平面所以，

又，所以，

因为,平面PAC,所以平面PAC,

又平面PAD,所以平面平面；

（3）由（2），且，

所以,

又点M到平面ABCD的距离，

所以直线与平面所成角的正切值为.

21．(1)

(2)

解析：（1）根据题意，，所以；

（2）设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，

分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，

根据题意得，

．

设“星队”在两轮活动中猜对 3个成语为事件，

则，且与互斥，与与相互独立，

所以 ，

因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为．

22．(1)；，

(2)

解析：（1）由图可知，

∴，

∵，

∴，，

，

又，∴，

∴，

由于，，

∴函数的单调递增区间为：，；

（2），

令，则.

，；

法一：只需即可，对称轴为，开口向上，

或或

解得或，

法二：，恒成立，

恒成立，由双勾函数得在单调递减，

在单调递增，∴，∴.